Einstein equations n-body (new teory “Einstein n-body” and dimostration) – Le equazioni di Einstein ad n corpi (una nuova teoria e dimostrazione matematica di “Einstein n-body”)

Premessa:

++
cit on
++

Poiché si intende con teoria di Einstein Cartan, quanto segue:
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%E2%80%93Cartan_theory

Traduco:

La teoria di Einstein-Cartan differisce dalla relatività generale in due modi: (1) è formulata nell’ambito della geometria di Riemann-Cartan, che possiede una simmetria di Lorentz localmente calibrata, mentre la relatività generale è formulata nell’ambito della geometria di Riemann, che non la possiede; (2) viene posta una serie di equazioni aggiuntive che mettono in relazione la torsione con lo spin. Questa differenza può essere scomposta in
general relativity (Einstein–Hilbert) → general relativity (Palatini) → Einstein–Cartan
wiki: lo schema dice:

1. “per prima cosa” per avere “a relatività generale su una geometria Riemann-Cartan”: sostituire l’azione di Einstein-Hilbert su una geometria Riemanniana con l’azione di Palatini su una geometria Riemann-Cartan;
2. “in secondo luogo”, rimuovere il vincolo di torsione zero dall’azione di Palatini, che risulta in una serie aggiuntiva di equazioni per lo spin e la torsione, nonché nell’aggiunta di termini aggiuntivi legati allo spin nelle stesse equazioni di campo di Einstein.

wiki:
La teoria della relatività generale è stata originariamente formulata nell’ambito della geometria di Riemann dall’azione di Einstein-Hilbert, da cui derivano le equazioni di campo di Einstein. All’epoca della sua formulazione originale, non esisteva il concetto di geometria di Riemann-Cartan. Né vi era una sufficiente consapevolezza del concetto di simmetria di gauge per capire che le geometrie riemanniane non possiedono la struttura necessaria per incarnare una simmetria di Lorentz localmente gauged, come sarebbe necessario per poter esprimere le equazioni di continuità e le leggi di conservazione per le simmetrie rotazionali e di spinta, o per descrivere gli spinori in geometrie di spaziotempo curvo. Il risultato dell’aggiunta di questa infrastruttura è una geometria di Riemann-Cartan. In particolare, per poter descrivere gli spinori è necessario includere una struttura di spin, che è sufficiente a produrre una geometria di questo tipo. La differenza principale tra una geometria di Riemann-Cartan e una geometria riemanniana è che nella prima la connessione affine è indipendente dalla metrica, mentre nella seconda è derivata dalla metrica come connessione di Levi-Civita; la differenza tra le due viene chiamata contorsione. In particolare, la parte antisimmetrica della connessione (detta torsione) è nulla per le connessioni Levi-Civita, come una delle condizioni che definiscono tali connessioni. Poiché la contorsione può essere espressa linearmente in termini di torsione, è possibile tradurre direttamente l’azione di Einstein-Hilbert in una geometria di Riemann-Cartan: il risultato è l’azione di Palatini (si veda anche la variazione di Palatini). Questa azione si ottiene riscrivendo l’azione di Einstein-Hilbert in termini di connessione affine e ponendo separatamente un vincolo che costringe sia la torsione che la contorsione a essere zero, costringendo così la connessione affine a essere uguale alla connessione Levi-Civita. Poiché si tratta di una traduzione diretta delle equazioni di azione e di campo della relatività generale, espresse in termini di connessione di Levi-Civita, questa può essere considerata come la teoria della relatività generale stessa, trasposta nel quadro della geometria di Riemann-Cartan.
++
cit off
++

Dalla premessa si capisce che si introduce il concetto di “localismo” nella proiezione su spazi duali, ma non si cambia la struttura della RG (relatività generale) come azione tra 2 masse.

Quindi esaminando il seguente lavoro:
First post-Newtonian N-body problem in Einstein-Cartan
theory with the Weyssenhoff fluid: equations of motion

liberamente consultabile on line al link:
https://arxiv.org/abs/2208.09839

Gli autori spiegano che ..

