Brachistochrone curve: (from Ancient Greek βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) ‘shortest time’),[1] or curve of fastest descent

Anticipo il grafico della cicloide per noi di interesse:

dal link:
https://www.youmath.it/ym-tools-calcolatore-automatico/analisi-2/disegnare-una-curva-parametrica.html

Ho deciso di dedicare un po’ del mio tempo a questo tema storico che fu l’inizio del calcolo detto delle variazioni, o anche variazionale, poiché -a mio avviso- per capire bene questi nuovi strumenti matematici necessita partire da un esempio concreto e questo esempio -tra l’altro- è l’inizio storico che generò lo studio di cui ci andiamo ad occupare.

Inizierò con la lettura di alcuni doc che seguono:
https://amslaurea.unibo.it/5695/
http://www.dmi.unipg.it/annarita/artic/brachistocrona.pdf
http://scienzaemusica.blogspot.com/2014/10/il-problema-della-brachistocrona.html
https://mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/Materiale_06_07/Dispensa_Fermat.pdf

Il metodo più semplice per “avvicinarsi alla questione” è agire alle differenze finite!

caso 1 (caduta verticale):

Il caso più veloce per scendere a valle è quello verticale:

in tal caso avremo:

ax(t)=0
ay(t)=-g

integrando il sistema precedente:

vx(t)=ax0*t + vx0 = 0
vy(t)=ay0*t + vy0 = -g*t + 0

integrando il sistema precedente:

x(t)= 0
y(t)= -(1/2)*g*t^2 + y(0)

Calcolando in t=tf (t finale):

posto y(0)=1 metro come inizio della caduta ..
x(tf)= 0
y(tf)= 0 = -(1/2)*g*(tf)^2 + y(0) = -(1/2)*g*(tf)^2 + 1 (metro)

tf= sqrt(2/g) = circa sqrt(2/10) = sqrt (0,2) = circa 0,447 secondi

Quindi un sasso (una sfera) che cade da 1 metro di altezza impiega circa mezzo secondo per giungere al suolo!

Ora possiamo pensare che nel caso che la caduta non sia verticale, ma per esempio

caso 2 (caduta su un pendio che è una retta):

Si ipotizzi un piano Cartesiano con un triangolo con il punto iniziale del punto di caduta in

y0=1, x0=0 & y1=0, x1=1
si avrà -per scelta di prova- una pendenza di 45 gradi per una sfera che rotola a valle (su un piano inclinato).

Agendo alle differenze finite e con valori medi:

potremo ipotizzare che il pendio introduca un rallentamento nella caduta .. ad esempio ..

tf’ > tf =0,4 sec

Possiamo porre ragionevolmente aspettarci che tf’ > 0,4 sec (lo calcoleremo nel seguito!)

ip1: sia la accelerazione di gravità scomposta in 2 componenti. Entrambe costanti, per esempio:

ax=1 metro al sec^2
ay=1 metro al sec^2

La cosa è possibile visto che la g = circa 10 metri al sec^2

l’integrale della velocità sarà una funzione del tipo

v=acc*t e raggiungerà il max solo a fine corsa.

Nel caso di un piano inclinato a 45° .. il passaggio per i due punti:

P0=(x0=0; y0=1)
P1=(x1=1; y1=0)

genera una retta passante per due punti come segue:

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)

quindi y=1-x

Le equazioni in t (in ipotesi che ax(t)=ay(t)=1 metri/sec^2):

errata:
(è errato porre x=t, potrebbe essere, x=t, solo se la scomposizione delle accelerazioni fosse diversa da accelerazione=costante )

y(t)=1-t
x(t)=t

corrige:
(uso gli integrali, in ipotesi di accelerazione=costante secondo entrambe gli assi x & y)

integrando:
ax(t) = ax0=costante= 1 metri/sec^2
ay(t) = ay0=costante= 1 metri/sec^2

vx(t) = ∫ ax(t) dt = ax0*t + vx0 = ax0*t = t
vy(t) = ∫ ay(t) dt = ay0*t +vy0 = -1*t =-t

x(t) = ∫  vx(t) dt = (t^2)/2 + x0 = (t^2)/2
y(t) = ∫  vy(t) dt = (-t^2)/2 + y0 = (-t^2)/2 + 1 

in t=tf:

x(t) = ∫  vx(t) dt = (t^2)/2 + x0 = (tf^2)/2=1 -> tf=sqrt(2) = 1,4 sec
y(t) = ∫  vy(t) dt = (-t^2)/2 + 1 =(-tf^2)/2 + 1=0 -> tf=sqrt(2) =1,4 sec.

