Dirac equation: New Solution [May 17, 2018] flow with input/output

(fonte wiki-en)

Ci proponiamo nell’articolo attuale di dimostrare che non è vero che la Equazione di Dirac da necessariamente soluzioni illogiche come presentato nella trattazione di Mason a cui facciamo riferimento al link seguente:

link1:

http://spiro.fisica.unipd.it/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=12&Itemid=95

@   @   @

Abbiamo già scritto un articolo introduttivo al tema attuale in un nostro precedente articolo:

link2:

https://6viola.wordpress.com/2017/12/20/studio-del-mare-di-energia-di-dirac-soluzione-di-alcune-aporie-e-ossimori/

In questo ultimo, ora citato, mostravamo che

1. Affermare che la energia relativistica sia E^2=(m0.c^2)^2 + (p.c)^2 dove p=m0/sqrt(1-v^2/c^2) descrive una situazione detta di “MACRO_SYS”. Ovvero in cui è la energia cinetica del sistema (SYS) che aumenta, e aumenta se e quando particelle massive sono ad assorbire la accelerazione causata da campi applicati. Ciò però crea costanza della “quantità di moto” solo in presenza di v=v0, oppure v=v1, etc, a significare che ci sarà costanza anche della energia tot=E, se la velocità sia v=costante.
2. Inoltre il flusso di energia è -negli acceleratori di particelle- usualmente entrante nel SYS, ma potrebbe anche essere uscente, laddove, ad esempio, si scontrassero materia ed antimateria, e la energia prodotta fosse, dunque, un flusso di energia uscente dal SYS, che aveva trasformato materia massiva, in energia senza massa. Quindi aveva un senso anche il concetto di energia positiva (come entrante in SYS) e energia negativa (come uscente dal SYS).

Da quanto precede, già si poteva dedurre che la equazione di Dirac non era illogica come sostiene Mason nel suo articolo:

Nell’articolo di Mason, a pagina 9, Mason dice (vedi link1) a proposito delle soluzioni (1.15) “Le prime due soluzioni corrispondono a energie positive: L’equazione agli autovalori (H.Ψ1,2)=i.d/dt(EΨ1,2) porge E = +m. Più problematiche sono le altre due soluzioni per le quali le equazione agli autovalori (H.Ψ3,4)=i.d/dt(EΨ3,4) corrisponde alla soluzione E = -m.“

La “assenza di illogicità”=”coerenza logica”, nelle soluzioni di Dirac, la davamo per assodata nel nostro articolo precedente a quello attuale: vedi link2.

La novità odierna è in un fatto NON banale:

Dire:

E^2=(m0.c^2)^2 + (p.c)^2

che è la espressione della energia, ufficialmente denominata “energia relativistica” ..

• suppone il termine “m0” una grandezza fissa, come risulta anche a noi, e
• “delega” alla espressione p=m.v=[m0/sqrt(1-v^2/c^2)].v, il compito di contabilizzare le variazioni di energia di tipo cinetico imputabili alla velocità v.

Normalmente negli acceleratori di particelle, si opera in modo che v -> c, e la energia cinetica introitata dal sistema cresce, ed è quindi un flusso entrante.

Può mai descrivere E^2=(m0.c^2)^2 + (p.c)^2 .. un flusso uscente?

Potrebbe farlo se “qualche cosa” modificasse la relazione tra massa a riposo e la velocità!
Si veda su tali modifiche le espressioni seguenti, nel presente articolo, “h-theorem”(*).
(*) Inoltre “more info”:
https://6viola.wordpress.com/2018/05/04/100-anni-della-costante-h-di-planck-new-h-theorem-physics/

Ma in un sistema inerziale la velocità v tende a rimanere v=costante, quindi può sembrare “illogica” che la struttura della equazione di Dirac abbia la possibilità di indicare un flusso uscente.

Se non che, normalmente, non si riflette che sia nello scontro di materia ed antimateria, e sia nel fenomeno detto della “fusione calda” (sulle stelle) scompare una parte -ad esempio- del deuterio e il bilancio energetico porta che la energia fotonica (radiativa) della stella è proprio addebitabile alla “massa scomparsa”, che si è trasformata in energia senza massa, secondo la equazione

E=m0.c^2

dove m0 era la massa a riposo che poi si è trasformata.