Il problema degli N-corpi consiste nel descrivere l’evoluzione di N oggetti massivi sotto le loro reciproche forze gravitazionali attrattive. Se consideriamo l’interazione gravitazionale
gravitazionale ´a la Newton, dobbiamo risolvere due problemi:
(1) determinare le equazioni del moto dei corpi estesi interagenti (rappresentate da equazioni differenziali integrali parziali); (2) determinare le equazioni del moto dei corpi estesi interagenti.
differenziali parziali); (2) risolvere questo problema per dedurre le loro
le loro traiettorie. Questo complesso schema può essere drasticamente semplificato se gli N corpi si mantengono reciprocamente ben
ben separati tra loro (cioè le loro separazioni sono maggiori delle loro
dimensioni tipiche). Questa configurazione permette di trascurare, con
buona approssimazione, i contributi derivanti dal quadrupolo e dal
quadrupolo e dai momenti multipolari di ordine superiore dei corpi
dei corpi ai loro campi gravitazionali esterni. Pertanto, gli oggetti estesi possono essere modellati come N masse puntiformi attraverso la procedura delle particelle puntiformi [1]. Questo
implica che ora le equazioni differenziali ordinarie governano
la dinamica e gli approcci numerici sono di fondamentale importanza per estrapolare l’intero moto [2].

2.1 The Weyssenhoff fluid
In this section, we introduce the Weyssenhoff model
within the EC theory (see Sec. 2.1.1) and its postNewtonian description (see Sec. 2.1.2).

Quindi utilizzano una rimodellazione con la fluido dinamica.

Conclusioni:

Ing A.M. Pasquale Tufano:
Quindi NON stiamo parlando di Einstein N-body problem!

Che è l’argomento dell’attuale articolo.

—

Premesso ciò.

Come è noto esiste sia una descrizione del moto gravitazionale secondo Newton/Lagrange a 3 corpi che a n-corpi:

Si consulti, per esempio, il link seguente:

https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem

Un caso particolare (da wikipedia):
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Three_body_problem_figure-8_orbit_animation.gif

NON esisteva, finora, una trattazione della teoria della relatività generale (RG di Einstein) ad n-corpi .. poiché la soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein è tra 2 masse.

Una massa minore, m, ed una massa maggiore, M.

Poiché in genere m << M, allora, si trascura (ordinariamente) la deformazione del campo gravitazionale a causa della entrata di m nel campo creato da M.

Esempio tipico è la capacità della Terra di attrarre il Sole, e si scrive semplicemente, se si usa il modello di Newton:

F(1)=-m1*a1=G*m1*m2/|r1-r2|^2

dove

m1=m=Terra
m2=M=Sole

a1=F(1)/m1=-a1=G*m1*m2/|r1-r2|^2=G*M/d^2

da cui la accelerazione impressa ad m1=Terra dipende solo da M=Sole, avendo trascurato la attrazione esercitata dalla Terra sul Sole.

—

Se invece si usa il modello di Lagrange a 2 corpi:

Alla equazione appena esaminata sopra e che ri-scriviamo qui di seguito:

F(1)=-m1*a1=G*m1*m2/|r1-r2|^2

o meglio:

F(1)=-m1*a1=G*m1*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3
modificata per evidenziare il segno di (r1-r2)

Va aggiunta la equazione seguente:

F(2)=-m2*a2=G*m2*m1/(r2-r1)/|r2-r1|^3

—

Dunque:

F(1)=-m1*a1=G*m1*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3
F(2)=-m2*a2=G*m2*m1*(r2-r1)/|r2-r1|^3

F(1)/m1=-a1=G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3=G*M*(r1-r2)/|r1-r2|^3
F(2)/m2=-a2=G*m1*(r2-r1)/|r2-r1|^3=G*m*(r2-r1)/|r2-r1|^3

dove

|F(1)|=|F(2)|

F(1)=-F(2)

La forza su m1=m è uguale ed opposta a quella applicata ad m2=M, come se le due masse fossero ai capi di una molla ..

ma le accelerazioni sono diverse a causa delle masse

a1=G*M*(r1-r2)/|r1-r2|^3
a2=G*m*(r2-r1)/|r2-r1|^3

dunque

a1=-a2*M/m
a2=-a1*m/M
m1=m
m2=M

Quindi la deformazione introdotta dal corpo minore vede a2 << a1.

