Onde di Fourier [QUANTUM come caso matematico ideale di onda quadra]

Anzitutto andrebbe studiato come si compongono secondo Fourier i segnali f(x):

https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier

La prima forma di approssimazione di una onda quadrata di periodo T è una sinusoide:

Poiché si ha

e^jnx = cos(nx) + jsin(nx)

Fn=[1/(2π)] ∫ f(x) e^(-jnx) dx; tra a=-π & b=+π

Si dirà che Fn è la trasformata di Fourier di f(x) e cioé la proiezione di f(x) nello spazio delle frequenze.

@   @   @

Allora sarà ricostruibile

f(x) = Σ Fn e^(jnx); Σ da -oo versus + oo

Una forma alternativa a quanto sopra, .. è la seguente:

f(x)={\frac  {a_{0}}{2}}+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac  {2\pi }{T}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\frac  {2\pi }{T}}nx\right)\right]

Con periodo della funzione e dove:

a_{0}={\frac  {2}{T}}\int _{{-{\frac  {T}{2}}}}^{{{\frac  {T}{2}}}}f(x)dx\qquad a_{n}={\frac  {2}{T}}\int _{{-{\frac  {T}{2}}}}^{{{\frac  {T}{2}}}}f(x)\cos \left({\frac  {2\pi }{T}}nx\right)dx\qquad b_{n}={\frac  {2}{T}}\int _{{-{\frac  {T}{2}}}}^{{{\frac  {T}{2}}}}f(x)\sin \left({\frac  {2\pi }{T}}nx\right)dx

In particolare ..

Per funzioni pari (dove compaiono solo i coseni) si ha:

a_{0}={\frac  {4}{T}}\int _{{0}}^{{{\frac  {T}{2}}}}f(x)dx\qquad a_{n}={\frac  {4}{T}}\int _{{0}}^{{{\frac  {T}{2}}}}f(x)\cos \left({\frac  {2\pi }{T}}nx\right)dx\qquad b_{n}=0

mentre per funzioni dispari (dove compaiono solo i seni):

a_{0}=0\qquad a_{n}=0\qquad b_{n}={\frac  {4}{T}}\int _{{0}}^{{{\frac  {T}{2}}}}f(x)\sin \left({\frac  {2\pi }{T}}nx\right)dx\qquad

I coefficienti an e bn esprimono le ampiezze,

ovvero i pesi delle sinusoidi e cosinusoidi, a0/2 corrisponde al valore medio in un periodo della funzione f(x). Tale formulazione si riconduce alla precedente rappresentazione se:

F_{n}={\frac  {a_{n}-ib_{n}}{2}}\quad {\mbox{e}}\quad F_{n}=F_{{-n}}^{*}

Come confronto con altre formule simili si può vedere il seguente formulario del prof. Polito:

http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi2/pdf/formulario.pdf

ed i seguenti esercizi risolti sempre dello stesso corso:

http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi2/pdf/fourier-svolti.pdf

Da tutto ciò si capisce la seguente procedura:

  1. Si individua il valore del segnale nella forma Polito f(x),
    oppure nella forma Wiki x(t),
  2. Si risolve l’integrale in dx, oppure in dt dei “coefficienti di Fourier”,
  3. si scrivono i coefficienti di Fourier nella serie di Fourier
  4. i primi termini della serie approssimano in modo grossolano ad esempio una onda quadra, tramite un coefficiente costante e una sola sinusoide
  5. i termini successivi aggiungono sinusoidi a frequenza maggiore, ma di ampiezza minore, per correggere gli errori che risulterebbero dalle prime approssimazioni.

Ad esempio nell’esercizio 2.1.5 di Polito

al link seguente (pagina 2):
http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi2/pdf/fourier-svolti.pdf

a0 =3/2
(si noti che sia i coefficienti che la serie di Polito sono leggermente diverse da Wiki)

a1=0

b1=-(2/π)

Dunque

f(x)=circa [a0 + a1.cos(x) + b1.sin(x)] + …

Quindi anche i segnali di onde elettromagnetiche si possono sommare!

Il risultato di tale somma, però dipende da molti fattori:

  • la frequenza della singola armonica in pulsazione ed in ampiezza della intensità
  • le caratteristiche del singolo segnale variano sia nello spazio che nel tempo

Dunque in presenza di una onda quadrata

f(x) :

f(x)=2 in -3.14 fino a 0
f(x)=1 in 0 fino a +3.14

f(x) di Fourier “bloccata” ad a0, a1, b1 restituisce

f(x)=1.5 – 0,63 sin(x)

il grafico è quello seguente:

https://it.numberempire.com/graphingcalculator.php

figura senza onda quadrata:

oppure mettendo in evidenza la onda quadra:

Aggiungendo altri coefficienti ak, bk, la rappresentazione diverrà sempre più simile al caso ideale perfettamente quantico, ma solo in modo approssimato.

Da cui, si capisce anche che la quantizzazione ideale non è un caso fisico, ma matematico, come conferma la trattazione wikipedia al link seguente di cui mostro una figura con k=5, k=15

cvd.

ultima versione:

10 maggio 2018, ore 14.52

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