Quantum minimum [out of MQ theory]

Ci proponiamo, nell’attuale articolo, di esaminare una questione che creò la separazione tra la fisica deterministica e quella detta della Meccanica Quantistica (MQ) e che anche attualmente crea delle conseguenze di interpretazioni dissimili sia su scala micro che su scala macro.

A nostro parere, ma andremo -nel seguito- a proporre una trattazione matematica che affronta in dettaglio questa questione .. a nostro parere NECESSITA CAPIRE CHE LA MISURA CHIEDE UN TERMINE DI PARAGONE: il cosiddetto “valore campione”.

@   @   @

Tale “valore campione” è nella metrologia detto metro campione riferendosi a tutta la elongazione di “1” metro, ma sarebbe più appropriato identificare, nella misura, il “quantum minimo” riferendosi alla variazione minima: poiché “il quantum min” è il minimo valore in grado di essere visto in aggiunta o sottrazione  ad un dato valore.

Ad esempio, se ho uno strumento digitale che mi da fino ai millimetri compresi, allora il “quantum min”= 1 mm

Se invece ho uno strumento digitale che mi da fino a 1/10 di millimetri, allora il “quantum min” = 1/10 mm etc.

Questa questione nella teoria classica della misura è già stata risolta ad esempio nella rappresentazione binaria, che parla di “errore di quantizzazione” introdotto da una lunghezza limitata del numero di bit a disposizione, e relaziona l’errore di quantizzazione al quantum min, intendendo il bit che fosse inferiore quello meno significativo.

Sul testo “Digital Signal Processing” (di Pppenheim Schafer), ad esempio, nella versione italiana “Elaborazione Numerica dei Segnali”, edizione Franco Angeli 1985, si trova a pagina 434-448 capitolo 9 sotto il titolo:

“EFFETTI DELLA LUNGHEZZA FINITA DEI REGISTRI NELLA ELABORAZIONE NUMERICA”

è reperibile la trattazione matematica che qui -brevemente- ripetiamo:

il taglio della informazione ha due tipologie di intervento:

  • troncamento del bit in eccesso
  • arrotondamento con la scelta del livello di quantizzazione più vicino

poiché stiamo supponendo una conversione da segnale nel continuum (analogico) a digitale.

ip1:
sia un numero in base dieci rappresentato come

0,x1 x2 .. (base 10)

ip.2
sia lo stesso numero in base 2 rappresentato come

0,y1 y2 .. (base 2)

dove x1 x2 .. = y1*2^(-1) + y2^(-2) + ..
con yi= 0 oppure 1

essendo la tecnica di conversione da base 2 a base 10, ad esempio:

0,00(base 2) ->
0*(2^-1) + 0*(2^-2)=0 (base 10)

0,01(base 2) ->
0*(2^-1) + 1*(2^-2)=2^-2=1/4=0,25 (base 10)

0,10(base 2) ->
1*(2^-1) + 0*(2^-2)=2^-1=1/2=0,5 (base 10)

0,11(base 2) ->
1*(2^-1) + 1*(2^-2)=1/4 + 1/2=0,75 (base 10)

si dirà che

se avevamo b+1 bit = 3 bit nell’esempio qui sopra

2^(-b)=2^-2=1/4=0,25 è l’errore max di quantizzazione.

quindi

 

2^-b=quantum minimo,


dove b sono il numero di cifre dopo la virgola

 

se la rappresentazione è b+1 bit del tipo:

0,mantissa*2^c (cioé a virgola fissa a cui segue la matissa e poi un esponenziale)

https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_in_virgola_mobile

Di tutto ciò l’articolo citato “Digital Signal Processing” studia anche la sovrapposizione ad un segnale ed il rapporto segnale rumore, etc.

Ma per quello che qui a noi interessa, introduce il concetto di “risoluzione” della misura, che è l’errore max associabile a una misurazione, che è nel caso peggiore proprio il minimo valore di quantizzazione – epsilon piccolo a piacere.

Circa cento anni fa quando Heisenberg, Bohr, Dirac, ossia la scuola di Copenaghen elaborarono il concetto di una soglia minima di risoluzione dei valori sub atomici non era ancora sviluppata la teoria della rappresentazione dovuto -sui computer- a molti scienziati tra cui Boole, von Neumann, Turing, Chomsky etc.

Se vi fossero “ragioni logiche” che impediscano di oltrepassare il quantum min della MQ, il modello di Heisenberg sarebbe ineccepibile!

Ma per procedere a smontare la “costruzione” di Heisenberg necessita anzitutto un processo di identificazione di quale sarebbe il quantum min della MQ e perché non sarebbe superabile:

Il quantum min(di Heisenberg)= h*f

Tale quantità ha la struttura di una energia.

Ed esattamente è la energia di un fotone.

https://it.wikipedia.org/wiki/Fotone

C’è da chiedersi però .. “quali sono le esperienze _fisiche_?”

che hanno portato a dedurre che la

energy min= energia fotone= h*f

 

dove
h=costante (di Planck)
f=frequenza che non è un solo valore, ma può variare a secondo del particolare fotone che può essere rappresentato come una onda elettromagnetica, e quindi dotato di lunghezza d’onda, oltre che di periodo T, dove f=1/T, oltre che di natura corpuscolare per altre situazioni, come l’effetto Compton.

Questa Odissea, anche se nasce con lo studio della costante di Planck nell’esame della radiazione del cosiddetto “corpo nero”, trova il suo principale cimento su come debba essere interpretata la struttura interna ad un atomo.