Da ciò si considera “trascurabile” la deformazione di posizione imposta al Sole dalla attrazione terrestre.

E’ come se il Sole fosse inchiodato nella sua posizione (considerata la origine del sistema di riferimento) e sia il corpo minore (per esempio la Terra) a spostarsi verso il Sole, senza che il Sole subisca modificazioni dalla massa del corpo minore (la Terra).

—

TH1:

Se però ci vogliamo avvalere della trattazione (che ci accingiamo a presentare) di “Einstein ad n-corpi”, non possiamo trascurare le masse dei “corpi minori”, e dobbiamo considerare le deformazioni introdotte dai “corpi minori”, come fa la trattazione di Lagrange.

—

TH2:

Si può dimostrare (vedi seguito) che la trattazione di Einstein a 2 corpi si può generalizzare a n corpi. Nella trattazione attuale tratteremo il caso di n=3: cioé

m1=Sole (#1)
m2=Terra
m3=Luna
(#1)
versione aggiornata rispetto alle versioni precedenti sull’articolo attuale.

—

DIMOSTRAZIONE (caso n=3 corpi)

Anzitutto descriviamo il problema secondo Lagrange:

vedi:
https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem

Secondo Lagrange nel caso di 3 corpi:
F(1)=-m1*a1=+G*m1*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3 + G*m1*m3(r1-r3)/|r1-r3|^3
F(2)=-m2*a2=+G*m2*m1*(r2-r1)/|r2-r1|^3 + G*m2*m3(r2-r3)/|r2-r3|^3
F(3)=-m3*a3=+G*m3*m1*(r3-r1)/|r3-r1|^3 + G*m3*m2(r3-r2)/|r3-r2|^3

Possiamo ora esprimere secondo le accelerazioni:

F(1)/m1=-a1=+G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3 + G*m3(r1-r3)/|r1-r3|^3
F(2)/m2=-a2=+G*m1*(r2-r1)/|r2-r1|^3 + G*m3(r2-r3)/|r2-r3|^3
F(3)/m3=-a3=+G*m1*(r3-r1)/|r3-r1|^3 + G*m2(r3-r2)/|r3-r2|^3

Evidentemente,

a1 è la accelerazione che subisce la m1=Sole a causa del m2=Terra, in ipotesi che m3=Luna=0.

Infatti, se fosse m3=0, avremmo solo a1 e a2. Quindi un problema a 2 masse.

Con tale impostazione possiamo *costruire la trattazione di Einstein ad n-corpi*, a partire da F(1) con m3=0, precisando che:

—

Ipotesi n1:

rg=rg1=2GM/c^2

vedi:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius

dove
m1=Sole
m2=Terra
m3=Luna

—

Ipotesi n2:

premessa: introduzione del concetto di “pivò” nello studio delle equazioni:

Stiamo esaminando F(1), ma va capito che la massa m1 “funziona da pivò”:

Ossia, in F(1) dove m1=pivò:
m2 è la massa che genera la parte della forza totale che agisce su m1 (la Terra attrae il Sole)
m3 è la massa che genera la parte della forza totale che agisce su m1 (la Luna attrae il Sole)
Da cui il pivò in F(1) è m1, cioé il Sole

