SIMULAZIONE dell’orbita di Mercurio con 3 metodi: (1) equazioni di Einstein – (2) equazioni di Lagrange – (3) equazioni della circonferenza nei moti centrali.


foto link
(Fig.N1)

Software N1 associato a Fig. N1, Fig. N2:
formato pdf del software qui sopra:
link: http://www.partitoviola.it/doc-fisica/TEST2-software-TRIGONOMETRICO-rif-Mercurio-17-luglio-2022.pdf

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cit on
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Nota Bene la orbita in blu e la orbita in rosso sono entrambe output del software indicato qui sopra.

  1. la orbita in blu è la orbita trigonometrica
  2. la orbita in rosso è la orbita dalle equazione di Newton/Lagrange

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cit off
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Poiché abbiamo già esplorato le equazioni di Einstein, come pure quelle di Lagrange, volevamo mettere in luce -nell’articolo attuale- come sia “delicata” la questione delle “condizioni del contesto all’inizio della dinamica“. A volte tali condizioni sono dette di Cauchy. Poiché Cauchy usava dire “la soluzione di un sistema di equazioni, se esiste, dipende dalle condizioni al contorno, ovvero all’inizio della dinamica, ovvero dello “status”.

Esaminiamo una orbita gravitazionale con un modello “trigonometrico” -qui di seguito-
(m1= Sole, m2=Mercurio) per valutare la differenza tra i 3 modelli (Newton/Lagrange, Einstein, Trigonometrico):

Modello Trigonometrico (vedi figura seguente la orbita circolare in blu):

Fig. N2:

foto link

Ip1:

(1) sia ω (detta pulsazione) =2*π/T
dove T = tempo impiegato per percorrere tutta la circonferenza di un cerhio di raggio R

Ip2:

(2) sia φ (angolo della posizione) = ω*t

dove t è il tempo a cui è giunto il punto che descrive la circonferenza e la relazione (2) andrebbe detta

ω=[delta (φ)]/[delta (t)]

e cioé ω, in ipotesi di moto a velocità costante, percorre spazi uguali (anche come angoli) in tempi uguali se ω=costante.

Ip3:

Essendo, dalla trigonometria:

(3)

x(t) = R*cos[φ(t)]=R*cos[ω*t]
y(t) = R*sin[φ(t)]=R*sin[ω*t]

(la rotazione è antioraria)

con le derivate si può calcolare la velocità:

Ip4:

(4)

vx = -R*ω*sin[ω*t]
vy =+R*ω*cos[ω*t]

Ip5:

calcoliamo il modulo della velocità v

(5)

|v| = sqrt (vx^2 + vy^2) = R*ω
elevando al quadrato le (4)

calcolando anche le fasi

arcTAN (v) = arcTAN(vy/vx)

Si vede che il vettore velocità è tangente alla circonferenza durante tutto il moto
E quindi ha due proiezioni (nel primo quadrante, ad esempio) che vicino all’origine e al primo angolo di 1° ha componente
vx < 0
vy >0

Nota Bene: in linguaggio php arcTAN( ) è atan( )

Ip6:

Calcoliamo ora le accelerazioni della posizione secondo le componenti di 2 assi cartesiani:

|ax| = |d/dt{-R*ω*sin[ω*t]}| = |-R*(ω^2)*cos[ω*t]|=R*(ω^2)*cos[ω*t]=(ω^2)*x(t)
|ay| = |d/dt{+R*ω*cos[ω*t]}|=|-R*(ω^2)*sin[ω*t]| =R*(ω^2)*sin[ω*t]=(ω^2)*y(t)

|a|=sqrt(ax^2+ay^2)=(ω^2)*R

Dalla (5) |v|=R*ω -> ω=|v|/R

Da cui

(6)

|a| = (ω^2)*R=[(|v|/R)^2]*R=|v|^2/R

studiando anche le fasi si può dimostrare che la accelerazione è descrivibile con un vettore che punta verso il centro del cerchio e simula la forma di gravità.

Vicino alla origine ed ad 1° vede

ay < 0
ax < 0

Nota Bene: vi sono anche la derivata dell’angolo (del vettore di posizione) e la accelerazione angolare (del vettore di posizione), e le esamineremo nel seguito.

Prendiamo ora un caso di esempio simulazione orbitale con Newton/Lagrange:

L’ORBITA DI MERCURIO

Calcoliamo alcuni valori con le 3 tipologie di equazioni del titolo dell’articolo attuale:

Il software di Einstein ci dice che dopo un tempo di campionamento di

t1= : 31304.99968695

Sul software di Einstein vedi:
fonte1: https://6viola.wordpress.com/2016/10/15/orbita-di-mercurio-in-php-software/
fonte2: https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

corrispondente ad

angolo = 1° grado

se il modulo della velocità in origine era rpunto0= : -87.9245272061

output1 Einstein: in 1° sarà v=rpunto1 = -261.16951609197

output2 Einstein: il raggio in 1° grad: r1= : 69814327340.887

Einstein inoltre fornisce:

output3:
x= : 69803694280.68

outoput4:
y= : 1218428015.8987

rpunto1x= : -261.16951609193
rpunto1y= : -0.00014561978511747

rduepunti= : -0.0055340996290009
rduepunti0x= : -0.0055340996290009
rduepunti0y= : -7.7712161773486E-18

per conferma dei valori di Einstein lanciare il software fonte1, oppure fonte2 (sopra indicate)

Il modello trigonometrico (applicato a Newton Lagrange):

richiede di calcolare alcuni valori applicati a Mercurio.

Però molti valori li avevamo già calcolati nell’articolo seguente:

Orbit of Mercury: Measure Theory

link: https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

Commento alla comparazione dei modelli:

C’è da dire che nelle equaazioni di Einstein risolte come Schwarzschild oltre che la evoluzione della derivata seconda del raggio e del tempo, abbiamo la derivata seconda dell’angolo φ(t) che descrive la rotazione del vettore r(t) che indica la posizione di Mercurio durante la rotazione.

Differentemente da ciò che troviamo nel modello di Einstein, con Newton Lagrange dobbiamo affidarci a misurare l’orbita e desumere da questa φ(t).

Si noti che [φ(t1) – φ(0)] /(t1-t0)=ω=fipunto0=w (nel seguito)

e nella interpolazione

f1=f0 + fipunto0*Dt

fipunto1=f1punto0 + fiduepunti0*Dt

Nei vari tentativi da noi eseguiti abbiamo verificato che fiduepunti0 posto come condizioni iniziali di Einstein è circa zero.

Ciò porta ad una analisi semplificata, se applicata al caso Trigonometrico, di w=costante e derivata d/dt[w]=0.

