Wick Rotation

Ci stiamo per “avventurare” nella esplorazione della “Wick Rotazione” proposta da Mirco Mannucci.

L’articolo su Forbes.com:
https://www.forbes.com/sites/quora/2016/11/15/einstein-and-hawking-had-different-ideas-about-the-concept-of-imaginary-time/#2fca2c4f3e0e

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traduzione con google:

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In che modo l’ideologia del tempo e del tempo immaginario è differente per Einstein e Stephen Hawking? originariamente apparso su Quora: la rete di condivisione delle conoscenze in cui domande convincenti sono state risolte da persone con intuizioni uniche.

Risposta di Paul Mainwood, Dottorato in filosofia della fisica, su Quora:

C’è un’idea che potrebbe essere chiamata “tempo immaginario” che è strettamente associata a Einstein, e ce n’è un’altra associata a Stephen Hawking.

Queste due idee sono distinte l’una dall’altra, e né sono originate da Einstein o Hawking, ma rispettivamente da Hermann Minkowski e Gian-Carlo Wick.

Confuso ancora?

Iniziamo con Einstein. Due anni dopo aver pubblicato la sua teoria della relatività speciale, Hermann Minkowski (il suo insegnante di geometria a Zurigo) ha mostrato come la teoria potesse essere vista in modo geometrico. Ad esempio, conteneva alcuni invarianti, che rimasero gli stessi indipendentemente dal frame di riferimento che stavi usando. Il più fondamentale è il cosiddetto intervallo invariante:

(Dove x1, x2 e x3 sono tre dimensioni spaziali ortogonali, e t è la coordinata temporale, notare il segno meno davanti al termine t). Minkowski ha introdotto una sostituzione intelligente per lavorare facilmente con questo, che consiste nel creare una “coordinata temporale immaginaria” associata alla sostituzione x0 = ict.

È semplice vedere che con questa identità, quanto sopra semplifica un analogo quadridimensionale del teorema di Pitagora. Si scopre che questa è una sostituzione molto conveniente da fare attraverso la relatività speciale, e questo – insieme all’approccio geometrico alla relatività che funziona naturalmente con esso – è ora associato a Minkowski. Persino Einstein in seguito usò la suddetta sostituzione per insegnare la relatività, attribuendo sempre l’idea al suo vecchio insegnante.

Passiamo ora a Hawking, che stava iniziando a studiare fisica circa 50 anni dopo tutto questo. Naturalmente, Hawking è stato insegnato la sostituzione di Minkowski come studente universitario, e quindi rapidamente “superato” quando si è trasferito a studiare la Relatività Generale (GR usa il tensore metrico per fare lo stesso trucco della sostituzione di Minkowski). Ma ha questo in comune con quasi tutti gli altri fisici che studiano le teorie.

Il “tempo immaginario” associato a Hawking deriva da una strada molto diversa, dalla formulazione integrale del percorso di Feynman della meccanica quantistica. In termini di base, l’approccio integrale del percorso ti dà la probabilità con cui qualsiasi stato passerà dallo stato a allo stato b, valutando l’integrale di tutti i possibili percorsi tra di loro.

Hawking voleva analizzare la situazione in cui lo stato a era le condizioni iniziali dell’universo, e lo stato b era un universo de Sitter (quello che pensiamo che l’universo assomigli a circa t = 10-33 secondi in poi).

Analizzare questo problema è difficile, e l’integrale di tutti i possibili percorsi ti esplode in faccia. Ma c’è un trucco che (sembrava) per semplificarlo, chiamato “rotazione di Wick”. Questo trucco affiora attraverso la fisica, dove è utile in problemi di meccanica classica e statistica, così come in QM. Ciò che fa una rotazione di Wick è trasformare un problema posto nello spazio euclideo in uno leggermente diverso nello spazio di Minkowski (e viceversa). Spesso, il problema analogo nell’altro spazio risulta essere più facile, quindi lo risolvi lì e poi lo trasformi di nuovo. E così dimostra qui: gli integrali risultano essere molto più facili una volta che Wick è stato ruotato. La sostituzione chiave è simile all’originale di Minkowski (dare o prendere alcune costanti), di solito è scritto come t = -it ‘.

Stephen Hawking e James Hartle hanno costruito questo trucco in un approccio chiamato “Euclidean Quantum Gravity”, e al tempo in cui Hawking ha scritto A Brief History of Time, era al top della mente di Hawking come una promettente direzione di ricerca, e così ha scritto un account popolare di esso nel libro. Tuttavia, l’approccio non si è sviluppato come speravano Hartle e Hawking, e la gravità quantica euclidea è ora un interesse di minoranza.

