Einstein’s equation [k_Fermat format]


click x zoom foto
Vorrei inquadrare l’argomento attuale iniziando dall’articolo di Einstein sulla relatività generale del 1916:

“Die Grundlage der allgemeinen Relativit¨atstheorie, Annalen der Physik 49, 769-822 (1916)”.

link0 per la consultazione on line:

http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

Nel suddetto articolo, a pag. 6, Einstein mostra che si potrebbe essere interessati ad una particolare equazione (nello spazio di Minkowski) che è la seguente:

(1) (ds)^2 = -(dX1)^2-(dX2)^2-(dX3)^2+(dX4)^2

questa espressione riscritta sul piano cartesiano a 2 dimensioni mostra:

(2) (ds)^2=-(dX1)^2-(dX2)^2

e si capisce -in questa forma- che è il teorema di Pitagora,

ma affinché a secondo membro della uguaglianza, qui sopra, si abbiano dei valori negativi, si deve avere:

(3) (ds.es)(ds.es)=+(dX1.j.ex1)(dX1.j.ex1) + (dX2.j.ex2)(dX2.j.ex2)

dove j.ex1 & j.ex2 sono dei vettori unitari, e cioé versori, che danno la “metrica” dello spazio che stiamo studiando.

Si capisce subito, allora, che lo spazio che stiamo studiando è -nel caso generale- uno spazio “astratto”, poiché introduce numeri immaginari, sintomatologia di trascendenza dal nostro universo per mantenere una correlazione biiettiva con spazi non osservabili direttamente nel nostro universo, se non grazie alla matematica, che è capace di darci spazi astratti (in S2, se il nostro spazio è S1).

Perché avremmo la necessità di studiare uno spazio astratto?

perché la (1) esplicitando X1, X2, X3, X4, può essere ri-scritta come segue:

(4) (ds)^2 = -(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2+(d(c.t))^2

e con ds=0 diviene:

(4)” d(c.t))^2=+(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2

che, a meno della costante c, da la formula dello spazio relazionato all’istante t. E dunque un modo di indicare lo spazio/tempo.

Anche con “ds=/=0”, allora, la (4) indica, in ds, una relazione tra spazio & il tempo.

Dalla (3), a causa degli spazi astratti introdotti, affinché (ds)^2 valga per ogni trasformazione, e quindi anche con versori dotati di unità immaginaria

j=sqrt(-1); (j)^2=-1 , allora,

.. potremo avere, in generale:

(5) ds > 0; oppure ds < 0

Ma perché quanto appena detto sia vero:

  • può essere lo spazio maggiore del tempo,
  • oppure il tempo maggiore dello spazio.

(vedi articolo di Einstein, pag. 6 che conferma questa ipotesi fenomenologica).

E quindi si introduce il tema della deformazioni dello spazio/tempo.

E cioé che necessita l’esame di v in S1 (da zero a c), ma ANCHE di cosa succede quando v=/=c in S2 (e cioé per ogni valore di v, anche superiore alla v=c).

Infatti la relazione

(6) t=tau/sqrt(1-v^2/c^2)

oppure, grazie a Schwarzschild:

(7) t=tau/sqrt(1-rs/r)

pongono un vincolo di “c” uguale v_max=c, in S1.

Ma anche conseguenze tachioniche in S2, se la base deve essere completa, in quanto ortonormale.

Infatti dividendo (ds)^2 per (dt)^2 e limitandoci ad esaminare solo l’asse x:

la (4) diviene:

(4)’ (ds)^2=-(dx)^2+(cdt)^2; e dividendo per (dt)^2:

(9) [(ds)^2]/(dt)^2=-[(dx)^2]/(dt)^2+[(cdt)^2]/(dt)^2

(10) [(ds)^2]/(dt)^2=-[v]^2 + c^2

Quindi v=dx/dt; deve potere essere, in generale, con

v < c in S1; ma anche v > c in S2;

affinché [(ds)^2]/(dt)^2 possa descrivere ANCHE i tachioni.

Tachioni, che non sono coerenti ad S1, a causa della (6), (in cui genererebbero una quantità immaginaria), ma sono coerenti fuori da S1, perché, in S2, ..  la base ortonormale deve essere completa.

Per dare coerenza alla (1), quindi, lo spazio ed il tempo, in S1, devono avere segno opposto, come scritto nella (4).

Ma va studiata che metrica proporre in S2, perché si possa generare una soluzione non solo valida in S2, operando come chi realizza una “trasformata”(si pensi a quella di Laplace, o di Fourier, etc), ma anche debba esistere una “antitrasformata” da S2 -> S1, poiché se è vero che sappiamo cosa succede in S1, non sappiamo cosa succede in S2, se le misure in S2 fossero una mappa completa da esprimere come in S1.