Stiamo ipoteticamente descrivendo un cerchio, come orbita di Mercurio, se fosse vero che w=costante ed il raggio rimanesse costante, e la velocità rimanesse costante.

VICEVERSA

pur lasciando w=costante e calcolata da

circonferenza=2*pi*raggio=circa 360 000 000 000 metri (vedi wikipedia):
https://it.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(astronomia)

si può dedurre un raggio diverso da quello proposto da Einstein (dalla formula precedente)

raggio=(360 000 000 000 metri)/(2*pi)=57295779513=circa 57E9 metri

Inoltre le condizioni iniziali (nel modello Newton/Lagrange) possono essere ottenute con la trigonometria utilizzando w

x=Rcos(w*t)
y=Rsin(w*t)

Se indichiamo con Dt il tempo di campionamento

Se il  tempo totale orbitale = T.

In ipotesi che il campionamento sia ogni 1° grado di 360°
Dt=T/360°=[87,969(giorni)*24(ore)*(60minuti)*(60 sec)]/360=[7600521,6]/360=21112,56 sec

Fatto tutto ciò (aggiungeremo il software nel seguito)

Le ax ed ay offerte da Newton Lagrange ci danno una “orbita ugualmente ellittica aperta” che recupera dopo 360° un punto di attraversamento simile a Einstein, avendo applicato fiduepunti=0.

La mera constatazione è che l’orbita offerta da Einstein è più vicina (anche nella prima rotazione orbitale) alle osservazioni astronomiche, ma si può solo applicare a 2 corpi per volta.

La orbita offerta da Newton Lagrange richiederebbe un migliore accesso alle condizioni iniziali di quelle pur semplificate da noi calcolate, ma offre ugualmente una orbita ellittica (molto simile alla orbita di Einstein), ma si può applicare a n corpi contemporaneamente.

Da ciò, avendo verificato che non vi sono errori strutturali nella applicazione delle equazioni di Newton Lagrange (nel caso gravitazionale) ci proporremo (nel seguente articolo a quello attuale) di modificare le equazioni di Newton Lagrange per farle funzionare sulla forza di Coulomb e descrivere la QM deterministica, non solo come già fatto per 2 masse allineate (ndr: le 2 masse erano 2 elettroni allineati all’asse x avendo la stessa quota y) come nell’articolo già presentato al seguente link:

deterministic foundation of quantum mechanics – FONDAZIONE DETERMINISTICA DELLA MECCANICA QUANTISTICA

link: https://6viola.wordpress.com/2022/07/01/deterministic-foundation-of-quantum-mechanics-fondazione-deterministica-della-meccanica-quantistica/

.. ma per la struttura H2 dell’idrogeno biatomico. Ma ciò in un prossimo articolo.

Metto a disposizione la simulazione software modello Newton/Lagrange rif Orbita di Mercurio:

Software N1 (già sopra citato):

link: http://www.partitoviola.it/doc-fisica/TEST2-software-TRIGONOMETRICO-rif-Mercurio-17-luglio-2022.pdf

da mettere a confronto con il modello di Einstein:

fonte1: https://6viola.wordpress.com/2016/10/15/orbita-di-mercurio-in-php-software/
fonte2: https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

Commento (2 agosto 2022), ore 9.21:

Perché il modello di Lagrange Newton NON segue la orbita quasi circolare (in realtà: ellittica) che pure Einstein ripercorre?

  1. la variazione dell’angolo del punto di coordinate
    x(t), y(t) non ha rotazione costante φ(t), d/dt[φ(t)]=/=w=costante, ma w(t)=variabile
  2. essendo w(t)=variabile esiste una derivata seconda di φ(t). d/dt[w(t)]=rduepunti(t), mentre nel modello di Lagrange Newton si potrebbe dedurre dalla derivata seconda di ax(t), ay(t), ma solo dopo avere misurato le condizioni iniziali di accelerazione che sono in t=0 circa zero.

Quello che è noto -però- è che la w(t=0) deve essere più bassa che con un orbita a velocità angolare costante. Se sia “abbassa” (in modulo) il valore di w .. essendo minore la velocità tangenziale sulla orbita .. il punto orbitale, P, tenderà a cadere sulla massa centrale al sistema di riferimento.

Se la w è troppo bassa .. P cadrà sulla massa centrale _prima_ di avere completato la prima orbita di 360°.

Abbiamo già studiato, nel primo studio su Mercurio, tale problema.

E’ la questione di avere un modello della ellisse e il calcolo delle “velocità areolari”.

Vedi:

https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

compariamo i 2 metodi di calcolo di fipunto0=w(t=0)

++
cit on
++

w=2*pi/T -> 8,26678E-07

T=tempo orbitale di Mercurio ipotesi orbita con w=costante=7600521,6 -> 7600521,6

pi=3,14159265358979 -> 3,141592654

fipunto0=w(0) secondo teoria areolare -> 5,57524E-07

fipunto=(0.0174532925199433 [rad])/(31305 [sec]) =f1/Dt

f1=1°=in radianti=0,0174532925199433 -> 0,017453293

Dt modificato da Einstein=31305 -> 31305

Si noti che

5,57524E-07 < 8,26678E-07

vedi:
dim(1):
$ds=31305;
link:
https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

dove

fipunto0=(f1-f0)/Dt; f0=0

Quindi effettivamente si possono “migliorare” le condizioni iniziali:

modificando:

  1. fipunto0 (velocità angolare nell’origine, in t=0)
  2. Dt (tempo di campionamento dell’orbita)

Ci apprestiamo a ripetere il grafico già mostrato nella figura qui sopra .. e verificare che anziché procedere per “tentativi” si può disegnare la orbita (abbassando w(0)) con un “criterio” appena sopra mostrato ..

AGGIORNAMENTO 2 AGOSTO 2022, ORE 12.30

Il grafico nelle ipotesi di Einstein applicate a Lagrange:

Fig. N3:


foto link

Commento al grafico precedente:

  1. effettivamente diminuendo w(t=0) (al valore 5,57524E-7 radanti al sec)
  2. aumentando Dt, come suggerito dalla studio della ellisse (al valore 31305 sec)

ne segue una orbita di “caduta” almeno nel tragitto iniziale.

Però i nuovi parametri introdotti .. non seguendo le equazioni di Einstein, ma quelle di Newton/Lagrange .. creano un effetto “fionda” .. per cui la caduta aumenta comunque la velocità .. e ciò favorisce l’uscita dall’orbita.

Serve, quindi, una “microregolazione” che ci accingiamo ad esplorare, e con i nuovi valori vedremo se è possibile modificare solo w(0) e Dt, in modo tale che si rispetti anche w(0)=2*pi/T con il vincolo ulteriore che T/360=Dt.


