G_eneral R_elativity expression (GR) -> “in quantum mode” (QM: Q_uantum M_echanics)

Come è noto, Albert Einstein, nel 1915 pubblicò una teoria detta della “Relatività Generale”:
link italiano:
https://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_generale
link inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity

E facile vedere che la relativa trattazione matematica è molto complessa, non tanto perché non si parta da una espressione nota .. quale è il teorema di Pitagora espresso però in forma di incrementi infinitesimali, ed esteso a 4 dimensioni ..

MA PERCHE’

i successivi passaggi che studiano non direttamente “(ds)”, come incremento semplice, NE’ (ds)^2, come incremento quadratico, ma -studiano- ..

l’integrale di una variazione  δ { ʃ ds } = 0

more info:

https://6viola.wordpress.com/2016/03/06/9159/

https://6viola.wordpress.com/2016/06/19/alice-per-quanto-tempo-e-per-sempremathematics/

Ne verrà -da detto integrale di una variazione- uno sviluppo in derivate parziali generalizzato ad un cambio di coordinate generico, che non è stato direttamente utilizzabile(!) .. finché Schwarzschild, introducendo sia un particolare tipo di coordinate (sferiche), che delle condizioni al contorno (che introducono le deformazioni di Lorentz, le cosiddette “trasformate di Lorentz”) .. ne espliciterà una forma differenziale esplicita, risolvibile -però- solo alle differenze finite, non solo perché non ne esiste una espressione “in forma chiusa” da sostituire come soluzione, ma perché NON POTREBBE ESISTERE, visto che lo spazio ed il tempo creano un LOOP di identificazione nella 4 dimensioni, che si può risolvere solo con l’ARTIFICIO di bloccare una variabile=parametro e calcolare le altre variabili!

Da tutto ciò, infatti, se ne esplicitano (sempre con calcolo delle orbite alle differenze finite), ad esempio, delle equazioni utilizzate per il calcolo della “orbita del pianeta del sistema solare MERCURIO”, come nell’articolo seguente:
https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Oltre alle suddette equazioni, per il moto di un corpo, vi è anche una trattazione “storica” a partire dalle leggi di Keplero! .. che sono poi state indagate se siano compatibili e/o se generino degli errori, e di che ordine, rispetto alla forma generalizzata di Einstein/Schwarzschild.

La trattazione è esplorabile ai seguenti link:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_radius

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_lens

https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem_in_general_relativity

https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Keplero_nella_relativit%C3%A0_generale

Come si vede vi sono altre espressioni per il calcolo di una orbita che dista un raggio r da una massa grande M, e l’angolo fi con cui un raggio descrive su un piano il movimento di un corpo piccolo m.

Segnaliamo anche la trattazione di Amadori Lussardi, da noi esaminata nel seguente articolo:
https://6viola.wordpress.com/2016/05/27/einstein-radius-la-luce-che-curva/

Dalla figura sia di Amadori (Capitolo 4, fig 4.17, a pagina 107) sia quella indicata nell’articolo “einstein.radius-la-luce-che curva” si nota -però- un fatto strano ..
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/sp-13128/

.. “la luce che ha massa zero, essendo energia, e nel fotone e=m0*c^2, curva come una qualunque massa di massa m0”.

ANZI c’è di più!

Se si prende la trattazione di Daniele Sette Volume 1, pagina 94, si vede un fatto noto agli scienziati:

un corpo _-qualunque_sia_la_sua_massa-_ cade con equazioni *INDIPENDENTI DAL VALORE DELLA MASSA CHE CADE! ..  ma dipendenti solo dalla massa maggiore!

Perché accade questo?

E’ veramente lo spazio che si deforma per la massa maggiore, M, ed indipendentemente dalla massa minore m?

NO, è una semplificazione(!), ed è quindi una semplificazione quella di Einstein che la Massa M, modifichi lo spazio/tempo e quindi agisca anche sui corpi privi di massa.

Infatti la luce si comporta come un corpuscolo particellare nella seguente esperienza:
Vedere “dualismo onda/particella” studiato ad esempio da COMPTON, nell’urto fotone elettrone, in cui il fotone, a massa zero, riesce a “urtare” un elettrone con massa diversa da zero:

https://it.wikipedia.org/wiki/Scattering_Compton

DIM.:

La dimostrazione che sia una semplificazione è semplice:

Se due masse m, siano m1 ed m2, sono dello stesso ordine di grandezza! .. non è la massa grande che attrae a sé la massa piccola! .. quindi la “attrazione gravitazione della massa grande M, sulla massa piccola m, è una semplificazione!”