Ad esempio, noi con

(7) t=tau/sqrt(1-v^2/c^2)

sappiamo che con un tempo tau=tau0 ad una velocità per i muoni v=v0

abbiamo t=circa 15 tau0

ossia avere spostato da v=0 versus v=v0=0.998c, i muoni, ne ha aumentato la vita media, tau0, di 15 volte.

Ma non sappiamo cosa sia successo alla deformazioni spaziali in S2, dove S2 -in questo esempio- è la particella che viaggia a v=v0=0.998c.

Come vedremo, qui di seguito, esiste sia la possibilità di esprimere il caso generale alle derivate parziali come a pagina 17 con la (22) dell’articolo di Einstein, che ci consentirà di studiare la metrica di Schwarzchild in S2, ma anche di proporre “una metrica” in S2 di Tufano che risolverà alcune aporie interne alla soluzione di Schwarzschild.

La (22) di Einstein, infatti, può divenire in forma diversa che alle derivate parziali, e precisamente una soluzione operativa implementabile alle differenze finite come nel software proposto da Amadori e Lussardi.

Ma prima di proporre una versione di tale software, che sarà modificato per recepire le modifiche “k_Fermat”, proposte da Tufano, necessita entrare nel dettaglio del perché la soluzione di Schwarzschild è solo una approssimazione con v << c della soluzione generale di Tufano, valida anche nell’intervallo 0 < v < c.

Anzitutto riprendiamo la trasformazione in 3D solo spaziale

(11) (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2; in S1

Per ora lasceremo tutti i segni positivi, perché sarà più facile applicare la trasformazione grazie al calcolo tensoriale che non avrà nessuna difficoltà a mostrarci la soluzione in S2, se si applicherà una trasformazione di tipo coordinate cartesiane versus coordinate sferiche.

r’=r.sin(teta)

x=r’.cos(fi)
y=r’.sin(fi)
z=r.cos(teta)

Con tale trasformazione, sia applicando il calcolo tensoriale, e sia utilizzando i versori otterremo (risultato noto in letteratura scientifica):

(12) (ds)^2 = g11′(dr)^2 + g22′(dteta)^2 + g33′(dfi)^2; in S2

dove

g11’=1 (va ricordato che nel caso segnatura sia diversa vanno cambiati i segni)
g22’=r^2
g33’=r^2.[sin(teta)]^2

Si veda ad esempio il nostro articolo seguente:

link1:

Schwarzschild: calcolo (gij) & (gij)’ (caso 3D)
https://6viola.wordpress.com/2016/05/30/schwarzschild-calcolo-gij-gij/

se fosse

(11)’ (ds)^2=-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2; in S2

avremmo una modifica in gij” di S2 (gij’=/=gij”):

g11”= -1
g22”= -r^2
g33”= -r^2.[sin(teta)]^2

Il commento importante è che la trasformazione tra gli spazi, trascurando il tempo, non ha dato nessun problema di trasformazione, e discende dal calcolo tensoriale, senza nessuna singolarità di rappresentazione, poiché -finora- è solo un cambio di coordinate.

Vediamo, allora, quali problemi introduce la seguente definizione come trasformazione temporale:

(7) t=tau.[1/sqrt(1-rs/r)]=tau.gamma; gamma^2=1/(1-rs/r). (rs=rg su Amadori)

La trasformazione non influenzerà solo il tempo, ma anche lo spazio, tramite la “r” che compare nella (7) all’interno di gamma, che è funzione di r.

Tuttavia sarà facile dimostrare che

g00”= gamma^2=[1/(1-rg/r)] se la trasformazione è in tau (Tufano).

Mentre se la trasformazione è in t (Amadori):

g00”’=1/gamma^2=[(1-rg/r)] su Amadori; anche nella foto che segue.

Si veda, invece, per la dimostrazione matematica, il link2 seguente, dove g00” è detto g11′ (ovvero “sopralineato”):

il TEMPO è una dimensione indipendente dallo spazio? (Mathematics: SCHWARZSCHILD) (caso 4D)
https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Infatti d/d(tau)[t]=d/d(tau)[t=gamma.tau]=gamma

Quindi

g00_in_S2=g00”(Amadori, in t)=1-rg/r=1/gamma^2

g00_in_S2=g00”'(Tufano, in tau)=1/(1-rg/r)=gamma^2

NON da difficoltà ad essere calcolato per via diretta con le formule tensoriali.