AGGIORNAMENTO 2 AGOSTO 2022, ore 14.16

dati orbita in blu:

w'(0)=(2*pi)/T=(2*pi)/(7600521,6)=8,26678E-07= radianti/sec
è la trigonometria con il software:
TEST2-software-TRIGONOMETRICO-rif-Mercurio-17-luglio-2022.php
colore dell’orbita blu nelle figure precedenti
Dt=T/360 = “21112.56 (sec)” = intervallo di campionamento
R=raggio dell’orbita circolare=$R=57295779513 metri
fi(t)=w*(t=i*Dt) ;
fi(t=Dt)=(w*Dt)=(8,26678E-07)*(21112.56)=0,017453293 radianti di 1°

dati orbita in rosso:

la orbita in rosso delle figure precedenti
ha le stesse inizializzazioni e lo stesso software
TEST2-software-TRIGONOMETRICO-rif-Mercurio-17-luglio-2022.php
ma le accelerazioni sono fornite dalle equazioni di Newton/Lagrange
e le interpolazioni:
r1=r0+rpunto0*Dt
rpunto1=rpunto=+rduepunti0*Dt

fi1=fi0+fipunto0*Dt
fipunto1=fipunto0+fiduepunti0*Dt

dove fiduepunti0=0 come approssimazione.

dati orbita magenta:

w”(0)=(2*pi)/T’=(2*pi)/(11 269 800)=5,57524E-7 = radianti/sec
il new software (colore magenta):
Software N2 fig. N3:
Mercurio-2-agosto-2022-modificato.php

dove
T’=/=T=7 600 521,6 sec (tempo orbitale)
$Dt = 31305 sec
Dt’*360=11 269 800=T’ (new tempo orbitale)

A breve pubblicherò il software della curva di colore magenta:

software N3:

Mercurio-2-agosto-2022-modificato.php

Inoltre lo modificherò con nuovi Dt di campionamento ed w(0) iniziale, per vedere se migliora la orbita descritta da Newton/Lagrange.

Aggiornamento 6 Agosto 2022, ore 4.45
software orbita magenta:

Mercurio-2-agosto-2022-modificato.php:
http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Mercurio-2-Agosto-2002-modificato.pdf

Aggiornamento 6 Agosto 2022, ore 12.42

Il software con w intermedia tra quella trigonometrica e quella di Einstein si muove secondo i cerchi più grandi nella figura seguente. Da questa elaborazione ne discende che non basta porre w=costante, ma necessita uno studio ad hoc di w(t)=variabile. Infatti la accelerazione gravitazionale cambia il numero di gradi dell’angolo giro percorsi nel tempo di campionamento, come -del resto- Einstein NON omette e quindi riesce -la trattazione di Einstein- a dare una orbita “fedele” alle misure astronomiche. Ci proponiamo -quindi- di ritornare su questo argomento per “generalizzare” la trattazione di Einstein che è solo a 2 corpi e estenderla nella impostazione di Lagrange ad n-corpi.

6 agosto 2022 ore 12.47:
la figura di cui (a breve allegheremo il software in formato pdf):


foto link

AGGIORNAMENTO 11 AGOSTO 2022, ORE 11.34

Vi sono 2 questioni che NON abbiamo ancora esplorato:

  1. E’ possibile introdurre una derivata del secondo ordine riferimento al tempo sul moto angolare nelle equazioni di Newton/Lagrange analogamente a come fa Einstein, pur considerando che il calcolo delle accelerazioni di Newton/Lagrange sono diverse da quelle di Einstein? (basate -quelle di Einstein- sul calcolo tensoriale): La risposta è affermativa e fra poco vedremo come (qui di seguito).
  2. Dal grafico che segue si può subito vedere che una curva, sia C1, con una derivata seconda dell’angolo di rotazione orbitale posta = zero (ndr: cerchietti più piccoli), e quindi in ipotesi di velocità orbitale “costante”, porta ad una orbita quasi identica, sia C2, a quella con derivata seconda diversa da zero (ndr: cerchietti più grandi), e ottenuta, questa ultima (rif: con derivata seconda diversa da zero),  tramite il calcolo di una derivata terza dell’angolo!

Ecco il grafico qui sopra menzionato, realizzato 11 agosto 2022:


foto link
(click x zoom)

Con una orbita che percorre lo stesso percorso sia con C1, che con C2: la diversità è solo in un piccolo ritardo della rotazione.

Come capire quale è la velocità di rotazione φpunto0=(f1-f0)/Dt ? , alla partenza, da imporre alle condizioni di Cauchy? (nel software il nome è fi2punto0 per la derivata prima, e fi2duepunti0 per la derivata seconda, dell’angolo fi, che indica la posizione di m2, che rappresenta Mercurio in orbita intorno al Sole, m1).

Ebbene grazie allo studio di come calcolare fi2trepunti0 .. si può “misurare” (dall’output del software) il valore dato dal software, in output, in merito al valore minimo di φpunto0=fi2punto0, nel tempo. 

Tale valore si osserva subito dopo avere descritto “i=360 iterazioni” (ogni iterazione è un angolo del modello trigonometrico pari ad 1°).

Sostituendo tale valore “velocità minima”.. alla velocità media teorica di v=2*pi/T, che però è una velocità media .. -allora- .. nel nuovo software, si osserverà un “rallentamento” nel tempo di percorrere la traiettoria orbitale! Questa minore velocità tangenziale impedisce una orbita “più larga” che quella ottenuta con velocità media teorica v=2*pi/T.

Il modello -in questo modo- si avvicina al caso reale di orbitazione. Del resto anche nello studio dell’orbita di Mercurio, con il modello di Einstein, eravamo ricorsi al modello di Keplero, vedi il link seguente:

Orbit of Mercury: Measure Theory

Il nostro metodo, con Newton/Lagrange, è -alle differenze finite- come segue:

(1)
fipunto0 = [fi(t1) – fi(t0)]/Dt
dove Dt è il tempo di campionamento
fipunto0=w=ω
quando la velocità angolare è ipotizzata w=costante
si ha d/dt[w]=0

(2)
fiduepunti0 = [fipunto(t1) – fipunto(t0)]/Dt

fiduepunti0=0 in ipotesi di w=costante

(3)
fitrepunti0 = [fiduepunti(t1) – fiduepunti(t0)]/Dt

anche ditrepunti0=0
se w=costante

Tuttavia, in generale:

Essendo

(4)
fi(t1) = arcTG[y(t1)/x(t1)]
fi(t0) = arcTG[y(t0)/x(t0)]
arcTG=atan in php


Essendo

(5)
fipunto(t1) = arcTG[vy(t1)/vx(t1)]
fipunto(t0) = arcTG[vy(t0)/vx(t0)]
dove vy, vx si possono approssimare con il modello trigonometrico quando siamo in prossimità dell’origine dell’orbita. Oppure ricavare dal modello con derivata terza dopo che una orbita completa è stata eseguita, come vedremo tra poco.