Cosa succede invece?

Che entrambe le masse si attraggono! e lo spostamento non fissa M e muove m, bensì .. entrambe le masse si muovono “una verso l’altra” con una forza

F=(G*m1*m2)/r^2 e si incontrano alla “mezzeria” di r, se m1=m2,

cvd.

Che conseguenze ha questo fatto?

  1. Che sia la materia, che la energia di un fotone, come rileva Compton, hanno una “meccanica analoga” dal punto di vista gravitazionale. Poiché se è vero che un fotone non ha più massa, è però vero che ha “massa equivalente”, sia mo,(*1), e -il fotone- è ora misurabile solo nella sua forma energia e=m0’*c^2, e quindi mo’ è una ex massa, riferentesi a prima della trasformazione  nell’equivalente energetico.
    (*1) (dove l’apice, ‘, indichi che stiamo indicando, con m0′, la forma rilevabile “e” della massa m0, ora, in e, misurabile come “ex massa m0″=m0’, grazie all’equivalente energetico)
  2. Che sia “meccanica analoga” oltre che essere riconfermato dal fatto che accelerazione, velocità, e posizione, di un sasso che cade sono indipendenti dalla massa, m, del sasso che cade, ANCHE dal fatto che un fotone curva dalla sua traiettoria! .. pur avendo massa zero!
  3. Che sia “meccanica analoga” è riconfermato dal fatto che se si sostituiscono le “masse equivalenti” di due fotoni (che mutano al variare di lambda) nella espressione F=(G*m1*m1)/r^2 sostituendo ad r la lunghezza d’onda e a m1 le masse equivalenti si ottiene una forza di “attrazione tra i fotoni!” nella associata forma d’onda della rappresentazione di una collezione di fotoni adiacenti.
  4. Infatti, se Lm=lunghezza d’onda media (L1 < Lm < L2), in ipotesi, ip1, L=L1 <Lm, allora la forza tra due “fotoni adiacenti”, f(L=L1), sarà f1(L1) > f(Lm). Se, ipotesi ip2, L2 > Lm, allora la forza f(L2) < f(Lm). Quindi all’aumentare della lunghezza d’onda la forza interfotonica diminuisce. cvd.
  5. Che sia la “meccanica analoga” è riconfermato dalla trattazione seguente che generalizza la caduta di un grave, e ne deduce un fatto strabiliante: è impossibile avere soluzioni delle equazioni di Einstein -in forma chiusa- come soluzione delle orbite di una massa, poiché le 4 dimensioni non sono ortogonali, e quindi le dimensioni sono 4 ma il tempo è legato allo spazio, creando dei loop di incalcolabilità con errore zero, se non nell’ipotesi che la distribuzione della materia/energia sia  quantica, anche nella soluzione della distribuzione della materia/energia che si ripercuote nel calcolo alle differenze finite nell’aspetto matematico!  .. e quindi sia (1)nella soluzione canonica alle differenze finite delle orbite con le geodetiche di Einstein, e sia (2)nella soluzione alle differenze finite del CALCOLO DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE ALLE DIFFERENZE FINITE “Universal_GRavitation_typ_UA-0”

https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_gravitazione_universale

https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_law_of_universal_gravitation

La trattazione delle “masse equivalenti” con la lunghezza d’onda tra due fotoni “adiacenti”:
https://6viola.wordpress.com/2016/05/12/che-sia-la-luce-mathematics/

Studio semplificato della gravitazione:

 

Se si ipotizza la caduta di una mela, dalla quota di 25 metri, alla superficie del pianeta Terra, stiamo dicendo che, in ipotesi che ay=-g=costante durante la caduta verticale, allora,

ay = -g

vy = ʃ (-g) dt + v0y = -g*t ; v0y=0 (la mela era ferma sull’albero, prima di staccarsi)

y = ʃ (-g*t) dt +y0 = -(1/2)*g*t^2 +25

da queste equazioni potremo sapere, accelerazione, velocità, posizione della mela da t=0, fino a che tocchi il suolo.