Dunque per una funzione andare da

• massa diversa da zero, quando v=0 ..
• versus massa = 0 in t1 > t0 ci deve essere stato un “interim” in cui la massa si è ridotta non solo quando v=c.

Se si teorizza allora che le formule di trasformazioni siano le seguenti:

H-Theorem:

Si può dimostare che Ep è molto simile a E (di Dirac), come al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/12/20/studio-del-mare-di-energia-di-dirac-soluzione-di-alcune-aporie-e-ossimori/

Infatti, se abbiamo:

E_p=[m0.sqrt(1-v^2/c^2)].c^2=m_p.c^2

E_p^2=

(E_p)^2 = (m_p.c^2)^2 = (m0.c^2)^2 – (p’.c)^2 = (m0.c^2)^2 – (m0.v.c)^2

m_p=[m0.sqrt(1-v^2/c^2)]

p’=m0.v

laddove la espressione della energia relativistica, di Dirac, si può scrivere:

(E_#)^2 = (m0.c^2)^2 + (p.c)^2 = (E_@)^2 + (p.c)^2 = (m0.c^2)^2 + (m.v.c)^2

Confrontando le due espressioni in blu seguenti:

(E_p)^2 = (m0.c^2)^2 – (m0.v.c)^2

(E_#)^2 =  (m0.c^2)^2 + (m.v.c)^2

.. si vede un fatto che consideriamo “The new solution” della equazione di Dirac ..

• Le due espressioni se m=circa costante (ciò si può approssimare se v è bassa ed in tal caso m=circa m0), posto m=circa m0, sono la stessa espressione, a meno di un segno.
• Il valore di m0, inoltre, è sempre lo stesso, sia quando v=0, e sia quando v -> c, poiché il valore associabile alla singola particella è sempre “E=m0.c^2”, e ciò che varia non è E=Etot della singola particella, (considerato come un sistema isolato, il sistema singola particella tra massa massiva + massa virtuale radiativa)ma le relative quote parti che si destrutturano in parte radiativa (se v > 0) e parte ancora massiva (se v < c).
• Quando m viaggia a v=0, la massa è totalmente massiva, e anche detta “a riposo”. Quando m viaggia a v=c la massa è totalmente radiativa (virtuale) detta mr, ma numericamente mr=m0 tanto che si può scrivere E=mr.c^2, essendo mr=m0, quando v=c.
• Il cambio di segno delle soluzioni di Dirac, allora, mostrano non E# quando mostrano una massa negativa, ma Ep che infatti tende a ridursi essendo una massa tutta massiva, quando m viaggia v=0, e tutta radiativa quando v=c. Da cui Lasciare solo il segno + nella struttura (E_#)^2 =  (m0.c^2)^2 + (m.v.c)^2 va cambiato nella nuova notazione .. che segue:
• (E_p)^2 = (m0.c^2)^2 – (m0.v.c)^2; per misurare MICRO_SYS
• (E_#)^2 =  (m0.c^2)^2 + (m.v.c)^2; per misurare MACRO_SYS
• Per cui se il flusso è entrante le soluzione sono date da E# scartando quelle a massa negativa
• Per cui se il flusso è uscente le soluzioni sono date da E_p che tende a divenire E_p^2=0 quando v=c e quindi a diminuire di energia potenziale E_p. La quale energia è una energia ottenuta dalla trasformazione di massa -> versus -> energia radiativa e che quindi elimina una parte della massa e la trasforma in energia, da cui è un flusso non assorbito dalla materia, ma estratto dalla materia del sistema (SYS).

cvd.