Essendo

(6)
fiduepunti(t1) = arcTG[ay(t1)/ax(t1)]
fiduepunti(t0) = arcTG[ay(t0)/ax(t0)]

Ne segue che dalla (6) è possibile calcolare la derivata terza, che è la (3), che ripeto:

(3)
fitrepunti0 = [fiduepunti(t1) – fiduepunti(t0)]/Dt

Nel calcolo vedremo nel software:

(7)
fiduepunti1=fiduepunti0 + fitrepunti0*Dt
ottenuta dalla (3)

e poi, nel loop del “ciclo for”, la attribuzione

fiduepunti0=fiduepunti1 prima di ripetere il ciclo.

Inoltre i valori di Newton/Lagrange NON ci danno -con una sola iterazione- il calcolo:

(6)
fiduepunti(t1) = arcTG[ay(t1)/ax(t1)]
fiduepunti(t0) = arcTG[ay(t0)/ax(t0)]

Quindi dovremo “congelare” alcuni valori (quelli in t0) e ripetere la simulazione in t1, prima di avere sia fiduepunti(t1), e sia fiduepunti(t0), che useremo nella (3).

Dunque tale impostazione -alla fine- è un metodo .. non di ottenere subito una orbita “attendibile” (nel caso attuale del pianeta Mercurio), ma di elaborare un modello che ci consenta di migliorare le condizioni di Cauchy da un orbita puramente circolare ad una orbita con variazione di velocità angolare. Stimando la variazione -nel suo minimo- si vedrà che tale minimo è inferiore alla velocità media. Ripetendo il modello con derivata terza, ma con le nuove condizioni iniziali, verificheremo che la orbita è migliorata, nell’essere maggiormente chiusa secondo una ellisse.

Nei prossimi aggiornamenti le equazioni e i grafici ulteriori.

AGGIORNAMENTO 13 AGOSTO 2022:

Secondo me, può sorgere un EQUIVOCO nel descrivere la orbita con le equazioni di Newton/Lagrange:

L’EQUIVOCO di pensare che stiamo migliorando la descrizione dell’orbita reale se le condizioni di Cauchy (ovvero le condizioni iniziali del sistema che descrive l’orbita) si avvicinano alla orbita TRIGONOMETRICA.

Ciò è _SBAGLIATO_.

E’ SBAGLIATO perché il caso reale descrive una “ELLISSE”!

Quindi c’è da aspettarsi, anche con velocità di Mercurio in t0=0 posta al valore medio della velocità (come disponibile su wikipedia) non mostri se non uno “schiacciamento” del cerchio a disegnare una ellisse.

Tuttavia questa orbita ellittica, se non è a velocità iniziale sufficientemente bassa, tenderà a superare le caratteristiche di “fuga” e non chiuderà MAI l’ellisse (con velocità iniziale ad una velocità media imposta come velocità iniziale).

Al link seguente, del resto, possiamo notare come wikipedia ci offre 3 velocità orbitali per Mercurio:

https://it.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(astronomia)

38,86 km/s[1] (min) = velocità tangenziale alla orbita
47,36 km/s[1] (media) = velocità tangenziale alla orbita
58,98 km/s[1] (max) = velocità tangenziale alla orbita

Con il nostro software che ha introdotto la derivata terza sulla misura angolare mentre agiscono le accelerazioni di Newton/Lagrange abbiamo trovato un valore minimo della velocità tangenziale leggermente superiore a 38,86 km/sec, perché la condizione iniziale imposta era la velocitò media 47,36 km/sec.

Come si vede dalla figura seguente la situazione orbitale come “traiettoria” è migliorata!

Infatti la orbita colore magenta è l’orbita con la velocità media posta come velocità iniziale.

E la orbita di colore nero è l’orbita con la velocità media minima “dedotta” dal software con uso della derivata terza dell’angolo di rotazione.

Conclusioni:

La velocità minima da noi utilizzata NON è quella ipotizzata da wikipedia (anche se leggermente maggiore) e quindi non consente la chiusura di una ellisse.

Ora però sappiamo -in generale- che la condizione di chiusura dell’ellisse è un criterio per stabilire se la velocità iniziale era quella “ideale”.

A completezza del discorso va notato che -con le equazioni di Einstein- si dimostra che anche nel caso reale, come nel caso matematico di Einstein le orbite ellittiche NON sono “chiuse”.

Sono leggermente in caduta sul corpo principale, e l’entità di tale “caduta” può essere dedotta utilizzando le condizioni iniziali di Keplero per fare agire il software di Einstein. Dopo la prima orbita del software di Einstein, sarà lo stesso software a dire i nuovi parametri da considerare come “ottimi” come condizioni iniziali.

Esamino questo tema nello studio della “risposta libera” del sistema “in movimento” nell’articolo in cui esaminavo la orbita di Mercurio con le equazioni di Einstein:
https://6viola.wordpress.com/2016/10/12/orbit-of-mercury-measure-theory/

Nelle figura seguente vi sono 3 orbite:

  1. in blu quella trigonometrica
  2. in cerchi magenta la orbita con derivata terza (a breve metterò il software)
  3. in orbita nera ho abbassato la velocità w=d/dt[fi(t)] come valore iniziale grazie al sftware del punto “2” precedente studiando la w minima.

La figura:


foto link

(click x zoom)

Prossimamente -qui di seguito- altre metodologie per rendere più breve la convergenza vs una orbita che da una stima trigonometrica consenta di passare ad una orbita ellittica sufficientemente precisa sebbene descritta dalle equazioni di Newton/Lagrange, anziché le equazioni di Einstein.

AGGIORNAMENTO 17 AGOSTO 2022, ORE 7.43:

Studiando la forma generale delle equazioni di Einstein e cioé:

che è una figura associata all’articolo:
https://6viola.wordpress.com/2017/11/23/relativistic-plasma-jets-in-black-holes-mathematics/

si capisce bene che la espressione della derivata seconda del raggio (nel descrivere una orbita) fornito da Newton/Lagrange NON può essere in grado di essere “realistico” visto che nella espressione di Einsteinrduepunti è prodotto non solo dalla posizione del raggio, ma anche da rpunto0, che -però- non esiste nella espressione di Newton Lagrange:
Si veda per esempio (per la forma generale):
https://6viola.wordpress.com/2022/05/13/three-body-problem-studio/

Si potrebbe “pensare” di sostituire la forma di Einstein nel calcolo a molti corpi. Ma la forma di Einstein ha successo perché introduce una analisi semplificata tra 2 corpi.

