“three-body problem” (studio)

fonte:
https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem

fig.0: grafico delle masse
(esempio di 3 masse allineate all’asse x)

foto: link

Come è noto le formule di Newton relative a 2 corpi sono le seguenti:

(1) F(1,2) = G*m1*m2/r^2

(2) F(1,2) = m1*a1

(3) dove a1=G*m2/r^2
Da cui a1=a1(r(t))
quindi la accelerazione varia come distanza tra le masse e la distanza varia con il tempo.
Nota Bene:
Inoltre in prossimità della velocità della luce vi sono modificazioni tra la massa misurabile come peso (da chiamare “massa massiva”) e la massa di tipo radiativo (da chiamare “massa radiativa”).
In altri articoli sul blog attuale ho affrontato le modifiche di modello su tale tema e qui, invece, supporrò per semplicità di trattazione che le masse siano solo di tipo massivo, invarianti di valore (a bassa velocità).

Nella attuale trattazione .. vettore F(1,2) può essere descritto come applicato in m1 ad attrarre m2, oppure in m2 ad attrarre m1, ma agisce sia su m1 che su m2, come una molla che ridurrebbe la distanza tra le 2 masse a cui fosse tolto un vincolo che le tiene ferme.

Nel caso che m1 >> m2 si potrebbe considerare m1 fermo (come il Sole) e solo m2 in movimento verso il Sole, con la direzione che congiunge i 2 centri massa di m1 ed m2.

Tale movimento, quindi, non sarebbe in generale in linea retta, poiché anche supponendo la massa maggiore ferma, la massa minore potrebbe avere un moto inerziale che non ha la direzione della congiungente tra le 2 masse, ma un vettore velocità (nel caso generale) con scomposizione di componente normale e tangenziale all’orbita che se ne viene a creare come quando una cometa passa vicino al Sole e tuttavia non cade sul Sole.

In generale, allora, la massa inerziale sarebbe “catturata” dalla attrazione del corpo maggiore e svilupperebbe una orbita la cui evoluzione dipenderebbe dalle condizioni iniziali.

Nelle equazioni di Einstein, sviluppate in forma numerica, non serve dare informazioni sul corpo maggiore, ma solo su quello minore, poiché le equazioni stesse si interessano di sviluppare l’orbita (sviluppare approssimativamente, se il contesto si può supporre localista, quindi a 2 corpi come Sole e Terra, ad esempio). Spesso si sottovaluta però che -la massa minore- deve anche vedere poste le condizioni iniziali, o di Cauchy, e le condizioni iniziali dipendono fortemente non solo dalla massa minore ma anche dalla deformazione introdotta al campo gravitazionale dalla massa maggiore.

Se esaminiamo il caso a 3 corpi, secondo il modello di Newton, dovremmo scrivere il seguente sistema:

siano r1, r2, r3 “i vettori” da un sistema cartesiano che dal centro del sistema raggiungono le 3 masse

  1. F(1) = (Gm1m2)(r1-r2)/|r1-r2|^3 + (Gm1m3)(r1-r3)/|r1-r3|^3
    relazione di m1 con m2 & m3
  2. F(2) = (Gm2m1)(r2-r1)/|r2-r1|^3 + (Gm2m3)(r2-r3)/|r2-r3|^3
    relazione di m2 con m1 & m3
  3. F(3) = (Gm3m1)(r3-r1)/|r3-r1|^3 + (Gm3m2)(r3-r2)/|r3-r2|^3
    relazione di m3 con m1 & m2

  1. F(1) = -m1*a1
  2. F(2) = -m2*a2
  3. F(3) = -m3*a3

Nota: Il perché si indica “il segno negativo in F(i)” è motivato dal fatto che .. si può usare l’artificio di considerare la singola massa “mi” bloccata di posizione, e valutare l’azione delle “altre masse” sulla massa bloccata. Evidentemente il verso che le “altre masse” applicano su “mi” è opposto al verso di “mi” su le “altre masse”.

Quindi F(i) è la forza (vettoriale) risultante applicata alla massa “mi” causata dalla presenza sia di “mi” e sia delle altre masse.

