QM (quantum mechanics): calcoli di Bohr delle orbite di H – simulazione software delle orbite n=1 ed n=2 secondo la QM deterministica attraverso le equazioni di Einstein – modificate dalla trasformata di Coulomb.

ANTEFATTO

La trattazione attuale riprende il lavoro “storico” di Bohr et altri per mostrare come le equazioni di Einstein oltre che descrivere le orbite nel macrocosmo, opportunamente trasformate per lavorare nel microcosmo, possono essere la base di un software non solo per la orbita con il numero quantico dell’orbita più interna (n=1), ma anche per la orbita maggiore successiva n=2.

Nota 1:
Sulla analisi storica consigliamo il testo universitario seguente:

“Fondamenti di Chimica”, del professor Paolo Sinverstroni, Ed: Veschi.
In prticolare Capitolo 1, da pagina 3 e seguenti.

Nota 2:
Su come trasformare le equazioni di Einstein il mio articolo:

• Deterministic Orbit of H (Hydrogen): TUFANO’s 3rd theorem [*Mathematics*]
  (commento: grazie alle equazioni di Einstein, come risolte da Schwarzschild, introducendo una nuova costante di gravitazione universale per il dominio sub_atomico, si trovano le orbite deterministiche del moto dell’elettrone attorno ad un atomo di idrogeno).
  https://6viola.wordpress.com/2016/12/01/deterministic-orbit-of-h-hydrogen-tufanos-3th-theorem-mathematics/

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Premesso tutto ciò,

Esplicito i passaggi fondamentali che saranno il supporto alle inizializzazioni del software:
Già Keplero aveva notato che ..

Dalla seconda legge di Keplero:

otteniamo la seguente relazione

r x mv=costante

vedi:
https://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Keplero

m=massa elettrone
v=velocità
r=raggio

Bohr scrive, utilizzando la costante di Planck, h, la relazione di come è fatta la costante:

(1) m*v*r=(n*h)(2*pi)

dove pi=circa 3,14

Si può dimostrare inoltre ..
(vedi fisica di Daniele Sette, “lezioni di fisica”, volume I, Ed: Veschi, pagina 82)

che nel caso di una orbita circolare stabile la forza gravitazionale Fg=m*a
dove a=accelerazione che punta sul centro della orbita e vale

(2) Fg=m*a=m*(v^2)/r

Essendo, inoltre, la legge di Coulomb:

Fcu=(1/4*pi*eps)*q1*q2/r^2

F_cu=(1/4*p*eps)*e^2/r^2 = costante’*e^2/r^2

avendo sostituito q1, q2 con le cariche (dette e) di protone ed elettrone ..

avremo dalla (2) e dalla (3) z=costante’

(3) z*e^2/r^2=m*(v^2)/r

Ma per ottenere una espressione del raggio indipendente dalla velocità:

ricaviamo dalla (1) il valore di r^2, sostituendo nella (3) si ottiene la (4):

r^2={[(n*h)/2*pi][1/m*v]}^2

(4) z*e^2/{r=[(n*h)/2*pi][1/m*v]}^2=m*(v^2)/r

dove la (4) si può riscrivere come la seguente:

(5) r=(1/e^2)*(n*h)^2*(1/4*pi^2)*[1/(m*e^2)]*(1/z)

Da cui:

r(n=2)=(n^2)*r(n=1) =4*(5,28E-11)

Dalla (1)

v=(n*h/2pi)*(1/m*r)

Dunque, se r(2)=4*r1

v(n=2)=(2*h/2pi)*(1/m*4*r1)=(h/2pi)*(1/m*2*r1)=(1/2)*r1

cvd.

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Lo scopo dello studio attuale, vorrei esplicitare, è quindi verificare che dalla orbita con numero quantico n=2 un elettrone sulla orbita più esterna tende come avevamo già visto con n=1 ad essere indotto (dalla forza di Colulomb) a diminire di distanza media dal protone.

Al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2016/12/01/deterministic-orbit-of-h-hydrogen-tufanos-3th-theorem-mathematics/

.. già nel 2016, 6 anni prima dell’articolo attuale, avevamo visto che considerando solo la forza di Coulomb l’elettrone non solo tenderebbe a precipitare sul protone, ma -nel precipitare- andrebbe verso la velocità della luce. In prossimità della velocità della luce, però, è noto che un elettrone sarebbe una energia senza uno status “ordinario” della massa.

Con una massa non più “massiva”, ma solo energetica, secondo la relazione di Einstein:

energy=m0*c^2

tale m0 (di tipo energetico) non potrebbe sostenere una carica elettrica “ordinaria” e da ciò si ridurrebbe la forza di attrazione di Coulomb.