Dunque la “complessità” di una analisi a molti corpi sarebbe ugualmente “falsata” poiché il “contributo” di m nella dinamica imposta da M non altera il campo gravitazionale. Mentre questo è possibile con Newton/Lagrange, e risulta “dirimente” quando M1, M2, .. Mn sono dello stesso ordine di grandezza!

Il nostro studio, finora, ha mostrato che la orbita data dalle equazioni di Newton/Lagrange è abbastanza attendibile, e fallisce solo nella parte finale della “chiusura dell’orbita”:

  • risultando in espansione se si usano le approssimazioni medie, come se l’orbita fosse circolare a velocità angolare costante.
  • risultando in compressione quando si riduce troppo la velocità angolare: a valori sotto quelli osservati nella astronomia, in particolare nella inizializzazione in Afelio.

Dunque, per migliorare l’orbita delle equazioni di Newton/Lagrange, dovendo esistere un “caso intermedio” tra compressione & espansione, useremo una ricerca logaritmica per la individuazione, a partire dai valori medi.

Una volta trovato tale valore che genera il “caso intermedio” sapremo come alterare i valori medi.

AGGIORNAMENTO 20 AGOSTO 2022, ORE 10.17:

Nella figura che segue:


foto link

LEGENDA:

  1. orbita più piccola, di colore blu, è quella ottenuta con la partenza in perielio e trigonometrica (*2)
  2. orbita di colore nero, è quella ottenuta dalle equazioni di Newton/Lagrange in perielio v=v_max_wiki(*2)
  3. orbita maggiore, di colore nero, ma con cerchi verdi, è quella ottenuta dalle equazioni di Newton/Lagrange in perielio ma imponendo una v_new > v_max_wiki. L’orbita assomiglia al passaggio di una cometa vicino al Sole.(*3), (*3)’ aumento il range a 4000 iterazioni.

(*2) http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Mercurio-17-agosto-2022-perielio.pdf

Note: (dal foglio di calcolo: 19-agosto-2022-2.xlsx)

deduzione di w_perielio et altro:
da wiki:
v_max= 5,898000E+04
R=distanza_perielio 4,60012721817886E+10
wi -> $vi=$wi*$Ri -> $wi=$vi/$Ri 1,282138E-06
Dt_new=f1/wi 1,361264E+04

(*3) http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Mercurio-19-agosto-2022-perielio-forte.pdf
(*3)’ http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Mercurio-19-agosto-2022-perielio-forte-2-range.pdf

Note: (dal foglio di calcolo: 19-agosto-2022-2.xlsx)

deduzione di w_perielio_new et altro:
v_max_new 7,00E+04
R_perielio=lascio valore old 4,60012721817886E+10
wi_new=v_max_new/R_perielio 1,52169704618978E-06
Dt_new=f1/wi_new 1,1469624E+04

Conclusioni:

  • aumentando la velocità ed i parametri associati alla velocità il passaggio allo “zero” di circa chiusura dell’orbita è più vicino alla chiusura, ma l’orbita risulta diversa dalla ellisse astronomica di Mercurio.
  • a Nostro parere, vanno studiate le condizioni iniziali non sul “cerchio”, ma su una “ellisse”, (ne esiste una equazione dai parametri astronomici) coinvolgendo anche il calcolo di rpunto su un modello della ellisse di tipo matematico.
  • Solo dopo questi miglioramenti si potrà constatare una similitudine della ellisse matematica con quella delle equazioni di Newton/Lagrange.

AGGIORNAMENTO 23 AGOSTO 2022, ORE 9.11:

Esiste un ulteriore EQUIVOCO -normalmente- nell’uso della formula (1) che segue:

(0) siamo in status di perielio

(1) (r1-r0)/Dt=rpunto0

L’equivoco consiste nel pensare che la applicazione della (1) sopra citata porti agli stessi risultati della seguente (2):

(2) rpunto0’=v=r0*w(0); valida per una orbita circolare

La (2) si trova nel modo seguente (nel caso del cerchio):

x(t)=r0*cos(w*t)
y(t)=r0*sin(w*t)

vx(t)=rpunto0x= -r0*w*sin(w*t)
vy(t)=rpunto0y= +r0*w*cos(w*t)

in t=0
vx(0)=rpunto0x= -r0*w*sin(0)=0
vy(0)=rpunto0y= +r0*w*cos(0)=r0*w

v(0)=sqrt(vx^2 + vy^2) = r0*w

cvd

Scelto l’angolo, ad esempio 1° grado in radianti:

(3) f1= 0,017453293 (rad)

Grazie alla formula seguente:

(4) (f1-f0)/Dt=w(0)

si può calcolare il valore di Dt=(f1-f0)/w(0)

ma non sappiamo w(0)

(4) bis Dt(perielio)=f1/w(0)

Nel caso in perielio:

wiki fornisce il valore v_perielio=v_max=58,98 km/sec=5898000 metri/sec:
fonte (23 agosto 2022):
https://it.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(astronomia)

38,86 km/s[1] (min)
47,36 km/s[1] (media)
58,98 km/s[1] (max)

Dalla

(2) v=v_max=r0*w(0)=rpunto0′ (vedi la (2) e dimostrazione indicata subito dopo)

deduco:
dalla (4) w(0)=(f1-f0)/Dt
dalla (3) f1
dalla  (2)

potremmo dedurre w(0) come segue:

(5) w(0)=v/r0=1,2821384540610500E-06

ma siamo vincolati ad usare il valore di wiki v=v_max=

58,98 km/s[1] (max)

Nota Bene N1:
ciò significa che
gamma0: se cambiamo v_max > v_max_wiki
gamma1: siamo vincolati a cambiare w(0)
essendo legate v_max=r0*w(0); lasciando r(0)=r0

Nota Bene N2:
inoltre essendo (f1-f0)/Dt=w(0)
gamma2: se lasciamo f1= 1° grado in radianti
gamma3: siamo vincolati a modificare Dt affinché sia (f1-f0)/Dt=w(0)

dalla:

(4) bis Dt(perielio)=f1/w(0)

(4) bis Dt(perielio)=13612,64259 sec

Calcoliamo -allora- rpunto0’=v in t=0

(2) rpunto0’=v=r0*w(0)

Noto r0(perielio)=4,60012721817886000E+10
Noto w(0)=1,2821384540610500E-06
da:
(5) w(0)=v/r0=1,2821384540610500E-06

Da tutto quanto precede si vede che la equazione:

r1=r0+rpunto0*Dt

deve essere usata solo _dopo_ avere un valore rpunto “affidabile”: grazie alla analisi trigonometrica.

Poiché (r1-r0)/Dt = variazione dei moduli del vettore e non tiene conto delle variazioni dipendenti dalla variazione angolare che è quella che da il maggiore contributo alla velocità v, che è circa mille volte più grande della variazione dei moduli.

cvd.