“ay” (accelerazione) [m/s^2] “vy” (velocità)
[m/s]
“y” (posizione)
[m]
“t” (tempo)
[s]
9,8 0 25 0
9,8 -9,8*1=-9,8 25-(0,5*9,8*1*1)=20,1 1
9,8 -9,8*2=-19,6 25-(0,5*9,8*4)=5,4 2
9,8 -9,8*(2,2)=-21,56 0 0,5*9,8*tf^2=25
tf=rad(50/9,8)=2,2

La prima cosa da notare è che da distanza sufficientemente alta, la velocità di caduta sembrerebbe potere aumentare a qualsiasi valore! (in specie se si parte da un valore iniziale della velocità prossimo alla velocità della luce!)

In realtà, se è vero che possiamo dire che è

F=mg ; con g=GM/r^2 ipotizzato circa costante sulla superficie terrestre a 9,8 m/s^2

VICEVERSA ..

g è tuttaltro che costante al variare di r (!)

INFATTI g -> al valore g(∞)=0 se r -> ∞

 

Si parla di vf=velocità di fuga, nelle seguenti ipotesi:

(1/2)*m*vf^2=mgh=mgr=m(GM/r^2)r=mGM/r

vf^2 = 2GM/r

rf= 2GM/v^2

Quindi rf è in dipendenza della velocità dell’ente.

Attorno alla massa M vi è quindi un raggio, rf, oltre il quale l’ente non risente ad allontanarsi in moto semplicemente inerziale se non supera “v”.

Per converso, dentro questo raggio, rf, il moto inerziale viene alterato, distogliendo il corpo dal suo moto inerziale per effetti gravitazionali.

Nel caso che v=c, non potendo la luce superare la propria velocità, se la massa M è sulla superficie di un buco nero, neanche la luce riesce ad allontanarsi, in ipotesi di descrizione del moto linearizzata secondo Einstein.

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius

Ora poiché la Massa della Terra è

M=5,9*10^24 Kg (5.972)
G=6,6*10^(-11) (6.674)
RT=6,3*10^6 (m)

g=9,8 m/s^2

fonte di conferma:
https://it.wikipedia.org/wiki/Accelerazione_di_gravit%C3%A0

il raggio rs (della Terra) = rs = 2GM/c^2 = 8,8*10^(-3) m

Ciò significa che essendo RT=6,3*10^6 > 8,8*10^(-3)

Le masse riescono a sfuggire dalla attrazione gravitazionale terrestre a partire dalla superficie, poiché solo se la massa di tutta la terra fosse compressa in 8 millimetri la luce non potrebbe sfuggire, anche senza essere dotata di massa.

Viceversa, si può calcolare la velocità normale (radiale) minima che consente di fuggire ad un razzo dalla orbita terrestre e porsi in moto inerziale:

https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_di_fuga

Come si vede, dal link sopra citato, è la stessa formula, ma ora il raggio è quello del pianeta!

vf^2 = 2GM/r

r=RT (raggio della Terra)

vf=rad(2GM/RT)=rad[2*(6,6*10^(-11)*(5,9*10^24)]/[6,3*10^(6)] = 11.2 km/s =
vf=11.2*10^(3) m/s

Quindi non stiamo dicendo velocità di sollevamento dal suolo terrestre, ma velocità costante da tenere (min) affinché arrivati al raggio associato, si abbia la “fuga dalla gravità terrestre”.

Verifichiamolo:

RT=2GM/vf^2=2GM/{rad(2GM/RT)}^2=RT, ci ridarà il raggio della terra!

Quindi non è affatto un confine fisico oltre il quale si annulla la gravità!

Se anziché usare la velocità min (11.2 km/s) ..

si usasse la velocità della luce (300 000 km/s)?

Evidentemente il raggio indicherebbe una misura molto minore a segnalare che solo per corpi densi come i buchi neri bisognerebbe superare la velocità della luce per potere sfuggire alla gravitazione, considerando ciò impossibile.

DOMANDA:

“Cosa delimita -allora- il raggio di influenza gravitazionale?”

Consideriamo un moto orbitale circolare attorno alla Terra, dove la orbita sia stabile:

Sia an=(vt^2/r)
Fc=m*(vt^2/r)
Fg=mg=m*vt^2/r=GMm/r^2

vt^2=GM/r

RISPOSTA:
Quindi se una massa, m, orbita

alla distanza r
alla velocità v=vt= velocità secondo la componente tangenziale alla orbita
con massa m, attorno a M (la massa del Pianeta)

Tale condizione è stabile se Fg=Fc (!)

Se Fg > Fc il corpo tenderà a precipitare!

Mentre se Fc > Fg, allora, il corpo che si muove di moto inerziale, si allontanerebbe ad esempio se colpito, o con il terzo principio della dinamica:
Fc=m*(vt^2/r) + m*ax

L’allontanamento sarebbe graduale, e man mano che si sente meno attrazione gravitazionale, più libero nella dinamica inerziale.