Come è noto, per millenni l’atomo fu considerato un corpus unico, tanto che gli “atomisti greci” migliaia di anni fa, dettero nome “atomo” al mattone ultimo e non ulteriormente divisibile a significare proprio -in greco- “ente indivisibile”.

Ai nostri giorni, però e già dal modello di Bohr, l’atomo risultava assorbire energia luminosa ed anche rimetterla dopo che l’elettrone dell’atomo di idrogeno assorbiva luce e poi la ri-emetteva.

Ecco la ragione _fondamentale_:

Non tutte le orbite di un atomo sono equivalenti! e l’elettrone sembra spostarsi solo su alcune orbite preferenziali, e da ciò il carattere “quantico” che allude a solo ad alcune quantità come “ammissibili” senza che ve ne siano frazioni di ordine inferiore!

Nello studio dell’atomo di idrogeno -quindi- i livelli energetici si possono scrivere come multipli del valore della energia di un fotone per spostare da una orbita più interna ad una più esterna come segue:

(2-1) w(n)= n*h*f (pg. 9 prof. Paolo Maltese Meccanica Quantistica)

Quindi è stata quantizzata la energia di ogni livello, nel senso che è necessaria la energia di un fotone per salire di livello.

 

Vediamo come la quantizzazione energetica influenza il raggio di una orbita:

pag. 166 Daniele Sette Volume 1 “Lezioni di Fisica” Ed Veschi:
M=[d/dt(b)] = r*[d/dt(p)]; p=m*v; dove M = momento di coppia

Quando M=0, se b= costante,  non c’è sforzo di coppia, in linea teorica né assorbimento e ne cessione di energia ed una situazione stazionaria.

b= momento della quantità di moto=costante=m*v*r

b= m(r x v) in generale prodotto vettoriale

nel nostro caso vogliamo dimostrare che

b=m*v*r=costante=(n*h)/(2*pi)

dalla precedente ne segue che, se fosse vera, abbiamo anche:

C(n) = 2*pi*r=(n*h)/(m*v)

C(n) = 2*pi*r(n)=”circonferenze di raggi multipli r(n)”=n*h/(2pi)

Dalla espressione della luce siamo in grado di dimostrare che:

i) lambda=h/(m*c)

infatti

i”) h*f=m*c^2=energia quantizzata del fotone

&

i”’) lambda=c*T=c/f

sostituendo nella (i”)

h/(m*c^2)=1/f=lambda/c

h/(m*c^2)=lambda/c

h/(mc)=lambda.

.. quindi è vero “h/(mc) = lambda” per la luce, ma associata alla lunghezza d’onda.

se in generale valesse inoltre che ..

h/m*v=circonferenza, di raggio r, anche essa distanza quantizzata, avremmo ..

C(n) = 2*pi*r=(n*h)/(m*v)=n*h*f

e quindi C(n) al posto di lambda, ad indicare le orbite stabili, anziché la lambda.

more info:

https://6viola.wordpress.com/2017/09/01/hydrogen-atom-spectrum-physics-deterministic-analysis/

cvd.

Nella sezione precedente abbiamo voluto limitare la nostra analisi a modelli semplicemente deterministici, e notare come la quantizzazione

  1. introduce -in generale- congenitamente una indeterminatezza per i valori minori del quantum minimo nella teoria della misura.
  2. introduce -specificatamente- nel caso della fisica subatomica un quantum min quale è il fotone e quindi una indeterminatezza per valori inferiori.

Quindi c’è da aspettarsi che non sarà osservabile una orbita di un atomo in modo deterministico poiché per osservare i livelli energetici in esame l’azione della misura, finché il quantum minimo è il fotone, la perturbazione rende l’esame oltre i limiti di risoluzione.

Questo gap, nella fisica della misura, però, non riguarda la matematica dei modelli, che non hanno il problema della sintesi di un quantum comunque infinitesimale e quindi inferiore a qualsiasi quantum minimo!

Da ciò i nostri articoli a partire dal seguente:

Deterministic Orbit of H (Hydrogen): TUFANO’s 3rd theorem [*Mathematics*]

https://6viola.wordpress.com/2016/12/01/deterministic-orbit-of-h-hydrogen-tufanos-3th-theorem-mathematics/

Va però precisato che anche seguendo la trattazione della scuola di Copenaghen si ritrova il legame tra il “quantum min” & ” il fotone ” sebbene la trattazione sia svolta secondo la teoria aleatoria.

Tuttavia la “soglia” –usualmente– non è data esplicitamente(!), in riferimento alla energia del fotone (come da noi evidenziato), ma rispetto *al prodotto* tra la incertezza tra la posizione e la quantità di moto:

https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg

e ciò sembra spostare il problema della misura tra il rinunciare a maggiore precisione o sulla posizione o sulla velocità, dovendo essere il prodotto delle due incertezze -se valgono le ipotesi del modello MQ- una quantità costante e fissata una volta per tutte.

Si è messo quindi in ombra la relazione con “il principio di indeterminazione di Heisenberg” la risoluzione della misura associata al quantum min, mentre è importante capire che è solo un limite legato alla tecnologia attuale di manipolazione di un quantum min sempre di minore estensione, e quindi di maggiore precisione come estensione della rappresentazione.

cvd.

ultima versione:

7 ottobre 2017, ore 18.33

 

 

 

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