superamento della insiemistica di Russell

fonte su facebook:
https://www.facebook.com/groups/robiemaria/permalink/2472151609570073/

Pasquale Tufano in un modello per esempio per la descrizione di un linguaggio artificiale va creata una grammatica. Gli elementi di base sono:
1) i simboli detti “atomici” quando non sono ulteriormente scomponibili.
2) gli operatori che agiscono sui simboli atomici o compositi
3) le regole con cui gli operatori operano.

Dunque la teoria degli insiemi è formalizzabile, in logica formale, come una Grammatica.

Tra i simboli di rappresentazione, mi sembra che tu ti interroghi sulla formalizzazione del simbolo detto “insieme vuoto” ed in particolare se sia un concetto che non abbia spiegazione più elementare di essere detto “insieme vuoto”.

Dopo la precedente breve introduzione posso risponderti che il concetto di insieme vuoto non è un concetto primitivo, poiché può essere spiegato tramite la scomposizione di due termini:
A) cosa è un insieme?
B) quando un insieme può dirsi vuoto?

Risposta alla domanda A:
un insieme è una collezione di enti od eventi.
Dicesi “ente” ogni “oggetto” enucleabile da un contesto: ad esempio una pera da un cesto di pere.
Dicesi “evento” ogni dinamica mostrata dalla storia di un ente: ad esempio “lascio la pera cadere”.

Risposta alla domanda B:
Quando un insieme non colleziona enti o eventi può dirsi vuoto.

cvd.

 

In riferimento alla insiemistica, Russell ha fallito -in merito alla capacità di descrizione- perché ha usato (Russell) la teoria delle classi e non degli insiemi.

Tuttavia nella teoria degli insiemi non vi sono singolarità anche nel descrivere la “collezione di tutte le collezioni”, detta Omega, mentre la teoria delle classi non è in grado di farlo.

Dimostrazione:
Nel concetto di insieme non occorre citare una regola che generi la classe degli enti che l’insieme contiene, mentre ciò è necessario e sufficiente per la descrizione tramite una classe.

Ad esempio: se impongo l’operatore numero 3 e lo applico agli oggetti da mettere in una scatola avrò 3 pere, 3 mele, etc.

Non serve invece avere una regola per collezionare gli oggetti che trovo in una scatola, poiché è la scatola che è la collezione data il cui contenuto è caratterizzato solo dal fatto che gli enti sono in quella collezione.

Tale potenza di descrizione consente di descrivere anche Omega che Russell non riuscì a descrivere.

Infatti scelto a piacere un qualsiasi insieme di enti; sia O, si circondi con un diagramma di Venn, o con il concetto di scatola, tale collezione.

Tramite il concetto di insieme complementare a un insieme dato, ad esempio O, è individuabile ogni collezione che sia esterna ad O, sia O’.

TH:
O U O’ = Omega.

cvd.

 

Pasquale Tufano In generale, in merito ai concetti primitivi, tale impostazione dogmatica può essere sostituita con la epistematica:

Se dicesi epistemologia la teoria della conoscenza, può allora dirsi epistematica (che fonde epistéme ed automatica) la associazione procedurale che spiega un ente tramite una grammatica formale in cui va separato il simbolo dalla spiegazione del simbolo, la cui spiegazione -inoltre- può ancora sostituirsi con un processo automatico.

La spiegazione di come opera una somma infatti è un metalinguaggio che non è formale.

Viceversa perché una macchina come ad esempio un computer esegua una somma, non basta indicare il segno “+” ma una procedura che si inneschi automaticamente quando tra 2 simboli vi sia un segno “+”.

Nel software quindi serve una inizializzazione
a=1
b=1
a+b=c
stampa c

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