Da cui su un piano inclinato in grado di mantenere la accelerazione costante ai valori

ax0=1 metri/sec^2
ay0=1 metri/sec^2

in caduta libera avremmo 0,4 sec di “tempo di caduta al suolo”
in un piano inclinato a 45% (nelle ipotesi ipotizzate, altrimenti dipende dalla reazione vicolare) avremo

tf= 1,4 sec di “tempo di caduta al suolo”

cvd.

 

caso 3 (caduta su una curva):

Ci si può chiedere: “cosa succede se aumentiamo la pendenza del pendio?”

Risulta evidente che se aumentiamo la pendenza le accelerazioni non potranno essere considerate costanti come nel caso 2 precedente!

Procedendo per tentativi -storicamente- si è avuta la conferma che la curva “ottima” per avere un tempo minimo era una curva detta cicloide, e cioé la curva che si ottiene facendo ruotare una circonferenza come la ruota di una bicicletta lungo un asse orizzontale.

Sarà dunque il caso di studiare in dettaglio la equazione di questa curva, e vedere la dimostrazione della matematica che conferma ciò.

Solo dopo potremo vedere come questo sia un caso particolare del caso generale del “calcolo delle variazioni”.

Studio della curva detta cicloide:

La equazione è la seguente:
x(t) = r[t-sin(t)]
y(t) = r[1-cos(t)]

la equazione è tratta da:
https://it.wikipedia.org/wiki/Cicloide

la dimostrazione geometrica è reperibile da:
http://www.dmi.unipg.it/annarita/artic/brachistocrona.pdf

x(0)=r[0-sin(0)]=0
y(0)=r[1-cos(0)]=0

grazie al link: (disegna curve paramentriche)
https://www.youmath.it/ym-tools-calcolatore-automatico/analisi-2/disegnare-una-curva-parametrica.html

f1:
(t-sin(t), 1-cos(t)), with t from 0 to 2pi

f2: cambio di segno a tutte e due le espressioni, e la rappresentazione va nel 3° quadrante!
(-t+sin(t), -1+cos(t)), with t from 0 to 2pi

f3: cambio di segno solo alla y:

x(t) = r[t-sin(t)]
y(t) = r[1-cos(t)] -> r[cos(t)-1]

pongo r=1

y(t) = 1[1-cos(t)] -> +cos(t)-1

traslo di 2r=2:

y(t)=+cos(t)-1+2=cos(t)+1

 

(t-sin(t),1+cos(t)), with t from 0 to 2pi

Nel caso 2, già esaminato però non partivamo dalla quota 2r, ma dalla quota h=1metro:

Per “normalizzare la trattazione” lo stato iniziale che in figura vale “2”, va considerato “2r”.

Dunque se 2r=1 metro, significa che r=0.5 metri

Le equazioni:
x(t) = r[t-sin(t)]
y(t)=r[cos(t)-1]+2r

che valori ci danno come tf?

Ci dicono che al valore t=pi=3.14 il corpo è al livello più basso.

In ipotesi che le reazioni vincolari siano a confermare che

tf=3,14 sia espresso in secondi
r=0,5 metri, affinché y(0)=2r=1 metro

x(tf)=r[tf-sin(tf)]= (0,5)[pi -sin(pi)]=(0.5)[pi-0]=1.57 metri
y(tf)={r[cos(tf)-1] +2r}={0,5[cos(pi)-1] +2*0,5}=

y(tf)={0,5[-1-1] +2*0,5}={-1 +1}=0 metri

TESI: “Si noti che nel caso 2 ottenevamo tf=1,4 sec, mentre con la cicloide tf=3.14 sec”.

revisione della TESI
start

Ma questa comparazione è errata se prima non imponiamo che il piano inclinato va cambiato affinché coincida il punto di partenza ed il punto di arrivo.

