Quantum in General Relativity

Studio della figura seguente, reperibile al Cap 4, pag.107, di Amadori Lussardi al link:
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/sp-13128/


Nota Bene: stiamo continuando una analisi già iniziata con un articolo “introduttivo” al tema attuale al link seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/07/29/g_eneral-r_elativity-expression-gr-in-quantum-mode-qm-q_uantum-m_echanics/

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foto link

stop

Ipotesi:

Ip-1:
Simuliamo un buco nero corrispondente alla massa M della Terra
Ne segue che il raggio di Schwarzschild, rs, vede
rs=rg=8.8 mm, ossia tutta la massa della Terra è in 8.8 mm di raggio.

19 settembre 2016, ore 11:30

Le equazioni che stiamo utilizzando sono quelle del modello della relatività generale come riportate a pagina 106 di Amadori Lussardi e che per comodità del lettore mettiamo qui di seguito in fotocopia:

foto link

Le equazioni delle geodetiche utilizzabili per la luce che passasse in un campo gravitazionale sono quindi le (4.28) della pagina qui sopra.

La implementazione del software è identica(*) a quella di Amadori Lussardi pagina 123 seguente (disponibile anche essa on line ai link già citati):

(*) con le modifiche che specificheremo e che riguardano il NON detto, poiché manca nel software la parte di “INIZIALIZZAZIONE”! .. se non nella citazione errata(**) che si possa porre
d/dt(r(t))=0 in t=0
mentre si può porre fi(t)=0 in t=0
(**)
verificare la citazione vedere pg 106 (figura precedente) a questo commento, nella penultima riga.

foto link

La errata corrige può subito essere dimostrata:

DIM:

Essendo che il raggio si riferisce alla distanza di un fotone che parta dall’asse cartesiano con r=3*rg, e fi=0 al momento di inizio della dinamica (come se un fotone potesse “nascere” in quel momento senza una storia precedente, come prodotto da un laser)..

.. allora, ne segue che, è impossibile che dopo la “nascita” il fotone viaggi a velocità diversa da c=3*10^8 m/s (circa) e quindi il raggio  sia d/dt(r(t))=0 in t=0 (che è la sua distanza dal centro della gravitazione che muterà nell’intorno del punto t=0) quando ci si riferisce -come in una analisi alle differenze- ad un intorno delle condizioni iniziali.

Del resto solo grazie a queste ipotesi abbiamo dimostrato che il software funziona, e abbiamo anche realizzato una figura della evoluzione del fotone che assomiglia a quella di Lussardi, dove Lussardi -però- non parametricizza l’andamento del moto agli incrementi di “ds”, e toglie tutto il software di inizializzazione (dalla sua documentazione) che renderebbe (se la documentazione NON è completa) il suo software NON utilizzabile, se non si introducessero le condizioni di Cauchy in esplicito.

Per un dettaglio di questa documentazione (come da noi *ricostruita* .. MA in modo tale che sia consistente al tracciamento delle equazioni) si veda il seguito nella esplicitazione del software nel linguaggio php sotto il capitolo “LE CONDIZIONI DI CAUCHY”.

cvd.

LE CONDIZIONI DI CAUCHY  -nel caso del fotone di figura- seguente:
nota bene:
è la prima figura anche dell’articolo attuale, ma la seguente è da noi realizzata parametricamente.

foto link

(click x zoom)

Affinché rg=8,8 mm e cioé circa 9 mm rappresenti il raggio di Schwarzschild della Terra compressa in un raggio che la renda un buco nero in grado di generare un campo gravitazionale che riesce ad influire sull’andamento del moto di un fotone generato sull’asse x all’istante t=0, si ipotizzi inoltre, che

posizione iniziale del fotone (in figura):

x(t=0)=3*rg=3*9 =27 mm (ovvero 27*10^-3 metri)

Affinché sia graficabile l’andamento supponiamo di volere calcolare i punti con una tempistica per cui il fotone descriva 1 mm (1*10^-3 metri) per ogni nuovo calacolo della sua orbita.

E’ facile allora capire che ci sarà un intervallo di tempo tale che

c = 3*10^8 m/s = Ds/Dt =variazione di spazio/ variazione di tempo

Abbiamo posto
Ds = 1*10^-3 m

Dalla equazione precedente possiamo allora calcolare

Dt = Ds/c = (1*10^-3)*(3*10^-8) = circa 0.3*10^-11 = 3*10^-12 secondi
(esattamente Dt=0.333333..33*10^-11=3.333333..33*10^-12 secondi)

Sia Dt = $ds

Quindi in 3*10^-12 secondi la luce ha percorso circa 1 mm.

