Tullio Levi Civita: “calcolo differenziale assoluto” (sintesi dalle Lezioni del prof.)

Nell’articolo attuale cercheremo di esporre una sintesi del testo seguente:

fonte on line:
http://mathematica.sns.it/media/volumi/411/Levi-Civita_Calcolo_differenziale_assoluto.pdf

Ne consigliamo la lettura poiché introduce anzitutto alla giustificazione del differenziale totale:

df(x1, x2, .. xn) = (∂f/∂x1).dx1 + (∂f/∂x2).dx2 + ..

df(x1, x2, .. xn) = ∑i (∂f/∂xi).dxi; i=1, .. n

ma anche alla situazione di esaminare i cambi di coordinate del tipo (pag.81):

La questione è importante poiché se si esamina la teoria della relatività generale (RG) di Einstein .. siamo proprio in presenza di un cambio di variabili NON propriamente ortodosso.

Il cambio di variabili ORTODOSSO:

Infatti in un cambio di variabili ortodosso -ad esempio- da un sistema Cartesiano ad una sistema polare .. si potrà utilizzare la tecnica sopra esposta:

la (5) corrisponde a

(5) x = C. x’

x è un vettore verticale x1 .. xn

C è una matrice quadrata cij

x’ è un nuovo vettore di coordinate che ha subito la trasformazione operata da C

Nel caso “classico” delle sole componenti spaziali di Einstein avremo:

Dalla figura qui sopra si può dedurre:

y3=r.cosθ=z
r’=r.sinθ
y2=r’.sinφ=(r.sinθ)(sinφ)=y
y1=r’.cosφ=(r.sinθ)(cosφ)=x

dove
x1=x
x2=y
x3=z

coordinate in S1: (x, y, z) = (y1, y2, y3) = (x1, x2, x3)
coordinate in S2: (r, φ, θ) = (x1′, x2′, x3′)

La prima cosa notevole è la trasformazione della (5) in

(5′) [C^(-1)].x = [C^(-1)].C. x’=I.x’=x’

Abbiamo moltiplicato per la matrice inversa di C.

detta C ad esempio

c11 c12
c21 c22

detta C^(-1) =C’

C’=

c11′ c12′
c21′ c22′

moltiplicare

[C^(-1)].C = I =

1 0
0 1

corrisponde ad avere 4 equazioni in 4 incognite

c11′ c12′ c21′ c22′

quindi un sistema risolvibile (quando le equazioni sono indipendenti e cioé con determinante =/=0 ed il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite).

Naturalmente per il calcolo di cij’ vi sono molti metodi che non risolvere il sistema:

[C^(-1)].C = I

Levi Civita propone Cramer.

Il metodo di Cramer consiste prima di realizzare la trasposizione di C (scambiando righe con colonne) e poi cercando i complementi algebrici.

Metto un link dove è spiegato in dettaglio:

https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/1569-matrice-inversa.html

E per chi preferisce un esempio numerico:

https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_invertibile

La cosa interessante su LeviCivita è notare l’uso degli indici bassi e alti e la introduzione al concetto di simmetria con varianza e controvarianza. Che è tipico del calcolo tensoriale fino a utilizzare Christoffel nel calcolo diretto ed inverso.

Va ribadito -però- che le relazioni qui esaminate -sopra- sono con struttura lineare, mentre quelle di Einstein sono a struttura quadratica, e quindi la soluzione di Christoffel di passare dai coefficienti diretti ed inversi sarà diversa. Come si può apprezzare sulle trattazioni che abbiamo già esaminato. Cito il mio articolo che ne tratta:

General Relativity Theory: k_Fermat solution (metodo Ramanujan & metodo della LOGICA FORMALE)

https://6viola.wordpress.com/2020/01/29/general-relativity-theory-k_fermat-solution-metodo-ramanujan-metodo-della-logica-formale/

Prima però di dedicare una riflessione sul perché esistono cambi di variabili NON ortodossi(°1) ..
(°1)

come -ad esempio- è porre:

vincolo

t=τ.γ=tau.[1/sqrt(1-v^2/c^2)]=tau/k = tau/(1-rg/r)

γ=1/k

E quindi la anti_ortodossia risiede nel legare le variabili temporali t & tau con lo spazio (r) tramite un vincolo t=tau/(1-rg/r) ..

e poi dire che la base versoriale è ancora ortonormale, senza avere aggiunto altre ipotesi come “la costanza della velocità tra un campionamento ed il successivo campionamento”.

Ma su ciò abbiamo ampiamente trattato:

https://6viola.wordpress.com/2020/01/29/general-relativity-theory-k_fermat-solution-metodo-ramanujan-metodo-della-logica-formale/

Quindi prima di ogni altra riflessione ..

.. va chiarito un concetto che riguarda la estensione del concetto di “intorno” che storicamente è nel concetto di “derivazione”.