L’aumento della distanza dal protone, inoltre, normalmente avviene quando una luce (treno di fotoni) entra nell’orbita dell’elettrone, e la orbita ha una modificazione da n=1, ad n=2.

L’idea quindi è ora di partire da n=2 ed osservare l’orbita “a cadere” per valutare come variano la velocità tramite (fipunto, rpunto).

fipunto è l’andamento nel tempo dell’angolo di orbita.

rpunto è l’andamento nel tempo della distanza tra protone ed elettrone.

Questa dinamica è molto interessante perché ci dice un fatto:

che energia deve giungere ad un atomo di H affinché l’elettrone rimanga al valore di circa

r0=0.528E-10 metri ?

Abbiamo allora dato al software la sola condizione iniziale della “risposta libera” rpunto0=0 come condizione iniziale, per descrivere l’andamento al raggio ordinario, storicamente calcolato.

Nell figura seguente è la orbita di colore .. “rosso” in
Legenda: orbita cerchio = risposta libera n=1

FIG.1 – vista generale, varie simulazioni:

Quindi abbiamo aumentato solo fipunto0 ad un valore maggiore della velocità angolare ordinaria (circa 2000 km/sec) portando il valore a circa 3000 km/sec.

Se ne ottiene l’orbita a forma di cometa di colore blu:
Legenda: orbita tipo cometa = risposta forzata sulla vTG n=1

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La osservazione (in QM deterministica) ci mostra che l’elettrone NON cambia di orbita agendo solo su fipunto, ma altera solo la velocità tangenziale (TG).

Inoltre il software ci dice che dopo lo stesso numero di iterazioni i=25600 (campionando affinché il tempo orbitale ci mostri per ogni ds “1 grado” di 360 gradi) il sistema va in condizioni di saturazione raggiungendo sia con vTG circa 2000 km/sec e sia con vTG circa 3000 km/sec la velocità della luce.

Cambio di STRATEGIA:

§(1)

Da queste “osservazioni” avendo misurato (via software) rpunto0=circa -43 metri/sec alla conclusione della prima orbita, abbiamo provato a inizializzare rpunto=circa +43 metri /sec, ma la lieve modifica non ha spostato di un incremento apprezzabile la orbita al numero quantico n=1.

Ciò ci dice che l’ingresso di un treno di fotoni (quindi di energia) non è di un solo fotone (*) in un solo istante di tempo, ma una energia notevole e estesa non solo all’istante iniziale.
(*)
(COME VEDREMO IN SEGUITO la energia aggiungendo +43 m/sec =rpunto0 è una quantità “sub_fotonica”: vedi nel seguito “star1“)

Naturalmente c’è modo di sapere già nella trattazione storica quale sia il valore della energia totale che sposta dal numero quantico n=1 fino a portare l’elettrone ad n=2.

Ecco il calcolo:

Silvestroni (Fondamenti di Chimica) pagina 5:
(5)’ E(n) = -(1/n^2)*[2*((pi)^2)*m*(e^4)]/(h^2)

Da ciò considerando per un fotone la energia

(6)’ ε = h*ν (Silvestroni pag.5)

Poiché tabella a pagina 5 calcolata con la (5)’ si hanno i valori della energia in erg:

E(n=1) = -217,3E-13 (erg)
E(n=2) = -054,3E-13 (erg)

A pagina 6 Silvestroni:

Dalla (7) otteniamo nel passaggio dallo stato con n=2 ad n=1
ε=|217-54| E-13 (erg) = 1,63E-11

e dalla (6)’ si può calcolare la frequenza:

ν=24,6 E-14 (sec^-1)

da c=λ/ν si ricava la lunghezza d’onda associata:

lambda=122 nano metri

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Da tutto ciò si può dedurre che “il quantum fotonico” non è esaminato nel tempo, ma solo nella variazione di energia.

Di più: si è quantizzata una quantità di energia non perché possano esistere “sotto-quantizzazioni”=sub_fotoni, ma sul concetto di “salto energetico” associato alla variazione orbitale.

Dunque l’estrazione, tramite il bilancio di forze, conseguente alla differenza tra forza di Coulomb e la forza vibrazionale del fotone, ci ha mostrato nella nostra simulazione software milioni di scansioni senza notevoli variazioni di orbita (Ci riferiamo alla “risposta libera” a partire dallo stato quantico n=2).

Inoltre anche insistendo nel campionamento (e quindi ottenendo una orbita di caduta dal livello n=2 vs n=1), rimane il problema di “come imporre al sistema ATOMO DI IDROGENO” una risposta forzata non più quantica, ma lineare nel tempo (Sebbene la equazione nel continuum viene quantizzata con il campionamento nella simulazione numerica).