E si capisce anche bene che grazie a

(7) dt=gamma.dtau

.. quindi se la proiezione è in t, allora, gamma compare a numeratore.

Mentre se la proiezione è in tau, allora, dtau=(1/gamma).dt, e quindi c’è lo scambio tra numeratore e denominatore.

Ma come abbiamo spiegato nell’articolo seguente (link3), che affronta (nelle dimostrazione 6 & 7) “la questione della estensione della soluzione di Schwarzchild”:

link3:

k_Fermat’s geodesic_equations: [mathematical proof: 6° & 7°]

https://6viola.wordpress.com/2017/07/23/k_fermats-geodesic_equations-mathematical-proof-6-7/

link4: (le prove precedenti da 1 vs 5):

k_Fermat’s geodesic_equations: Tufano’s First theorem [new Mathematics]
https://6viola.wordpress.com/2017/07/07/k_fermats-geodesic_equations-tufanos-first-theorem-new-mathematics/

.. vede che “la proiezione in S2 non può essere fatta subito in t”, pena la *indistinguibilità* della misura del tempo in S1 & S2, e solo _dopo_ la prima proiezione da S1 -> S2, si potrà riproporre un nuovo cambio di variabile per misurare in S1, ciò che avviene in S2.

Ci manca, ad ora, (in questa ricostruzione di tutti i passaggi della forma “k_Fermat”) la dimostrazione di quanto valga g11”’.

Dove g11”’= g(i=1,j=1)”’= Σn Σk d/dx(i)'[x(h)]. d/dx(j)'[x(k)]. g(h,k)

quindi la valutazione del tempo t=x(0)=gamma.tau=[1/sqrt(1-rg/r)].tau
differenziato in r=x(1)’, che risulterà g11”’= – gamma^2 (nella trasformazione di base di Tufano in ctau, r, teta, fi); & g00”’= -g11”’=gamma^2 ..

essendo le derivate parziali, e la espressione della matrice tensoriale, scritta in LaTex, alla pagina seguente:

Avendo usato la convezione di indicare con g11”, con 2 segni, i coefficienti della matrice G secondo Amadori (che opera direttamente in t, creando ambiguità tra S1 & S2) e la convenzione di indicare con g11”’, quindi con 3 segni, i coefficienti della G secondo Tufano.

Molti autori offrono dimostrazioni diverse da quella seguente per dimostrare che

g00”’=-g11”’=gamma^2 che è il punto “dolente” della trasformazione, visto che ha implicazioni tachioniche.

Noi offriamo la dimostrazione, Pag.6 del 2.6.2016, al link2 (già citato, che ripetiamo) seguente (vedere la sezione relativa):

il TEMPO è una dimensione indipendente dallo spazio? (Mathematics: SCHWARZSCHILD) (caso 4D)

https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Si troverà lo stesso risultato anche con il calcolo dei versori,
(qui esplicitato in modo completo per la prima volta sul blog attuale), sviluppando:

Con la “convenzione_15-06-2018” di indicare come positiva la segnatura di f0, f1, f2, f3, ed associare, però, ai versori con segnatura reale negativa la unità immaginaria “j” avremo:

(ds)^2 = [d(c.tau).e(c.tau) + d(r).j.e(r) + d(teta).j.e(teta) + d(fi). j.e(fi)]^2=

(ds)^2 = [d(c.tau)]^2.g00”’ + [d(r)]^2.g11”’ + [d(teta)]^2.g22”’  [d(fi)]^2. g33”’

infatti, con questa“convenzione_15-06-2018”, avremo:
g11”’=-gamma
g00”’=+gamma
&
g11”’=-g00”’

g22”’=-r^2
g33”’=-(r^2).[sin(teta)]^2
(ricordando che questa trasformazione è in S2 secondo la base: tau, r, teta, fi)

dove
le j=sqrt(-1), (j)^2=-1
i versori in S2 sono i seguenti:

e(c.tau)=d/d(c.tau)[f0].e(c.t) + d/d(c.tau)[f1].e(x) + d/d(c.tau).e(y) + d/dt(ctau).e(z)

e(r)=d/d(r)[f0].e(c.t) + d/d(r)[f1].e(x) + d/d(r).e(y) + d/dt(r).e(z)

e(teta)=d/d(teta)[f0].e(c.t) + d/d(teta)[f1].e(x) + d/d(teta).e(y) + d/dt(teta).e(z)

e(fi)=d/d(fi)[f0].e(c.t) + d/d(fi)[f1].e(x) + d/d(fi).e(y) + d/dt(fi).e(z)

dove
le f sono le seguenti:

f0=c.t=c.gamma.tau
(si noti che f0 è sempre con segnatura positiva)
(mentre la segnatura positiva seguente è artificiale e compensata dalla convenzione che sopra è detta “convenzione_15-06-2018”).

f1=[r.sin(teta)].cos(fi)

f2=[r.sin(teta)]sin(fi)

f3=r.cos(teta)

dove
nello spazio S1 le variabili sono

c.t, x, y, z

dove
nello spazio S2 le variabili sono

c.tau, r, teta, fi.