“Universal_GRavitation_typ_UA-0”

G_eneral R_elativity expression (GR) -> “in quantum mode” (QM: Q_uantum M_echanics)

ipotesi di studio:

ip-1: caduta di un grave (in modo verticale al suolo), per normale gravità della Terra, ma suddividendo in intervalli di linearizzazione.

ip-2: la linearizzazione consisterà nel ricalcolo dei valori di g(r(t)), a valori medi all’intervallo considerato.

ip-3: nella tabella seguente abbiamo indicato  4 intervalli (i1, i2, i3, i4) al variare del raggio:

g H (dal suolo) R (dal centro pianeta) intervallo
g1(min)=10 m/s^2

g1(max) = 2,5 m/s^2 dim: GM/(2RT)^2=10/4
g1(medio)=(10+2,5) = 6.2 m/s^2

0 < h < RT RT < r < 2 RT i1
g2(min)=g1(max)=2.5
g2(max)=1.1 dim:GM/(3 RT) =10/9; g2 (medio) =(2.5+1.1)/2circa 1,8
RT < h < 2RT 2 RT < r < 3 RT i2
g3(min)=g2(max)=1.1

g3(max)=0,625 dim:

GM/(4 RT)=10/16

g3(medio) = (1.1+0,6)/2 circa 0.8

2 RT < h < 3 RT 3 RT < r < 4 RT i3
g4(min)=g3(max)=0,6
g4(max)=0,4 dim:GM/(5 RT)=10/25; g4(medio) = 0,4+0.6=0.5
3 RT < h < 4 RT 4 RT < r < 5 RT i4

In generale, ma sempre per moti verticali:

ay = -g = -GM/r^2, dove r=r(t)

vy = ʃ (-g) dt + v0y =/= -g*t ;

y = ʃ (-g*t) dt +y0 =/= -(1/2)*g*t^2 +y0

perché gli integrali non hanno g=costante.

Abbiamo indicato con “=/=” il segno di “diverso”.

Significa che l’integrale non può più porre che r=circa costante e dunque g= circa costante!

La trattazione attuale si propone di mostrare come si può procedere, se g=GM/r^2
con r=r(t).

 

PASSO 1: intervallo i3 (di tabella precedente)

ay = -g3 = -g1/16, dove r=r(t)=y(t); g1=9.8 m/s^2 approssimato con 10 m/s^2

g3=g1/16=0,625 m/s^2 g3m=0,8 m/s^2

vy = ʃ (-g3m) dt + v0y = -g3m*t ; v0y=0 (la mela era ferma in t=0, prima di staccarsi)

y(t) = ʃ (-g3m*t) dt +y0 = -(1/2)*g3m*t^2 +r(0) =  -(1/2)*g3m*t^2 +4*RT

Vediamo cosa ci da il calcolo:

Si noti che

r varia da 4 volte il raggio della Terra a 3 volte il raggio della Terra:

3*RT < r(t) < 4*RT

dobbiamo calcolare i tempi in cui questo avviene:

r(0)=4*RT

r(tf=t1) = 3*RT

In tale intervallo di lunghezza supporremo g=g3m=0,8 m/s^2

y(t1) =3*RT= ʃ (-g3m*t) dt +y0 = -(1/2)*g3m*t1^2 +r(0) =  -(1/2)*g3m*t1^2 +4*RT

0=-0.5*0.8*t1^2+RT
t1=rad(RT/0,4) = rad(6,3*10^6/0,4) = rad(15,75*10^6)= 3968 secondi = 3968/60 minuti = 3968/3600 h = t1=1,1 [h]

v(t1)=vy = ʃ (-g3m) dt + v0y = -g3m*t1 ; v0y=0

v(t1)=-(0,8)*(3968)=3174 m/s=v0y per il prossimo intervallo!