Il calcolo ideale vedrà la equazione descritta dalla equazione:

r(teta)=L/[1+E*cos(teta)]

nella stessa scatola descritta dalle equazioni di Newton/Lagrange.

Quindi è errata la posizione v=v_max di wikipedia e la variazione è leggermente maggiore in modulo di
58,98 km/s[1] (max).

Ce lo dimostra la nostra analisi grafica.
.. di quanto maggiore deve essere v_max?

Noi sappiamo il valore dei semiassi maggiori e minori e dei fuochi.

Quando il valore di v=vmax non uscirà fuori dalla “scatola” avremo la soluzione.

Poiché descriviamo, con la v, la equazione del cerchio anziché quella della ellisse, la nostra analisi alle differenze finite è approssimata.

Ma con la iterazione dei valori ci possiamo avvicinare alle condizioni “ideali”.

AGGIORNAMENTO 28 AGOSTO 2022, ORE 2.44:

IPOTESI DI STUDIO:

Ip1:
Sia Einstein, e sia Newton, imponendo le accelerazioni con la struttura rduepunti (che però è diversa tra il modo di indicarla con Einstein da quella di Newton) .. vedono una “matematica” di accelerazione di un corpo minore (m2=Mercurio) verso un corpo maggiore (m1=Sole). Ma il comportamento descritto dalla matematica si avvicina alle osservazioni astronomiche quando la posizione iniziale NON è descritta con un raggio centrato nella origine degli assi, ma in afelio=a+c, oppure in perielio=a-c. Qui di seguito mostremo uno studio grafico in ipotesi di metterci in perielio.

Ip2:
La velocità iniziale in t=0 sarà cambiata imponendo i 3 valori di wikipedia e cioé:
https://it.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(astronomia)

38,86 km/s[1] (min)
47,36 km/s[1] (media)
58,98 km/s[1] (max)

Il grafico nelle ipotesi sopra indicate:


foto link
(click x zoom)

La figura riprende le curve già mostrate nella figura precedente a quella attuale, anche per mostrare il fattore di “scala”. Infatti quando un pianeta è in afelio è lontano dal Sole. Se noi partiamo (in t=0) in perielio, siamo nella situazione di max velocità dell’orbita, essendo F=GmM/r^2. Cioé la diminuzione del raggio, r, aumenta F che (a meno di una massa m) può anche scriversi
F=m*a=m*(GM/r^2).

Quindi più è piccolo r^2 (dove r = distanza pianeta vs Sole, al quadrato) e maggiore è la accelerazione con cui m (Mercurio) procede verso il Sole, avendo la max velocità nel suo transito nella posizione più vicina al Sole.

Dalla figura si capisce che l’aumento di velocità iniziale avvicina l’orbita a rimanere “dentro la scatola” che contiene la orbita astronomica, ma la v=v_max di wikiperdia non è un valore esattamente quello da impostare (sebbene vicino), perché la scatola è superata in espansione.

Per stimare il valore della velocità in perielio, però, si può ricorrere allo studio delle equazioni di Einstein, però con partenza in afelio. La scelta di impostare r0(t=0)=a+c, dove a & c sono i parametri della ellisse è motivata dal fatto che -con le equazioni di Einstein- basterà porre rpunto0=0 in afelio, quando t=0, poiché la velocità in afelio è bassa perché il pianeta è lontano dal Sole, ed inoltre la quasi chiusura (teorica) dell’orbita (in realtà l’ellisse entra a cadere nell’orbita precedente quando compie 360°) .. è una buona approssimazione .. di leggere -poi- le condizioni (dall’output del software) in perielio quando l’orbita compie 180°. E’ quindi -la situazione- quella detta di “risposta libera di un sistema”, indicando -con ciò- una assenza di input di forzatura della dinamica. Del resto la condizione (in afelio) di continuare ad aumentare la distanza e l’istante (a 180°) di diminuire della distanza porta ad un intervallo in cui il raggio (quasi) “permane” al valore precedente dovendosi avere una inversione tra allontanamento vs avvicinamento al Sole (ciò avviene sia in afelio e sia in perielio, ma con la partenza in afelio la variazione del raggio è più lenta e ci consente di leggere -poi- il valore della velocità in perielio quando i gradi sono180°).

Del resto, la derivata di r, nel tempo, se r è circa costante, indica:

d/dt[r(t)]=d/dt[costante]=0, ovvero rpunto0=0.

In particolare consigliamo i valori della wiki eng nell’impostazione:
afelio=a+c
perielio=a-c
da cui afelio+perielio=(a+c)+(a-c)=2*a, dove a è il semiasse maggiore.

Infatti la matematica inglese “collima” le espressioni precedenti, mentre i valori nella wiki “ITA” non collimano.

Tuttavia il valore ottenuto anche con questo metodo (consultazione delle equazioni di Einstein graficate) è molto simile al valore v=v_max_ideale, ma non consente il rispetto esatto “de i vincoli della terna (a,b,c)”, dove
a=semi_asse maggiore
b=semiasse minore
c=distanza dei fuochi dal centro degli assi cartesiani.

Ora, però, dalle 3 curve di figura qui sopra sappiamo che il valore in modulo di v_max_wiki che deborda la “scatola” va ridotto (di poco), e volendo il valore di maggiore precisione basterà partire in perielio con una v=v0 leggermente minore (in modulo) del valore v_max_wiki. Consigliamo in ricerca logaritmo in base 2: che significa che il nuovo valore crea un delta che può essere esplorato dividendo il valore del delta per 2.

Va aggiunto che la presenza di altri pianeti e la variabilità della massa del Sole contribuiscono a dare incertezza dei valori di inizializzazione.

Tuttavia la comparazione della dinamica di Newton con quella di Einstein, ci conforta del fatto che Newton è in grado di “disegnare” una orbita ellittica sia nel macro_cosmo e anche nel micro_cosmo (con la impostazione di modificare G e la tipologia delle forze centrali).

La analisi di Einstein risulta -semplicemente in risposta libera- subito conforme alla attribuzione della terna (a,b,c) che ci può essere molto utile per disegnare la “scatola” che debba essere rispettata dalle condizioni iniziali da imporre (o misurare) alle equazioni di Newton/Lagrange. Ma la misura di una orbita ellittica nel microcosmo è un problema che Einstein semplifica in modo indiretto, come abbiamo già operato nello studio dell’atomo di idrogeno (H).

AGGIORNAMENTO 29 AGOSTO 2022, ORE 7.33

Nella Figura seguente (implementata ieri 28 agosto 2022) abbiamo voluto sovrapporre la equazione polare (graficata come valori attraverso un software) relativa al caso di fissare la partenza in perielio.