Quindi, in entrambi i casi, abbiamo un approccio matematico che è associato a un nome famoso (Einstein, Hawking), ma con un nome molto meno famoso (Minkowski, Wick) che in realtà era il suo creatore.

Un’ultima cosa che potremmo considerare: qual è il significato fisico della coordinata temporale immaginaria utilizzata in ciascun caso? È solo un trucco matematico, o c’è più significato fisico di quello?

Nel caso di Minkowski, è abbastanza chiaro che l’aspetto immaginario è solo un modo intelligente di introdurre il segno negativo necessario per la metrica – se avessimo qualche dubbio su questo, l’approccio più completo della Relatività Generale ci mostra che il segno negativo può essere raggiunto con altri strumenti matematici.

Ma nel caso della gravità quantica euclidea, Hawking ha voluto impregnare l’approccio con molto più significato. Poiché pensava che fosse possibile evitare le singolarità negli spazi ruotati di Wick con cui stava lavorando, e dedusse che avevano tanto (o persino) più significato fisico delle configurazioni dello spaziotempo con cui aveva iniziato.

Ho un po ‘di simpatia per la posizione di Hawking – in casi estremi si potrebbe difendere il significato fisico di scelte coordinate come questa, semplicemente sulla base della stabilità. Tuttavia, questo punto è ora discutibile e rimarrà tale a meno che il programma di gravità quantica euclidea possa essere rianimato.

Questa domanda è apparsa originariamente su Quora. Fai una domanda, ottieni un’ottima risposta. Impara da esperti e accedi alla conoscenza privilegiata. Puoi seguire Quora su Twitter, Facebook e Google+. Più domande:

Tempo immaginario: qual è il concetto di “tempo immaginario”?
Stephen Hawking: È vero che Abhas Mitra ha risolto il paradosso di Black Hole 13 anni prima di Stephen Hawking?
Albert Einstein: in che modo la pratica musicale di Einstein ha informato il suo lavoro scientifico?

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traduzione articolo su forbes: stop

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Direi di provare, inoltre, per chi voglia seguire la discussione, a fare una lettura del link seguente:

wiki-en:

https://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation

Vediamo di esplicitare cosa dice il link wiki:

Il teorema di Pitagora generalizzato, a 4 dimensioni, dice che

(0) (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 + (dtau)^2

se si intendono con x, y, z le coordinate di uno spazio cartesiano

dx=x1-x0
dy=y1-y0
dz=z1-z0
dtau=tau1-tau0

si intende, come TH (teorema), che la sommatoria di tali “delta” può essere indicata come “ds = s1-s0”
in uno spazio quadridimensionale.

Normalmente tale trasformazione è parametricizzata per legare la velocità della luce nel circa vuoto del nostro universo (c=1/sqrt(eps0*mu0)) con il tempo. E allora la relazione si scriverà come segue e sarà detta equazione di Minkowski.

come si vede anche al link seguente, dove “c” è normalizzato ad 1:
https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space

Esaminiamo la situazione che sia per ipotesi ds=0 nella espressione ..

(0) (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 + (dtau)^2

ne segue:

(1) 0=(dr)^2 – (dtau’)^2

(1)’ dr=dtau’

avendo sostituito le coordinate cartesiane a quelle sferiche.

(1)” dr=c*dtau”

(1)”’ dr/dtau”=c

Quindi anziché considerare tau un tempo standard, se si sostituisce tau=i*c*t

dove d(tau)=i*c*dt; i*i=-1

la (0) diviene:

(0) (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 – (c^2)*(dt)^2

oppure

(0) (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 – [d(c*t]^2

o anche

(0) (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 + [c*d(it)]^2

quindi un tempo immaginario! .. nel senso che t’=i*t; dove i^2 = -1 .

Riassumendo, non è una cosa snob, ma la necessità di legare una forma al quadrato (di tipo Pitagora generalizzato, altrimenti la relazione non è vera) con l’andamento della luce legato al tempo nel nostro universo.

Però nel fare questo con la “segnatura” che dia senso alla misura della velocità, allora, si scopre che il tempo al quadrato deve avere un valore discorde dai segni dello spazio, e ciò implica una sorta di tempo immaginario, se scorporato dalla misura dello spazio, nel senso di una dimensione autonoma, in una base ortonormale autonoma.

Ciò già ci dice che dobbiamo ricorrere ad una “forzatura” per intendere una dimensione temporale autonoma dallo spazio.