PASSO 2: intervallo i2 (di tabella precedente)

ay = -g2m 

g2m=1,8 m/s^2

vy = ʃ (-g2m) dt + v0y = -g2m*t – (v0y=3174 m/s)

y(t) = ʃ (-g2m*t) dt +y0 = -(1/2)*g2m*t^2 +r(0) =  -(1/2)*g2m*t^2 +3*RT

Vediamo cosa ci da il calcolo:

Si noti che

r varia da 3 volte il raggio della Terra a 2 volte il raggio della Terra:

2*RT < r(t) < 3*RT

dobbiamo calcolare i tempi in cui questo avviene:

r(t0=t1)=3*RT

r(tf=t2) = 2*RT

In tale intervallo di lunghezza supporremo g=g2m=1,8 m/s^2

y(t2) =2*RT= ʃ (-g2m*t) dt +y0 = -(1/2)*g2m*t2^2 +r(0) =  -(1/2)*g2m*t2^2 +3*RT

0=-0.5*1.8*t2^2+RT
t2=rad(RT/0,9) = rad(6,3*10^6/0,9) = rad(7*10^6)= 2645 secondi = 2645/60 minuti = 2645/3600 h = t1=0,7 [h]

v(t2)=vy = ʃ (-g2m) dt – v0y = -g2m*t2 – (v0y=3174 m/s)

v(t2)=-(1,8)*(2645) – 3174=-4761-3174 = 7935 m/s=v0y per il prossimo intervallo!

PASSO 3: intervallo i1 (di tabella precedente)

ay = -g1m 

g1m=6.2 m/s^2

vy = ʃ (-g1m) dt + v0y = -g1m*t – (v0y=7935 m/s)

y(t) = ʃ (-g1m*t) dt +y0 = -(1/2)*g1m*t^2 +r(0) =  -(1/2)*g1m*t^2 +1*RT

Vediamo cosa ci da il calcolo:

Si noti che

r varia da 2 volte il raggio della Terra a 1 volte il raggio della Terra:

1*RT < r(t) < 2*RT

dobbiamo calcolare i tempi in cui questo avviene:

r(t0=t2)=2*RT

r(tf=t3) = 1*RT (h=0 è il livello del suolo)

In tale intervallo di lunghezza supporremo g=g1m=6.2 m/s^2

y(t3) =1*RT= ʃ (-g1m*t) dt +y0 = -(1/2)*g1m*t3^2 +r(0) =  -(1/2)*g1m*t3^2 +2*RT

0=-0.5*6,2*t3^2+RT
t3=rad(RT/3,1) = rad(6,3*10^6/3,1) = rad(2*10^6)= 1414 secondi = 1414/60 minuti = 1414/3600 h = t3=0,4 [h]

v(t3)=vy = ʃ (-g1m) dt + v0y = -g1m*t3 + (v0y=7935  m/s)

v(t3)=-(6,2)*(1414) – 7935=-8766-7935 = -16 701 m/s=v0y per il prossimo intervallo!

 

Dunque ad una distanza di 0<h<4 RT

anche senza considerare la atmosfera, che darebbe una componente tangenziale, ipotizzando una caduta perfettamente verticale

in 1 ora v=3 000 m/s, con accelerazione media 0.8 m/s^2,
cadendo da 3RT (passo 1)

in 1 ora + 0, 7 ora tot, circa v=8 000 m/s, con accelerazione media 1.8 m/s^2,
cadendo da 2RT (passo 2)

in 2 ore tot, circa v=16 000 m/s, con accelerazione media 6.2/m/s^2, cadendo da RT a quota zero (passo 3)

Quindi in sempre meno tempo, la velocità cresce ad accelerazione a=GM/r circa costante nell’intervallo considerato, ma diminuisce notevolmente man mano che ci si allontana dal pianeta.

In linea teorica se anziché partire da velocità iniziale circa zero, si partisse con un muone a velocità v=0.998 c, però, si constaterebbe che il muone vive 15 volte la sua vita media, sia tau, secondo la equazione seguente:

t=tau/rad(1-v^2/c^2)

Dunque c’è un effetto di “saturazione” della velocità potenzialmente prossima alla velocità della luce e ipoteticamente nella possibilità di superare v=c, se non vi fosse la “saturazione” per cui una massa non riesce a superare la velocità della luce quando la forza è “localista”, come la forza di gravità semplicemente dipendente dalla massa.(*1)

(*1)
Infatti la gravità può comportarsi anche in modo diverso, se la pressione gravitazionale avviene dentro una stella, poiché nella “meccanica del plasma” vincendo le forze interatomiche si può sviluppare la scomparsa di massa e la generazione di energia secondo e=m0’*c^2.. m0′ in tal caso è la massa “scomparsa” ed “e=m0’*c^2” è l’equivalente energetico. Quindi quella ex massa ha raggiunto la velocità della luce anziché solo approssimarsi in modo saturativo.

ultimo aggiornamento 19 dic 2016, ore 14:10

 

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