Infatti la normale derivazione di una funzione y=f(x) vede

d/dx f(x) =

limite Dy/Dx quando Dx -> 0

Dy/Dx=[f(x0+h) -f(x0)]/h

dove:
Dy=[f(x0+h) -f(x0)]
Dx=h

per conferma:
https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/derivate/208-il-rapporto-incrementale-premessa-per-le-derivate.html

Ma nell’inizio dell’articolo di Einstein a pagina 16 troviamo .. il simbolo δ .. che in greco si legge “delta”.

fonte:
http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

Tale “lacuna” -sull’uso del delta “δ”- nel caso dei funzionali .. può essere colmata dallo studio della seguente tesi di Laurea:

https://amslaurea.unibo.it/5695/1/Amadori_Chiara_tesi.pdf

Ed in particolare da pag. 60 della Tesi di Chiara Amadori che traduce Lagrange, (vedi foto seguente) dove dice:

“Il differenziale dello stesso y, nella misura in cui qui si differenzia,
permanendo invariato x

Che andava meglio tradotto/interpretato:
“la variazione dello stesso y=y(x), cioé δy(x), nella misura in cui varia, permanendo invariato x che compare in y(x)=y(x1, x2, .. xn)”.

Infatti conviene lasciare il termine “differenziale o differenza” alla applicazione dell’operatore “d” su “y”, e cioé:

d[y]=y(x+dx) -y(x) ..

Quindi ..

Se chiamiamo “argomento su cui agisce un operatore matematico” l’ente che è tra parentesi quadre nella espressione seguente:

δ [ … ]

Allora, mentre va usato il termine “variazione“, δ, in δ[y(x)],
quando si varia  una “funzione”, y, e non l’argomento della funzione ..

Da cui avremo:

δ[y(x)]=[∂y/∂x][δx] (struttura analoga ai differenziali totali come architettura).

dove δx=dx=x+ε, in ipotesi che x=(x1,x2, .. xn) sia una base versoriale,

essendo ε una quantità piccola a piacere.

Inoltre:

Se x indica una “base versoriale”, e quindi dimensiona una spazio di rappresentazione, allora, δx=dx.

Ma quando abbiamo y(x), e quindi vogliamo lasciare invariato il punto P individuato da x=(x1,x2, .. xn) e vogliamo variare NON x, ma y=y(x), a parità di x, indicheremo:

δy(x) =/= dy(x)

Essendo la differenza di simboli “strutturale” quando l’incremento non è zero.

 

In letteratura,

troviamo il seguente problema:

https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_funzionale

Bene, la intuizione di Lagrange, riguardo a come trattare le variazioni di funzione anziché le variazioni delle variabili è il focus di ciò che vogliamo trattare:

nello studio dei differenziali di funzione abbiamo:

df(x1, x2, ..) = ∂f/∂x1.dx1 + ∂f/∂x2.dx2 + ..

dunque un differenziale totale df è scomposto nei differenziali parziali ..

nello studio delle variazioni di funzione abbiamo:

δf(x1, x2, ..)  = ∂f/∂x1.δx1 + ∂f/∂x2.δx2 + ..

dunque una variazione totale δf è scomposta nelle variazioni parziali ..

NOTA BENE: in entrambe i casi si applicano i “coefficienti” grazie alle derivate parziali!

La conferma è nella pagina seguente di LeviCivita, dove al posto di f(x1, x2 ..)

è usata la u(x1, x2, ..) :

Dopo avere avuto le conferme che il calcolo delle variazioni non si applica necessariamente alle forme integrali (grazie a Levi Civita),
come espresso -invece- su wikipedia:

https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_funzionale

C’è da fare una riflessione su un fatto fisico:

se abbiamo

y=f(x)

variando x, con x’=x+dx variamo anche la y:

cioé

f(x)=/=f(x+dx)

VICEVERSA variando f, grazie a f’=f+δf avremo:

f’=f+δf=f(x)+δf(x)

cioé NON è mutata la struttura delle variabili!

Da ciò discende che quando ..

ipotes: tendessero a zero sia i differenziali che le variazioni avremmo:

dδf =˜= δdf

dove “=˜=
indichi “circa uguale

allora può essere scambiato l’ordine tra variazione (δ) e differenza (d)

che LeviCivita conferma nella (9) & (10) di LeviCivita, pag.29.

Inoltre (8) è sviluppata grazie alla seconda delle (7).

Una ultima notazione su concetto di derivata funzionale:

Si considerino le due fonti:

(1)
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Eulero-Lagrange

(2)
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
(analogamente in italiano):
https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_funzionale

errata:

δ/δf (J) = ∫ {[δ/δf (J)]/δf}δf dx

Poiché un ente J (semplificandosi i δf)

NON può essere l’integrale di se stesso.

errata:
δJ = ∫ δJ dx

corrige:
δJ =/= ∫ δJ dx

Viceversa è vero:

corrige:

derivata funzionale di J(f) in δf:

δ J (x, f, f’) = (∂J/∂x)δx + (∂J/∂f)δf + (∂J/∂f’)δf’

[δ J (x, f, f’)]/δf = (1/δf)[(∂J/∂x)δx + (∂J/∂f)δf + (∂J/∂f’)δf’]

cvd.

Mentre grazie alla dimostrazione:
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Eulero-Lagrange

è confermato che, per i sistemi stazionari:

derivare un funzionale di J(f) nella variazione di f mostrerà la equazione di Eulero/Lagrange a destra della derivata funzionale:

[δ J (x, f, f’)]/δf = ∂L/∂f – d/dx[∂L/∂f ‘]

ultimo aggiornamento:

20 febbraio 2020, ore 15.42

 

 

 

 

 

 

 

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