Il software che la realizza è “Mercurio-28-agosto-2022-perielio-equazione-polare.php”


foto link

Vi sono alcune cose che la figura rende evidenti!

Mentre in una ellisse centrata nella origine “classica” i fuochi sono alla distanza c dal centro degli assi, ed esiste la relazione:

afelio=a+c, dove “a” è il semiasse maggiore, “c” è la distanza dei fuochi dal centro degli assi.
perielio=a-c
Da cui afelio+perielio=(a+c)+(a-c)=2a

Per mettere la origine come centro di rotazione rispetto ad una distanza di perielio si ha che la equazione polare diviene quella di colore magenta (tipo color prugna) indicata graficamente nella figura precedente ed etichettata “equazione matematica della ellisse”, ed indicata analiticamente dalla espressione seguente:

r(fi)=L/[1+E*cos(fi)]; in perielio come origine di r(fi)

r'(fi)=L/[1-E*cos(fi)]; in afelio (se avessimo scelto di graficare così) di r'(fi)

la fonte di queste “equazioni polari” è al link seguente di wiki ita:

sezione:

Equazione in coordinate polari relative a uno dei fuochi

https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse

dove
L=b^2/a
E=eccentricità=c/a

Si può apprezzare sulla figura che ora non è più solo una scatola che ci consente la delimitazione della orbita ideale creata da Newton, oppure da Einstein, ma dalla curva matematica ideale. Però il valore di b NON è sulla verticale ed a 90° della curva classica!, mentre il valore in somma di tutto l’asse orizzontale rimane a 180° desritto da r(fi) (negativo) che si può sommare ad r(0°) della partenza in t=0.

I gradi della equazione polare divengono (a causa della traslazione di perielio collocata nella origine degli assi come nella figura sopra) con b al valore di gradi=102°, valore indicato esplicitamente in figura.

AGGIORNAMENTO 30 AGOSTO 2022, ORE 12.47:

Trovato un metodo diretto (e non solo per tentativi) per sapere come programmare alla velocità in perielio senza che siano violati i vincoli di rimanere nella scatola della ellisse!

METODO:

  1. si usi il software di Einstein con partenza in afelio.
  2. si legga dopo 180° nel punto di attraversamento (sempre dal software di Einstein) le caratteristiche di rpunto. Quel valore è v_max da considerare come velocità orbitale ellittica con partenza in perielio ANCHE sul software Newton/Lagrange, ma senza derivate rduepunti la velocità costante non consente un modello fedele alla variazione della rotazione in modo proporzionale alle velocità AREOLARI.

CRITICHE al metodo precedente:

  • i valori di a,b,c devono essere molto precisi e ripetuti sia nel modello di Einstein che in quello Newton/Lagrange (usare i valori di wiki-eng, poiché quelli di wiki-ita contengono lievi errori). Per trovare gli errori si esegua: afelio=a+c, perielio=a-c, afelio+perielio=2a da cui deve risultare il valore di “a” confermato.
  • il modello di Newton/Lagrange va migliorato con la introduzione delle derivate terze per trovare variabili le derivate seconde. Altrimenti risultano disallineati i valori delle x (le ascisse) in particolare, anche se sono circa rispettati con fiduepunti=0 i valori delle y (le ordinate) a stare dentro al valore y=b -come max ordinata- nella prima rotazione attraversando il primo e secondo quadrante.

Appena completerò i grafici vedrò di pubblicare i miglioramenti dei vari modelli secondo Einstein e secondo Newton/Lagrange.

AGGIORNAMENTO 31 AGOSTO 2022, ORE 19.02

Prima di operare quello che proponevo dell’aggiornamento precedente (vedi 30 agosto qui sopra) ho voluto verificare se il software di Newton che rispetta di tenersi sotto il valore di b (semiasse minore) sebbene impostato con velocità costante (il che non è vero: in quanto la ellisse è astronomicamente percorsa a velocità variabile, e secondo Keplero in modo proporzionale alla area coperta nell’unità di tempo) .. avesse un comportamento “almeno parzialmente affidabile come descrizione dell’orbita”.

La risposta la possiamo vedere nelle 2 figure seguenti:

  1. Contrariamente a quanto dovrebbe succedere l’orbita non è chiusa verso l’interno ma verso l’esterno!
  2. Superare la max velocità orbitale mostra ugualmente una orbita -al primo giro di 360°- abbastanza fedele.
  3. Essere ad una velocità di partenza in perielio con un valore molto minore di quello astronomico, è abbastanza fedele solo all’inizio del processo, ma non conclude le orbite a diminuire.

Ci riserviamo, allora, di verificare con i miglioramenti che vogliamo apportare con le derivate -in itinere del software- se le ellisse riescono ad essere più affidabili. Una delle tecniche di verifica sarà implementare gli stessi valori iniziali anche con il software di Einstein.

Per ora ecco le nuove figure (la prima è di zoom e la seconda di vista in generale su wiki2)

Figura di zoom (wiki2 tra le altre rimane sotto il valore b nel primo e secondo quadrante del sistema cartesiano con partenza in perielio):

foto link

Figura di vista generale (tra cui wiki2):

foto link

AGGIORNAMENTO 31 AGOSTO 2022, ORE 23.01

Comparazione orbita ottenuta dal modello di Einstein e quello di Newton/Lagrange semplificato sui seguenti dati di inizializzazione:

Modello di Lagrange:

sia

(1) (f1-f0)/Dt=fipunto0=w0
infatti nel software:
f1=f0+fipunto0*Dt
posto f1=1°in radianti=0,017453293 [rad]

potrei scegliere
(2) fipunto0=(2*pi)/T_orbitale=rotazione media=8,2667723298E-07 [rad/sec]=circa 0,8E-6

Ma poiché ho la possibilità di leggere il valore di fipunto0 sull’angolo 180° facendo partire Einstein in afelio..

il software è il seguente: (vedi la prima figura)

(A)
https://6viola.wordpress.com/2016/10/15/orbita-di-mercurio-in-php-software/

posso porre il valore se la partenza è in perielio (angolo iniziale = 0)

fipunto1 = 1,3E-6 (dal software di Einstein al link precedente)

(3) v_max=r0*fipunto=59801 = circa 59  km/sec; r0=valore in perielio
v_max_wiki=58,98 km/s[1] (max) =circa 59 km/sec

dunque la velocità di rotazione max è in perielio ed è molto maggiore di quella media.