Disegniamo ora un triangolo rettangolo come segue:

L’origine O nel centro del buco nero.

Un cateto poggiato sull’asse x fino alla distanza 3*rg=r0.

L’altro cateto, che si alza come l’asse y, sia detto distanza “gamma1”.

La ipotenusa sia r(Dt)=$r1, l’angolo fi(Dt)=fi1.

Noi conosciamo sia $r0, che gamma1, e vogliamo sapere r1.

Dal teorema di Pitagora otteniamo:

$r1=rad[(27*10^-3)^2 + (1*10^-3)^2] = 27.0185*10^-3 metri
(esattamente anziché (9*3)^2=27^2 bisognava scrivere: (8.8*3)^2)
(da cui $r1 in misura più precisa è $r1=26.4189326052359655130916353741277769775146748*10^-3 metri)

Utilizziamo ora la formula di Lussardi che approssima la derivata con le differenze e cioé

$r1 = $r0 + $rpunto0 * $ds;

Sia $ds = 3*10^-12 [sec]
(o meglio $ds=3.3333333333333*10^-12)

Ora possiamo esplitare

$rpunto0 = ($r1 – $r0) / $ds = 6,17*10^6 m/s
(o meglio [(26.41893260523596 – 3*8.8)*10^-3]/(3.3333333333333*10^-12)= 0.00567978157078806*10^+9 = $5.67978157078806*10^6 [m/s]

Come si vede è abbastanza minore come velocità la elongazione del raggio che traccia il fotone di quanto sia la velocità della luce che è circa 3*10^8 m/s.

Ma ciò è dovuto al fatto che il raggio si allunga di poco nei primi istanti di nascita del fotone essendo il moto secondo l’asse y.

Calcoliamo anche le condizioni iniziali per l’angolo iniziale e la relativa variazione temporale (nella derivata prima), detta $fipunto0.

Dalla stessa relazione del software di Lussardi abbiamo la seguente linearizzazione:

$fi1 = $fi0 + $fipunto0 * $ds;

Abbiamo già posto $fi0=0 in t=0.

Già conosciamo $ds = 3*10^-12 [sec]
(più precisamente $ds=3.3333333333333*10^-12)

$fi1 sia l’angolo associato a r1.

sin(f1) = 1 mm/ r1 = 1 mm / 27.0185 mm = 0.0370
(più precisamente 1mm/26.41 mm= 0.0378516427950541084203845999400077038476627239)

estraendo f1, e cambiando di notazione, avendo aggiunto $,

$f1 = arc (sin ($f1)) = arc (sin (0.0370)) = 0.03702
(più precisamente arc(sin(0.0378516427950541084203845999400077038476627239))= arc(0.000660635746)=0.037851642795)

$fipunto0 è ora esplicitabile dalla linearizzazione di Lussardi che ripetiamo per comodità di lettura:

$fi1 = $fi0 + $fipunto0 * $ds;

$fipunto0 = ($fi1 – $fi0) / $ds = 12.340*10^9
(più precisamente: 0.037851642795/3.3333333333333*10^12=11.3554928385001*10^9)

il software:

 

In circa 10 giorni ho imparato il php, il mysql, ad inizializzare il server apache e a graficare i risultati non più in free pascal ma in html.

E questa è la base di dati che il software precedente è in grado di generare (consigliamo di installare php, mysql, apache con easyphp che è un software che genera anche phpMyAdmin, per la inizializzazione ed installazione e configurazione automatica dei software già detti).

fig 1-7:

foto link

fig 8-14:

foto link

fig 15-21:

foto link

fig 22-28:

foto link

fig 29-35:

foto link

fig 36-42:

foto link

fig 43-49:

foto link

fig 50-56:

foto link

fig 57-63:

foto link

fig 64-70:

foto link

fig 71-77:

foto link

fig 78-84:

foto link

fig 85-91:

foto link

fig 92-98:

foto link

fig 99-105:

foto link

fig 106-112:

foto link

fig 113-119:

foto link

fig 120-126:

foto link

fig 127-133:

foto link

fig 134-140:

foto link

fig 141-147:

foto link

fig 148-154:

foto link

fig 155-161

foto link

fig 162-168:

foto link

ultima versione 2 aprile 2017, ore 10.22

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