Quindi rifacciamo i calcoli (del caso 2) con 

P0 = (x0=0; y0=1); r=0,5
P1 = (x1=1.57=pi; y1=0)

Questa volta per sapere quanto vale la accelerazione e la velocità necessiterà eseguire delle derivate a partire da

x(t) = r[t-sin(t)]
y(t)=r[cos(t)-1]+2r

vx(t) = d/dt[r[t-sin(t)]]=r-rcos(t)
vy(t) = d/dt[r[cos(t)-1]+2r]=-rsin(t)

ax(t) = d/dt[r-rcos(t)]=+rsin(t)
ay(t) = d/dt[-rsin(t)]=-rcos(t)

Dunque la accelerazione è variabile in modo blando -inizialmente- secondo l’asse x, mentre in modo max secondo l’asse y in merito al modello cicloide.

Tuttavia possiamo ipotizzare che la reazione vincolare secondo una retta inclinata sia ancora 
ax(t)=costante 1 = 1
ay(t)=costante 2 = c

il tf della cicloide sappiamo che vale tf=3,14 sec.

calcoliamo con le ipotesi precedenti il nuovo piano inclinato:

ax(t) = ax0=costante= 1 metri/sec^2
ay(t) = ay0=costante= c metri/sec^2

vx(t) = ∫ ax(t) dt = ax0*t + vx0 = ax0*t = t
vy(t) = ∫ ay(t) dt = ay0*t +vy0 = -c*t =-ct

x(t) = ∫  vx(t) dt = (t^2)/2 + x0 = (t^2)/2
y(t) = ∫  vy(t) dt = c(-t^2)/2 + y0 = c(-t^2)/2 + 1 

in t=tf:

x(t=tf) = ∫  vx(t) dt = (t^2)/2 + x0 = (tf^2)/2=1.57 -> tf=sqrt(3.14) = 1.77 sec
y(t=tf) = ∫  vy(t) dt = c(-t^2)/2 + 1 =c(-tf^2)/2 + 1=0 -> tf=sqrt[2/c] =1.77 sec.

tf^2=2/c

2/c=3.14

c=2/3.14=0.63

Dunque ora otteniamo con il piano inclinato in modo più orizzontale:

tf=1.77 sec

rimane il fatto che 1.77 sec < 3.14 sec

Ma anche il fatto che supporre la accelerazione costante, al variare del tempo, su un piano inclinato è una ipotesi non coerente con i dati sperimentali! C’è da attendersi che una sfera che rotoli riesca ad avere meno resistenza man mano che aumenta di velocità, e dunque non sia realistico ipotizzare la accelerazione = costante.

Normalizzando ad una accelerazione media lungo l’asse x, tale che 

tf > 3,14 secondi

Dovrà essere 

NON

ax(t)=costante 1 = 1
ay(t)=costante 2 = c

BENSI’

ax(t)=costante 1 = a
ay(t)=costante 2 = c

Con la impostazione nuova:

Anziché aversi:

x(t=tf) = ∫  vx(t) dt = (t^2)/2 + x0 = (tf^2)/2=1.57 -> tf=sqrt(3.14) = 1.77 sec

Avremo se parametricizziamo con “a”:

x(t=tf) = ∫  vx(t) dt = (t^2)/2 + x0 = a*(tf^2)/2=1.57 -> tf=sqrt(3.14) = 1.77 sec

da cui tf=sqrt(3.14/a) = 1.77 sec

con a=1
tf=sqrt(3.14/1)=1.77 sec

con a=1/3:
tf=sqrt(3*3.14)= 3.06 sec

con a=1/4
tf=sqrt(4*3.14)=3,5 sec > 3,14 sec

Ciò significa che il valore medio di accelerazione lungo l’asse x deve considerarsi minore di circa a=1/4 metri/sec^2

revisione della TESI
stop

Inoltre, evidentemente le equazioni:

x(t) = r[t-sin(t)]
y(t)=r[cos(t)-1]+2r

vanno parametricizzate tramite la conferma del rallentamento introdotto dalle “reazioni vincolari”.