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La trattazione matematica di dettaglio che dimostra il flusso input/output:

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§1. STUDIO DI Schroedinger:

In ipotesi di risolvere il problema attuale “a bassa velocità” vale la impostazione di Schroedinger(*).
(*)
Infatti, la MQ(meccanica Quantistica), inizia senza la pretesa di stimare con v -> c, e la Energia studiata era nella forma
E = p^2/(2.m0) + V = (m0.v)^2/(2.m0) + V = (1/2).m0.v^2 + V
dove la v=velocità
dove la V= energia potenziale
quindi si studiava la E=Energia totale quando v << c,
situazione in cui non era calcolata la espressione relativistica.
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La impostazione Schroedinger consiste nel risolvere la seguente equazione:
Nota Bene: le numerazioni delle formule seguenti seguono del testo del prof. Maltese al corso di fisica quantistica per Ingegneria Elettronica:

(4-9) -(h’/2m)(d/dq)(d/dq)[Ψ(q,t)] + V.Ψ = +(i.h’)d/dt[Ψ(q,t)];
Se valogono le seguenti ipotesi (ip)
h’=h/[2.(3.14)]
ip: le derivate sono parziali.
ip: V non dipende dal tempo
ip: Ψ(q,t) = Ψ'(q).Ψ”(t); da cui si destruttura in separazione di variabili.
ip: notazione: Ψ = Ψ’.Ψ”
ip: spazio monodimensionale (per semplicità di esposizione)
ip: spazio pluridimensionale (nella sezione “§.2 CONCLUSIONI”)

Il sistema diviene:

-(1/Ψ)(h’/2m)(d/dq)(d/dq)[Ψ’.Ψ”] + V.Ψ = +(1/Ψ)(i.h’)d/dt[Ψ’.Ψ”];

semplificando:

-(1/Ψ’.Ψ”)(h’/2m)(d/dq)(d/dq)[Ψ’.Ψ”] + (1/Ψ ).V.Ψ = +(1/Ψ’.Ψ”)(i.h’)d/dt[Ψ’.Ψ”];

—

Che risulta equivalente al seguente:

(4.12) -(1/Ψ’)(h’/2m)(d/dq)(d/dq)[Ψ’] + V = E

(4.13) +(1/Ψ”)(i.h’)d/dt[Ψ”] = E

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La soluzione della (4.12) è la seguente:

E =  p^2/2m +V

dove

Ψ’=Ψ'(q)= A e^(i.k.q) + B e^(-i.k.q)

k=sqrt[(E-V).2m/h’^2]=p/h’

—

La soluzione della (4.13) è la seguente:

Ψ”=Ψ”(t)= C.e^(-iE/h’).t

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Da cui, riprendendo ora la impostazione di Mason, pagina 9, e sostituendo a Ψ ciascuna delle 4 soluzioni, avendo che ha senso anche autonomamente secondo Schroedinger lo strutturalismo trovato per Ψ, utilizzando Dirac, quando dipendesse solo dal tempo(*):
(*)
Più in generale, ammesso di potere trovare una forma di Ψ tale che sia possibile la scomposizione Ψ=Ψ’.Ψ”, nello strutturalismo staremmo trascurando che non si può sostituire solo in Ψ” che dipende solo dal tempo, ma tale densità di probabilità va moltiplicata, come Ψ=Ψ’.Ψ”, anche per Ψ’, ossia per la individuazione (parziale, essendo probabilistica) della posizione, grazie a Ψ’, nello spazio.
Ma supponendo di riferirsi in modo certo rispetto ad uno spazio limitato, con E, occupato dalla “particella”, potremmo solo esplicitare la evoluzione dell’energia, con E, che starebbe modificandosi, in modo “confinato”, nel tempo. La “modificazione confinata” sarà -allora- simile a quella di una rotazione, intorno ad un asse di rotazione.
Da ciò il segno di Ψ”=Ψi,j indicherebbe un senso “concorde o discorde”(+/-), ad assimilare/cedere energia dal MICRO_sys <-> MACRO_sys.
Del resto la soluzione generale di Ψ(q,t), di Schroedinger, quando NON è limitata solo alla variabile tempo, si presenta come una forma ondulatoria di probabilità, che può sempre pensarsi come composizione di esponenziali. (si veda la analisi di Fourier).

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Ritornando, quindi a Mason, pagina 9 .. (vedi (1.15) pagina9 Mason) ..