Analogamente, in F(2) dove m2=pivò:
m1 è la massa che genera la parte della forza totale che agisce su m2 (il Sole attrae la Terra)
m3 è la massa che genera la parte della forza totale che agisce su m2 (la Luna attrae la Terra)
Da cui il pivò in F(2) è m2, cioé la Terra

Analogamente, in F(3) dove m3=pivò:
m1 è la massa che genera la parte della forza totale che agisce su m3 (il Sole attrae la Luna)
m2 è la massa che genera la parte della forza totale che agisce su m3 (la Terra attrae la Luna)
Da cui il pivò in F(3) è m3, cioé la Luna

—

Poiché stiamo esaminando -come caso di scuola- la seguente equazione:
ma il discorso vale per ogni F(i)

F(1)/m1=-a1=+G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3 + G*m3(r1-r3)/|r1-r3|^3

chiamiamo:

-($a1’+$a1”)=+G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3 + G*m3(r1-r3)/|r1-r3|^3

dove:

-($a1′)=+G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3

è la accelerazione, secondo Lagrange, tra Sole e Terra (Sole=m1, Terra=m2)
O meglio imposta al Sole dalla Terra.

in presenza -ipotetica- della azione (in accelerazione) dovuta solo alla Terra sul Sole.

dove, inoltre:

-($a1”)=G*m3(r1-r3)/|r1-r3|^3

in presenza -ipotetica- della azione (in accelerazione)
dovuta solo dalla Luna (Sole=m1, Terra=m2, Luna =m3).
O meglio imposta al Sole dalla Luna.

Se le 2 trattazioni (Einstein e Lagrange) restituiscono circa la stessa evoluzione della accelerazione, non solo Lagrange è in grado di essere gestito a n-corpi, ma anche Einstein (*2)
(*2)
(Come abbiamo verificato nell’articolo al seguente link: Newton/Lagrange realizzano una orbita più approssimativa rispetto ad moto descritto dalle equazioni di Einstein ed è questo il motivo principale di ricorrere alla RG di Einstein).
https://6viola.wordpress.com/2022/07/19/simulazione-dellorbita-di-mercurio-con-3-metodi-1-equazioni-di-einstein-2-equazioni-di-lagrange-3-equazioni-della-circonferenza-nei-moti-centrali/

Nota Bene:
Nella costruzione di ogni termine della equazione di Lagrange (ed anche in quella di Einstein) si sottontende una “coppia” di masse.

Rif. F(1):

In -($a1′) si sottointende la correlazione m1 ed m2 (esattamente: m2=causa;  moto di m1=effetto’)

In -($a1”) si sottointende la correlazione m1 ed m3 (esattamente m3=causa; moto di m1=effetto”)

Quindi -in Einstein- si “costruisce” rg
if  -($a1′): sono correlati m1 ed m2:
il corpo maggiore va inteso come M, in rg’=2GM’/c^2
Nel nostro esempio M’ è il Sole (come massa)

if -($a1”): sono correlati m1 ed m3:
il corpo maggiore va inteso come M, in rg”=2GM”/c^2
Nel nostro esempio M” è il Sole (come massa).

Tuttavia rispetto al caso “classico” a 2 masse quando è il corpo minore ad attrarre quello maggiore necessita una “trasformata“:

Ad esempio se con Einstein abbiamo impostato il corpo maggiore come il Sole e quello minore come la Terra, allora, essendo la accelerazione classica ad esempio secondo Newton a_classica=GM/d^2, se ci serve in una certa F(i) la accelerazione del corpo minore su quello maggiore potremo scrivere a_trasformata=(a_classica)*(m/M).

Si noti, però, che la trasformata è valida anche con Einstein, laddove si sostituisce il calcolo della accelerazione con rduepunti delle equazioni di Schwarzschild.