Rispetto alla foto di Amadori qui sopra pagina 97 la rappresentazione conforme, di Tufano, vede la sola modifica di indicare gamma^2=1/(1-rg/r) anziché il suo reciproco.

Inoltre la base, in S2, NON è quella di Amadori: c.dt, dr, dteta, dfi

Poiché quella di Tufano è: c.dtau, dr, dteta, dfi.

Ora si può riprendere la trattazione del link3:

k_Fermat’s geodesic_equations: [mathematical proof: 6° & 7°]

https://6viola.wordpress.com/2017/07/23/k_fermats-geodesic_equations-mathematical-proof-6-7/

ed a completamento della dimostrazione numero 6 (qui sopra link3), si trovano al  link 4 seguente le dimostrazioni dalla 1 alla 5:

k_Fermat’s geodesic_equations: Tufano’s First theorem [new Mathematics]

https://6viola.wordpress.com/2017/07/07/k_fermats-geodesic_equations-tufanos-first-theorem-new-mathematics/

Si potrà esaminare, così, come i coefficienti k_Fermat modificano la forma storica della soluzione di Schwarzschild.

In merito alla dimostrazione 7 del link 3, già menzionato sopra, c’è da aggiungere che esplicita come il secondo cambio di variabili giustifica, seguendo la impostazione di David Simpson, nel calcolo dei coefficienti di Christoffel, la forma k_Fermat.

La nuova forma k_Fermat è -quindi- la seguente:

$tduepunti0=-($rg/($r0*($r0-$rg)))*$k*$tpunto0*$rpunto0;

$rduepunti0=-($c*$c*$rg*($r0-$rg)/(2*$r0*$r0*$r0))*$kQ*$tpunto0*$tpunto0+($rg/(2*$r0*($r0-$rg)))*$rpunto0*$rpunto0+($r0-$rg)*$fipunto0*$fipunto0;

$fiduepunti0=-(2/$r0)*$rpunto0*$fipunto0;

fonte (di nuovo il link4):

k_Fermat’s geodesic_equations: Tufano’s First theorem [new Mathematics]

https://6viola.wordpress.com/2017/07/07/k_fermats-geodesic_equations-tufanos-first-theorem-new-mathematics/

dove

$rpunto1Q = $rpunto1*$rpunto1;

$beta1Q = $rpunto1Q/$cQ;

$kQ=(1-$beta1Q);

$k = sqrt($kQ);

Mancano gli sviluppi in teta, che però sono reperibili nell’articolo seguente:

https://6viola.wordpress.com/2017/11/23/relativistic-plasma-jets-in-black-holes-mathematics/

Una conseguenza sul modello standard della “particelle” sub atomiche, a seguito dell’innovazione secondo k_Fermat è il seguente:

La presentazione qui sopra, inoltre, ha numerosi articoli di come i coefficienti k, kQ (detti k_Fermat) intervengono sulla descrizione della energia, sul blog attuale.

Per chi voglia ripercorre la “strada” di questa presentazione ecco i link più importanti:

  1. 100 anni della costante h di Planck: new h-Theorem [Physics]
    https://6viola.wordpress.com/2018/05/04/100-anni-della-costante-h-di-planck-new-h-theorem-physics/
  2. Dirac equation: New Solution [May 17, 2018] flow with input/output
    https://6viola.wordpress.com/2018/05/17/dirac-equation-new-solution-may-17-2018-flow-with-input-output/
  3. La conferma nel caso dello scattering di Compton:
    INTERIM Theory (Compton Analysis)[MetaQuantumMechanics]
    https://6viola.wordpress.com/2018/06/01/interim-theory-compton-analysismetaquantummechanics/

Aggiornamento 27.06.2018:
esistono alcune questioni -di more info- versus la trattazione attuale ai link seguenti:

ultima versione:

27 giugno 2018, ore 12.12

Questa voce è stata pubblicata in SCIENZA. Contrassegna il permalink.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo di WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...