Si noti che “essendo una energia=forza*spostamento=L” ..

Manca l’analisi della “potenza applicata” essendo la potenza P=D_energia/Dt=d/dt(L)

https://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(fisica)

§(2)

Quindi va studiata, nella teoria dei sistemi, la cosiddetta “risposta forzata”.

La Ns proposta è di utilizzare l’input di opporsi all’arretramento di rpunto della risposta libera non solo imponendo rpunto0=circa |-43 metri/sec|, cambiato di segno, (quindi +43 metri/sec).

ma impostando una “risposta al gradino” con un rpunto che ha 2 input:

• il primo input generato dalla iterazione dei valori precedenti
• il secondo input generato dalla risposta forzata.

Grazie al test sul raggio si potrà sapere dopo quanto tempo, e con che orbita, la immissione di energia applicata tramite la variazione del raggio, in rpunto, abbia prodotto il cambio di orbita a spostarsi in espansione da n=1, ad n=2.

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07 gennaio 2023, ore 16.55

dal software si deve esaminare

• la “risposta al gradino”, ma espande di poco ..
• “la risposta alla rampa” che consente una corretta espansione.

Tuttavia necessita valutare ..

Quanto vale il raggio dell’atomo di H nella condizione del numero quantico n=2?

Grazie ai calcoli sul testo di Silvestroni si trova:

raggio(n=1)=0.528E-10=r0
raggio(n=2)=4*r0=2.112E-10

In base a Silvestroni pagina 5

E(n=1)= -217.3E-13 (erg)
(energia potenziale dalla posizione distante infinito ad n=1)

E(n=2)=54.3E.13 (erg)

E(n=2) – E(n=1) = h*f

dove essendo:

c=lambda/f

Silvestroni pag 6 trova:

lambda=122 nano metri = 122E-9 metri

Da cui

f=lambda/c=1.23E20 Hz

Dalla tabella pag.5 Silvestroni:

ε=E(n=2) – E(n=1) = h*f=(217.3 – 54.3)E-13 erg = 163 E-13 erg=163E(-13-7) joule

ε=163E-20 joule

Infatti la conversione da joule ad erg vede:

1 erg=1E-7 joule

Poiché un elettrofotone ..

energy di un singolo elettrofotone=m0*c^2=h*f=8.18E-14 joule

dove m0 è la massa di un elettrone
dove h costante di Planck
dove f è dedotta da

E(n=2) – E(n=1) = h*f

TH

elettrofotone = circa 50 mila volte più grande del salto energetico da n=1 vs n=2.

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Corollario:

Da cui esistono i sub fotoni.

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Dal raggio si può capire quante iterazioni si dovranno compiere per arrivare al raggio

r(n=2)=4*r0=circa 4*(0.528E-10)=2.112E-10 metri

dal software i=445 per raggiungere la dimensione del raggio ipotizzata in ipotesi di utilizzare il metodo dei sub fotoni come ipotizzati nel software.

cvd.

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Qui di seguito le 2 simulazioni dal software nei grafici di autocad10:

FIG.2 – vista generale con le seguenti modifiche:
i+f1 (risposta al gradino) (detta qui sopra “star1”)
i+f2 (risposta alla rampa) (indicata per esempio “star2”)

foto link

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FIG.3 – vista generale + zoom

foto link

Nota Bene1:
la risposta star1 è poco più grande dell’orbita in risposta libera, essendo una risposta al gradino con un input “aggiuntivo” alle equazioni di Einstein di delta0=circa 43 m/sec in ogni iterazione per “spingere” l’orbita dell’elettrone a crescere da n=1 vs n=2.

Nota Bene2:
la risposta star2, essendo una risposta alla rampa con delta1=delta0*i, crea ad ogni campionamento della risposta libera un incremento crescente.
Tuttavia l’andamento ordinario di cambio di orbita per stabilizzarsi in n=2, anziché estrarre l’elettrone, il che sarebbe una ionizzazione di H ..
l’andamento ordinario di cambio di orbita -dicevo- deve ridurre la “rampa” dolcemente. Da cui effettivamente si dovrebbe studiare l’orbita della risposta libera da n=2 vs n=1, ma ciò richiederà molte iterazioni che -per brevità- ci siamo voluti evitare.

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il software di ..
“risposta al gradino”:

https://www.partitoviola.it/doc-fisica/risposta-al-gradino-star1.pdf
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il software di ..
“risposta alla rampa”

https://www.partitoviola.it/doc-fisica/risposta-alla-rampa-star2.pdf

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ultimo aggiornamento:
8 gennaio 2023, ore 13.18