—

A seguito della simulazione software potrò dire se la costruzione “Einstein n-body” è risultata convergente.

stop 13.17 del 24 sett 2022

—

—

AGGIORNAMENTO 26 SETT 2022, ORE 8.40

++
cit on
++

La configurazione che utilizzeremo nella dimostrazione:
m1=Sole
m2=Terra
m3=Luna

r1=raggio del Sole dalla origine
r2=raggio della Terra dalla origine
r3=raggio della Luna dalla origine

++
cit off
++

Nota1:
Software di Einstein Sole Terra è nell’articolo seguente cambiando Mercurio con la Terra:
https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

Nota2:
Software di Einstein Terra Luna è nell’articolo seguente:
https://6viola.wordpress.com/2016/11/10/einsteins-orbit-theorem-of-the-net-tufanos-second-geodesic-theorem-mathematics/

—

AGGIORNAMENTO 28 SETT 2022, ORE 11.48

Tema: la forma parametrica nel caso di n-corpi, sia in Lagrange, sia in Einstein:

Per distinguere le equazioni di Lagrange da quelle di Einstein:

• chiameremo a1, a2, a3 (nel caso di 3 corpi) a1=a1(L), a2=a2(L), a3=a3(L), rif. Lagrange.
• chiameremo a1=a1(E), a2=a2(E), a3=a3(E), rif. Einstein.

Grazie alla scrittura disponibile anche su wikipedia seguente:
https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem

Esplicitiamo il caso n=3 rif. Lagrange:

-a1(L) = G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3 + G*m3*(r1-r3)/|r1-3|^3

-a2(L) = G*m1*(r2-r1)/|r2-r1|^3 + G*m3*(r2-r3)/|r2-r3|^3

-a3(L) = G*m1*(r3-r1)/|r3-r1|^3 + G*m2*(r3-r2)/|r3-r2|^3

—

chiamiamo in

rif. Lagrange:

-$a1(L) = $a[L(1,1)] + $a[L(1,2)]
-$a2(L) = $a[L(2,1)] + $a[L(2,2)]
-$a3(L) = $a[L(3,1)] + $a[L(3,2)]

Dove:

$a[L(1,1)]=G*m2*(r1-r2)/|r1-r2|^3

$a[L(1,2)]=G*m3*(r1-r3)/|r1-3|^3

ed analogamente negli altri casi come si collezionano gli elementi di una “matrice (riga, colonna)”.

—

In

rif. ad Einstein:

Premesso che la forma generale è la seguente:

foto link

tratta dal mio articolo:
https://6viola.wordpress.com/2017/11/23/relativistic-plasma-jets-in-black-holes-mathematics/

in ipotesi di volere lavorare sul piano cartesiano x,y:

θ=π/2; trascurando le deformazioni del tempo (ma ciò non implica di poterle re-introdurre in seguito)

Avremo per le equazioni di Einstein, in forma del software (Amadori e Lussardi) e riferito a 2 sole masse, la espressione seguente di cui, per ora, non scriviamo nel sistema delle accelerazioni del raggio, la fi derivata 2 volte=$fiduepunti0, e -quindi- consideriamo solo la derivata seconda del raggio, e quindi la accelerazione:

$rduepunti0=-($c*$c*$rg*($r0-$rg)/(2*$r0*$r0*$r0))*$tpunto0*$tpunto0
+($rg/(2*$r0*($r0-$rg)))*$rpunto0*$rpunto0
+($r0-$rg)*$fipunto0*$fipunto0;

$fiduepunti0=-(2/$r0)*$rpunto0*$fipunto0;

—

Potremo allora scrivere

rif. Einstein:

-$a1(E) = $a[E(1,1)] + $a[E(1,2)]
-$a2(E) = $a[E(2,1)] + $a[E(2,2)]
-$a3(E) = $a[E(3,1)] + $a[E(3,2)]

Dove:

$a[E(1,1)]=
$rduepunti011=-($c*$c*$rg11*($r011-$rg11)/(2*$r011*$r011*$r011))*$tpunto0*$tpunto0
+($rg11/(2*$r011*($r011-$rg11)))*$rpunto011*$rpunto011
+($r011-$rg11)*$fipunto011*$fipunto011;