Quindi tra il t1=”tempo in radianti” ed il t2=”tempo in secondi” andrà “tarata” una conversione del tipo:

t1=k*t2 

La fisica del dispositivo ci dirà quanto vale “k”.

Studio del caso con y(t0=0)=1

Commento:

Dalla figura qui sopra si capisce che non va confuso il variare della coordinata x che avrà il suo minimo in x(tf)=1.57 ed il parametro t che è in tf=3.14 =pi.

Infatti sarà x(tf)=1.57, se abbiamo posto r=0.5 affinché la altezza risultasse 2r=1

Solo nel caso di r=1 vi è la coincidenza x(tf)=3.14 & tf=3.14

caso 4 (il metodo integrale):
http://scienzaemusica.blogspot.com/2014/10/il-problema-della-brachistocrona.html

Essendo t=Ds/v dove Ds è lo spazio percorso

alle differenze infinitesime:

(1) t= ds/v

(2) t(da A vs B)=Dt (da t0 vs tf) = ∫ ds/v

(3) Ec=(1/2)*m*v^2

(4) Eg=∫  (GmM/r^2)dr = GmM/r

Uguagliando

(5) Ec=Eg

(6) (1/2)mv^2=GmM/r
(7) F=mg
(8) F=GmM/r^2
(9) g=GM/r^2
(10) (1/2)mv^2=GmM/r diviene:

(11) (1/2)mv^2=mgy

esplicitiamo v:

(12) v=sqrt(2gy)

Per il teorema di Pitagora:

(13) ds^2=dx^2+dy^2

(14) ds = sqrt(dx^2 +dy^2)

(15) ds = sqrt{dy^2[1 + (dx/dy)^2]}

Dalla (2) sostituendo la (15) & la (12)

(16) t=∫ ds/v = ∫ {dy^2[1 + (dx/dy)^2]}/sqrt(2gy)

integrando si ritrova la cicloide!

Questa volta -però- nella forma (17”):

(17)’

x(t) = r[t-sin(t)]
y(t) = r[1-cos(t)]

(17”)

x=a[θ-sin(θ)]
y=a[1-cos(θ)]

dove però la (17”) non è ancora in una forma idonea a essere graficata rispetto alla gravitazione.

caso 5 (la brachistocrona come caso variazionale):
letto il mio articolo:
https://6viola.wordpress.com/2020/02/05/tullio-levi-civita-calcolo-differenziale-assoluto-sintesi-dalle-lezioni-del-prof/

.. ci si può chiedere se esiste una dimostrazione di come ottenere la funzione cicloide non per dimostrazione geometrica, ma per deduzione dela applicazione della ricerca di un minimo vincolato.

Tale branca della matematica è anche detta studio dei “funzionali di ottimo”.

A conferma di ciò:

https://it.wikipedia.org/wiki/Controllo_ottimo

dove la trattazione di wiki spiega che il tema va ricondotto proprio alla matematica di Eulero e Lagrange.

Aggiornamento del 23 febbraio 2021, ore 12.02

Abbiamo voluto verificare _sperimentalmente_ se la equazione della cicloide era corrispettiva dei dati misurati per un corpo che rotola dalla quota di 1 metro di altezza!

Le equazioni generali sono le seguenti:

x(t) = r[t-sin(t)]
y(t) = r[cos(t)-1]+2r

sostituiamo t=0

x(t=0) = r[0-sin(0)]=r*0=0
y(t=0) = r[cos(0)-1]+2r=r[1-1]=r*[0]+2r=2r

se r=0,5 metri

x(t=0) = 0 metri
y(t=0) = 2*(0,5)=1 metri

Tuttavia con tf=3,14

x(tf) = 0,5[tf-sin(tf)]
y(tf) = 0,5[cos(tf)-1]+2(0,5)=0,5[-1-1]+1=-1+1=0

Ma nella realtà

tf=1,57

quindi il fattore k=1/2=0.5

per la conversione tra tempo in radianti e tempo in secondi.

cvd.

 

ultimo aggiornamento:

24/02/2021, ore 23.51

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