Per rendere “coerente la trattazione” scelgo il valore v_max_wiki
ma devo ricalcolare v_perielio=r0_perielio*fipunto0_perielio

(3) 5898000=(46001200000)*fipunto0
(3)’ fipunto0=(58980)/(46001200000)=1,28214E-06

Ora posso scegliere Dt dalla (1)

(4) f1/w0=Dt =(0,017453293)/(1,28214E-06) [sec] = 13612,62655 [sec]

Questo software è già stato simulato e il nome è
“Mercurio-25-agosto-2022-perielio-v-variabile3-max-wiki.php”

(B)
http://www.partitoviola.it/doc-fisica/Mercurio-25-agosto-2022-perielio-v-variabile3-max-wiki.pdf

Nota Bene:
Comparare (A) con (B).

Questa prima comparazione, però, mostra che il modello semplificato di Newton/Lagrange non rispetta l’orbita astronomica: risultando il modello matematico in leggera espansione rispetto al caso reale astronomico. Errore abbastanza contenuto visto che il modello è semplificato e visto anche che l’errore in leggera espansione rispetto al caso reale non altera di molto l’orbita anche per velocità maggiori di quella di “equilibrio”.

Converrà -allora- comparare per valori di molto inferiori al caso ideale appena sopra mostrato in cui vogliamo vedere se Einstein ed Newton/Lagrange danno una orbita simile a partire dai valori orbitali medi, ma posti come valori iniziali in perielio per entrambe i modelli. E’ la fattispecie di una minore velocità di rotazione che dovrebbe fare cadere il pianeta che fosse in quelle condizioni medie anziché alla velocità di rotazione che stabilizza l’orbita a v_max_wiki.

Anche qui abbiamo già il software nel caso Newton/Lagrange e si chiama:

(C)

Mercurio-25-agosto-2022-perielio-v-variabile2-media.php

Fai clic per accedere a Mercurio-25-agosto-2022-perielio-v-variabile2-media.pdf

.. ma non abbiamo la simulazione di Einstein sugli stessi valori per vedere una orbita più attendibile e se la affidabilità Newton/Lagrange sia in modo indispensabile di renderla più complicata (matematicamente) per risultare verosimile.

programmazione dei parametri iniziali x Einstein:

v=v_media_wiki=47,36 km/s[1] (media)

dalla

(3) v_max=r0*fipunto0=r0*w0; posto r0=perielio (nel software di Einstein)

ricavo fipunto0

(3)’ = w0 =v_max/r0=(47,36E3)/(46001200000)=1,02954E-06 [rad/sec]

Ora ricavo dalla

(1) (f1-f0)/Dt=fipunto0=w0

il valore di Dt ..

(1)’ Dt=f1/w0=0,017453293/(1,02954E-06)=16952,51569 [sec]=$ds

La figura della curva ottenuta con Einstein ricalca quella di Newton nel primo quadrante. Poi seguendo i cerchietti rossi si può vedere che non esce come Newton, ma anzi entra nell’orbita precedente:

(D)
il software di Einstein:

Fai clic per accedere a Einstein-Mercurio-1-settembre-2022-valori-medi-NEW.pdf

Comparare (C) con (D).

La simulazione grafica (cerchietti rossi):


foto link

Dunque abbiamo la *prova* che il modello di Lagrange va migliorato per simulare la caduta sul Sole quando la velocità orbitale dovesse essere bassa.

AGGIORNAMENTO 4 SETTEMBRE 2022, ORE 18.53:

INCREDIBILMENTE .. abbiamo dovuto dedicare molto tempo alla trattazione attuale.

In base alle ultime novità che esporrò brevemente qui di seguito:

La dinamica di Newton, attraverso _i_soli_vettori_delle_accelerazioni_

e cioé attraverso
rduepunti0x=ax(t)
rduepunti0y=ay(t)

*NON* è in grado di descrivere esattamente l’orbita tra 2 masse poiché manca del legame, che invece esiste nelle equazioni di Einstein, tra r0, rpunto0, fipunto0, attraverso:

$fiduepunti0=-(2/$r0)*$rpunto0*$fipunto0;

Ci si potrebbe “illudere” (come io ho verificato -però- infondato) che si possa costruire un modello “IBRIDO” in cui si innesti in Newton la fiduepunti0, ma ciò è errato!

E’ errato perché quei tre vettori (r0, rpunto0, fipunto0) aspettano i valori calcolati da una diversa “struttura” di rduepunti0 diversa da quella di Newton .. e cioé:

$rduepunti0=-($c*$c*$rg*($r0-$rg)/(2*$r0*$r0*$r0))*$tpunto0*$tpunto0+($rg/(2*$r0*($r0-$rg)))*$rpunto0*$rpunto0+($r0-$rg)*$fipunto0*$fipunto0;

.. stiamo ipotizzando di trascurare la deformazione temporale per la bassa velocità, altrimenti esisterebbe anche

$tduepunti0=-($rg/($r0*($r0-$rg)))*$tpunto0*$rpunto0;

Dunque non si può utilizzare un modello “IBRIDO”, perché la equazione fiduepunto0 si riferisce ad una *diversa* dinamica di accelerazione!

Cosa si può fare allora della struttura di Newton/Lagrange?

  1. Come già nei miei articoli precedenti: ci si mette in Afelio (nelle equazioni di Einstein) e si trova il valore v_max in perielio quando fi=180° fornito da rpunto0(180°) dal modello di Einstein, grazie a partenza rpunto0=0. Tale ipotesi è applicabile nel modello di Einstein che è infinitesimale ed infatti esiste sia in afelio che in perielio un cambio di raggio da più lungo a più corto (e viceversa) e quindi si deve passare per il caso intermedio di r1=r0.
  2. Dedotto v_max da Einstein, come al punto precedente, si può usare il modello della circonferenza per trovare come varia la velocità in Newton, in perielio, in t=0. E cioé con partenza in perielio:
    (1) rpunto0=v_max=r0*w0=r0*fipunto0
    dove v_max è dallo studio di Einstein, r0=raggio in perielio
    (2) fipunto0=circa (f1-f0)/Dt
    Poiché conosciamo fipunto0=w0, dalla equazione qui sopra, possiamo calcolare Dt
  3. i primi 180°  dell’orbita di Newton risulteranno abbastanza attendibili e si sarebbero dovuti ripetere anche nel terzo e quarto quadrante, (che ripetono la ellisse come uno specchio) ma -se i valori sono quelli costruiti qui sopra- la deviazione (in espanzione) sarà trascurabile.

Conclusioni:
stimato il metodo di costruzione per ogni tipologia di “atomo” e non solo quello di idrogeno .. abbiamo ora *un metodo* per fare interagire più masse non solo in un campo gravitazionale, ma anche in un campo di Coulomb. Ma su questo scriverò un nuovo articolo ad hoc, mettendo qui di seguito il link appena sarà pronto ..


ultime modifiche:
4 settembre 2022, ore 19.34

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