Dove:

$fiduepunti011=-(2/$r011)*$rpunto011*$fipunto011;

Dove: (in assenza di deformazione temporale: v << c)

$tpunto0=0

Dove:

rg11=2*G*M/c^2

Dove M è la massa maggiore nella coppia (m1, m2) in rif prima riga della matrice:
Nel nostro esempio M=m2=massa del Sole

—

In

rif. ad Einstein,

e alla prima riga della matrice, seconda colonna:

$a[E(1,2)]=
$rduepunti012=-($c*$c*$rg12*($r012-$rg12)/(2*$r012*$r012*$r012))*$tpunto0*$tpunto0
+($rg12/(2*$r012*($r012-$rg11)))*$rpunto012*$rpunto012
+($r012-$rg11)*$fipunto012*$fipunto012;

Dove:

$fiduepunti012=-(2/$r012)*$rpunto012*$fipunto012;

Dove: (in assenza di deformazione temporale: v << c)

$tpunto0=0

Dove:

rg12=2*G*M/c^2

Dove M è la massa maggiore nella coppia (m1, m3) in rif prima riga della matrice:
Nel nostro esempio M=m1=massa della Terra, essendo m3=Luna, quindi m1 > m3.

—

Si può procedere analogamente per le altre righe e colonne del sistema.

—

—

AGGIORNAMENTO 7 OTTOBRE 2022, ORE 11.53

Tema: la forma parametrica nel caso di n-corpi, sia in Lagrange, sia in Einstein:

La forma esplicita nella documentazione SOFTWARE.

Premessa:

esamineremo, con rappresentazione grafica (AUTOCAD 10) due software:

1. Lagrange-3-body-Sole_Terra_Luna-30-sett-2022-2.php
   http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Lagrange-3-body-Sole_Terra_Luna-30-sett-2022-2.pdf
2. Sole_Terra+Sole_Luna Einstein-4-ottobre-2022-4.php
   http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Sole_Terra+Sole_Luna%20Einstein-4-ottobre-2022-4.pdf

Nella figura seguente i risultati in forma grafica:

Legenda FIG.1 :

• gli indici in nero indicano i campionamenti con i=0,100, 200, etc sull’asse x di un sistema cartesiano secondo il modello di Lagrange (a 3 corpi: Sole, Terra, Luna)
• gli indici in blu indicano i campionamenti con j=0,100, 200, etc sull’asse x dello stesso sistema cartesiano del punto precednete ma secondo Einstein n=3 body (Sole, Terra, Luna).

FIG.1
Nota Bene:
i compionamenti in blu si riferiscono solo alla posizione della Terra secondo Einstein
i compionamenti in nero si riferiscono solo alla posizione della Terra secondo Lagrange
il software è stato inizializzato con le masse con la forza gravitazionale reciproca, ma senza orbite

foto link:

Commento a FIG.1:
Come avevamo già visto nella precedente sperimentazione comparando 2 masse per volta (Sole Terra: sia seocndo Lagrange e sia secondo Einstein) le posizioni (quasi) coincidono nella prima parte dell’orbita (fino a 180° ovvero mezza ellisse), ma per lo stesso valore di campionamento -ad esempio i=800 Lagrange descrive una orbita di raggio maggiore dal Sole, mentre Einstein chiude meglio la orbita.

—

FIG.2:
Nota Bene:
Stiamo ora esaminando la posizione del Sole attratto dalla Terra e dalla Luna.
gli indici in i sono la posizione a 3 corpi del software di Lagrange
gli indici in j sono la posizione a 3 corpi del software di Einstein

foto link

Commento a FIG.2:
I cerchi sono di dimensioni diverse per distinguere Lagrange ed Einstein
Il fattore di scala è diverso altrimenti i pochi metri di scostanto del Sole dall’origine degli assi non sarebbe stato percepibile se nel fattore di scala della figura precedente.
Il centro dei cerchietti (al solito) indica la posizione di campionamento.
Anche qui i 2 modelli vedono Einstein descrivere distanze minori dalla origine degli assi rispetto a Lagrange.