Esplicitando, Mason, nella forma:

@1) La Ψ1,2= Ψ0.e^(-iE/h’)t;
detta espressione in modulo e fase (della densità di probabilità Ψ)

dalla equazione di Schroedinger:

@2) H.Ψ=(h’.i) d/dt[Ψ]

eseguendo le derivate parziali
(che sono totali se Ψ dipende solo dal tempo)

@3) H.Ψ=(h’.i) d/dt [Ψ0.e^(-iE/h’)t] =(h’.i )[(-i)(E/h’)].[Ψ0.e^(-iE/h’)t]=

=+ E.Ψ=(m0.c^2).Ψ=m0.Ψ0;
if c=1; 

dove:
(-i).(i)=+1

essendo la espressione NON normalizzata:

@4) H.Ψ1,2=(h’.i).d/dt[Ψ1,2]

—
Analogamente:

@1′) La Ψ3,4= Ψ0.e^(+iE/h’)t

dalla equazione di Schroedinger:

@2′) H.Ψ=(h’.i) d/dt[Ψ]

eseguendo le derivate parziali

@3′) H.Ψ=(h’.i) d/dt [Ψ0.e^(+iE/h’)t] =(h’.i )[(+i)(E/h’)].[Ψ0.e^(+iE/h’)t]=

= – E.Ψ= – (m0.c^2).Ψ= – m0.Ψ0;
if c=1; 

dove:

(i).(i)=-1

essendo la espressione NON normalizzata:

@4′) H.Ψ3,4=(h’.i).d/dt[Ψ3,4]

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§.2 CONCLUSIONI

Se si esamina la pagina 9 di Mason:
fonte:
http://spiro.fisica.unipd.it/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=12&Itemid=95

Si vede che Mason dice:

“Ricordando la struttura della matrice β ricordata prima, è immediato che le soluzioni dell’equazione precedente sono .. ”
Commento:
e mostra Ψ1, Ψ2, Ψ3, Ψ4 .. ma le mostra in 4 dimensioni (3 di spazio e 1 temporale).

Mason conclude:

“Allora ci si chiede perché studiare l’equazione di Dirac se fornisce risultati assurdi? La risposta è che l’equazione di Dirac descrive ottimamente l’elettrone ( e in genere i fermioni di spin 1/2) relativistico, ne fornisce il corretto (con buona approssimazione) momento magnetico, include lo spin dell’elettrone e in ogni caso le matrici γ entreranno fortemente nel formalismo della Q.E.D. che è la teoria meglio testata in assoluto. Insomma, una discussione approfondita delle proprietà dell’equazione di Dirac non fa male, anzi è doverosa.”

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Da cui la trattazione attuale è confermata anche dal casus multidimensionale.

Dunque c’era, prima dell’articolo attuale, una difficoltà di interpretazione di una parte delle soluzioni della equazione di Dirac, poiché non si considerava che ..

1. Avendo elaborato Dirac la radice di una forma E^2 una parte delle soluzioni di una radice quadrata è sempre +/- la radice, poiché E^2=(-E)(-E)=+(E)(E).
2. Avendo contemplato Dirac solo l’ingresso di energia (energia in input) nel sistema computato tramite una delle 2 forme relativistiche, trascura la energia uscente (energia in output). Le due forme equivalenti per lo studio della energia, finora, erano solo le seguenti:
   • la prima forma è Ec=(m-m0)c^2; E=[m0/sqrt(1-v^2/c^2)]c^2=mc^2
   • la seconda forma è E^2=(m0c^2)^2 +(p.v)^2; p=m.v (usata da Dirac).
3. Viceversa, considerando anche la energia uscente, come quella che vede la trasformazione da massa -> versus -> energia, allora,  il flusso è opposto, e ciò è indicato dal segno “-” riportato nella comparazione seguente:
   • (E_p)^2 = (m0.c^2)^2 – (m0.v.c)^2; per misurare MICRO_SYS
   • (E_#)^2 =  (m0.c^2)^2 + (m.v.c)^2; per misurare MACRO_SYS

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cvd.

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ultima versione:

18 maggio 2018, ore 11.05

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