Si può scrivere dopo la sostituzione:

  1. -m1*a1 = (Gm1m2)(r1-r2)/|r1-r2|^3 + (Gm1m3)(r1-r3)/|r1-r3|^3
    relazione di m1 con m2 & m3
  2. -m2*a2 = (Gm2m1)(r2-r1)/|r2-r1|^3 + (Gm2m3)(r2-r3)/|r2-r3|^3
    relazione di m2 con m1 & m3
  3. -m3*a3 = (Gm3m1)(r3-r1)/|r3-r1|^3 + (Gm3m2)(r3-r2)/|r3-r2|^3
    relazione di m3 con m1 & m2

posto

a=dv/dt=v_punto
v=dr/dt=r_punto
a=rduepunti=d/dt[d/dt[r(t)]

e semplificando “mi” otteniamo:

  1. -a1 = (Gm2)(r1-r2)/|r1-r2|^3 + (Gm3)(r1-r3)/|r1-r3|^3
    relazione di m1 con m2 & m3
  2. -a2 = (Gm1)(r2-r1)/|r2-r1|^3 + (Gm3)(r2-r3)/|r2-r3|^3
    relazione di m2 con m1 & m3
  3. -a3 = (Gm1)(r3-r1)/|r3-r1|^3 + (Gm2)(r3-r2)/|r3-r2|^3
    relazione di m3 con m1 & m2

che possiamo anche scrivere:

sistema sz:

  1. -r1duepunti = (Gm2)(r1-r2)/|r1-r2|^3 + (Gm3)(r1-r3)/|r1-r3|^3
    relazione di m1 con m2 & m3
  2. -r2duepunti = (Gm1)(r2-r1)/|r2-r1|^3 + (Gm3)(r2-r3)/|r2-r3|^3
    relazione di m2 con m1 & m3
  3. -r3duepunti = (Gm1)(r3-r1)/|r3-r1|^3 + (Gm2)(r3-r2)/|r3-r2|^3
    relazione di m3 con m1 & m2

Per programmare un computer con la forma precedente vi sono molti modi, ma si deve notare che una forma vettoriale va scomposta nelle su componenti per una “elaborazione numerica”.

In particolare la forma, in r1duepunti, citando la prima equazione, vede:
(r1r2) & (r1r3)

vede vettori che NON sono “allineati” -in generale- agli assi cartesiani ed in particolare ai versori cartesiani. Ma nel nostro esempio le 3 masse sono allineate all’asse x ad una altezza unitaria.

I versori sono:

versore “i” relativo all’asse x,
versore “j” relativo all’asse y,
versore “k” relativo all’asse z.

Nella nostra simulazione faremo un primo test sul piano x,y:

Implementeremo le masse m1, m2, m3 nelle seguenti posizioni:

m1
in rappresentazione matriciale: (1 , 1)
in rappresentazione vettoriale di tipo algebrico: r1=1*i + 1*j

dove
i = versore dell’asse cartesiano x
j = versore dell’asse cartesiano y

m2
in rappresentazione matriciale: (2 , 1)
in rappresentazione vettoriale di tipo algebrico: r1=2*i + 1*j

m3
in rappresentazione matriciale: (3 , 1)
in rappresentazione vettoriale di tipo algebrico: r1=3*i + 1*j

Dalla simmetria prescelta

  • m1 ed m3 tenderanno circa verso la massa centrale m2.
  • m2, se le tre masse sono uguali, rimarrà bloccata nella sua posizione intermedia poiché è sottoposta a 2 forze uguali ed opposte.

I risultati numerici, se abbiamo correttamente impostato le equazioni ci confermeranno la evoluzione appena descritta del movimento delle masse.

*************************************************

fig.0: grafico delle masse
(esempio di 3 masse allineate all’asse x)

foto: link


Nel software i dettagli della scomposizione vettoriale:
3-body-software-13-05-2022-ok.php
fig.1:

foto link

fig.2:

foto link

fig.3:

foto: link


fig.4:

foto link

fig.5:

foto link

il file di output:
https://www.partitoviola.it/docs/3-body-output.pdf

Commento ai dati di output:

Come si vede c’è una leggera “perturbazione” sulla posizione della massa m2.

Ciò è causato dal fatto che nel calcolo numerico viene introdotto un piccolissimo errore di rappresentazione dell’ordine di 1E-22 e cioé

essendo 1E-1=1/10=0,1

1,000000000000000000001

anziché

1,000000000000000000000

Naturalmente anche nella analisi numerica c’è modo da comprimere l’errore se gli scopi lo richiedono: ad esempio dedicando più spazio alla rappresentazione in memoria.

ultima modifica 13 maggio 2022, ore 15.47

download versione pdf dell’articolo:
http://www.partitoviola.it/doc-fisica/119-a-three-body-problem.pdf

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