—

FIG.3:
Nota Bene:
in nero la posizione della Terra con il modello di Lagrange
in blu la posizione della Terra con il modello di Einstein

Prendiamo un valore di campionamento di esempio per indicare la simbologia: i=800 (detto j in Einstein):

• in i=800 con colore nero “calcolo secondo Lagrange” (indica la Terra) è apparentemente senza cerchietto, ma il più lontano dalla origine.
• in j=800 con colore blu “calcolo secondo Einstein” (indica la Terra) è con il cerchitto più piccolo, ed a sinistra di Lagrange (quindi con distanza minore di Lagrange)
• in i=800 con colore rosso “calcolo secondo Lagrange” (indica la Luna) è il cerchietto più grande, e il più a sinistra tra quelli di valore i=800.
• in i=800 con colore magenta “calcolo secondo Einstein” (indica la Luna).
• in i=800 con colore verde Einstein (indica la Luna), ma il modello è solamente a 2 corpi: Sole e Luna. E la Luna è sempre in coda alla Terra (a destra di chi guarda la figura).

foto link

Commento a FIG.3:

Ho ritardato la mia pubblicazione, perché andava verificato che non vi fossero errori, e quindi le “cause” di queste apparenti anomalie: la Luna più vicino al Sole della Terra.

1. Nel moto rettilineo tra masse la massa che è in coda alla fila di chi è attratto dal Sole, come la Luna, non solo risente della attrazione del Sole, ma anche della Terra, e ciò giustifica una accelerazione maggiore applicata alla Luna rispetto alla Terra.
2. Tuttavia una volta è nel caso reale vi è una “collisione” tra la posizione della Luna e della Terra, la Luna non può “scavalcare” la posizione della Terra, come nel modello che le masse siano concentrate -ciascuna massa- in un punto, quindi si crea il paradosso -se nei modelli- non si “riunificano le masse dopo lo scontro”. Il paradosso che una massa minore possa -dopo lo scavallamento- procedere più velocemente, come Luna, della Terra. Infatti la F graviazionale è proporzionale (circa) al prodotto delle masse e quindi il prodotto delle masse Sole Terra è maggiore del prodotto delle masse Sole Luna. Come è evidente le masse minori vanno accorpate a quelle maggiori dopo la collisione, sebbene andrebbe calcolata anche la variazione di velocità causata dalla collisione ed anche tenendo conto dei volumi reali delle masse.
3. Si tenga infine conto che la accelerazione della Luna vs Terra, quando esiste una orbita tra Luna e Terra, è molto minore del caso inerziale su una retta senza orbite. Si potrebbe dire che la Luna che non cade sulla Terra non ha (quasi) peso, quando è in una orbita di (quasi) equilibrio. Quindi è sufficiente il calcolo della posizione della Terra per sapere dove è la Luna, computando a parte la orbita della Luna rispetto alla Terra.

—

Conclusioni:

Questa prima sperimentazione ha confermato -quindi- la separabilità delle accelerazioni anche secondo Einstein, sebbene la trattazione fosse semplificata sul solo asse x.

Nei prossimi articoli estenderemo i modelli al caso orbitale.

—

A breve pubblicherò il software che ha originato le figure discusse qui sopra.
E lo metterò a disposizione in formato pdf qui di seguito.

—
AGGIORNAMENTO 16 OTTOBRE 2022, ORE 10.44

Il software è ora disponibile:

Fai clic per accedere a Sole_Terra+Sole_Luna%20Einstein-4-ottobre-2022-4.pdf

Fai clic per accedere a Lagrange-3-body-Sole_Terra_Luna-30-sett-2022-2.pdf

—

pubblicato: il 26 settembre 2022

ultime modifiche: 22 ottobre 2022, ore 10.42