Una forzatura di provare a slegare lo spazio ed il tempo, e per di più introdurre un vincolo di asimmetria con v < c, come troverà Schwarzschild (e associata singolarità in v=c, oppure nella forma classica di descrivere un BH), se si scriverà la forma ufficiale della soluzione di Schwarzschild, e ciò altererà la proiezione simmetrica degli spazi conformi, impedendo ANCHE una soluzione diretta dal metodo tensoriale, se non introducendo una matematica dei tachioni (come da noi fatto nello studio ai link seguenti).

Abbiamo trattato di ciò nei seguenti articoli:

C’è solo da aggiungere una cosa importante: la proiezione della realtà su spazi matematici astratti NON è una cosa nuova che accade solo con Wick!

  • Tutta la trigonometria può essere proiettata sui numeri complessi che hanno la loro parte immaginaria.
  • Le funzioni esponenziali hanno il loro spazio astratto immaginario che è in corrisponendeza con la Trigonometria.
  • Le trasformate di Fuorier, Laplace sono in spazi di rappresentazione astratti tramite funzioni immaginarie.
  • Le trasformate di Dirac su funzioni di distribuzione di densità di probabilità avvengono su spazi astratti con componente immaginaria.
  • Molti altri casi di “proiezione” su spazi astratti esistono e non è il caso di citarli tutti, basterebbe ricordare il dominio dei fasori, nello studio dei motori per citare la realtà dei fenomeni, ma la astrazione del dominio di rappresentazione.

Dunque è mal posto pensare che c’è da scoprire un “tempo” con un nuovo significato nel realismo del nostro universo.

Caso mai c’è la possibilità di studiarlo in spazi astratti “storici” oppure di nuova concezione, ma sempre si tratta di processi di “proiezione” tra spazi _diversi_ di rappresentazione!

Non di meno vogliamo rinunciare a seguire questo excursus, panoramica, che l’incipit dell’articolo ci propone ..

 

Ora andiamo a un altro tema che pure Mirco Mannucci accenna:

Ovvero lo studio del tempo in MQ
(meccanica quantistica secondo la scuola di Copenaghen).

Prendiamo a riferimento la tesi di laurea seguente, che ci consente velocemente di entrare nel tema:

http://www.le.infn.it/~coriano/tesi/dellerose.pdf

Come nostro solito, per agevolare la lettura, esplicitiamo alcune assunzioni:

Nel determinismo le rappresentazioni sono equazioni di onde e materia.

Esiste un parallelismo tra i risultati del determinismo e del probabilismo: tale modalità è detta “principio di corrispondenza”.

Ne abbiamo già parlato nell’articolo seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/12/20/studio-del-mare-di-energia-di-dirac-soluzione-di-alcune-aporie-e-ossimori/

Dove citavamo che a partire dalla equazione di Hamilton (e rappresentazione della associata energia deterministica detta H) era ottenibile la equazione di Schrodinger in cui la espressione deterministica originaria era:

H = p^2/(2m) + V = (m.v)^2/(2m) = (1/2).mv^2 + U = T + V

e quindi stiamo indicando la energia totale H, di un sistema, come la somma di energia cinetica più energia potenziale, se ci riferiamo al determinismo.

Ma per introdurre le funzioni di densità di probabilità c’è un modo semplice (che poi ha anche verifiche analitiche) che le funzioni di densità di probabilità

Ψ(q,t) di occupare una posizione q, al tempo t

&

Φ(p,t) di avere una quantità di moto p, al tempo t

che godono delle proprietà ..

∫ d(q)[ΨΨ*]=1; dove d(q) è una variazione di posizione (nello spazio)

∫ d(p)[ΦΦ*]=1; dove d(p) è una variazione di quantità di moto (nello spazio).

ed inoltre:

Φ(p,t) = h^(-1/2) ∫ dq[Ψ e^(-jqp/h’)] = nella notazione di Fourier (trasformata)
= <p|X> = h^(-1/2) ∫ [e^(-jqp/h’)]dq<q|X> = nella notazione di Dirac

Ψ(q,t) = h^(-1/2) ∫ dp[Φ e^(+jqp/h’)] = nella notaz. di Fourier (anti-trasformata)
= <q|X> = h^(-1/2) ∫ [e^(+jqp/h’)]dp<p|X> = nella notazione di Dirac.

Quindi le densità di probabilità, non solo sono tali, in Ψ & Φ, e sono ricavabili in modo duale (dalle corrispondenze di trasformata e anti-trasformata) ..

ma se ne usa, in senso probabilistico, il “modulo”, ovvero la espressione:

ΨΨ* = |Ψ|^2
ΦΦ* = |Φ|^2

come si può leggere anche nel link wiki-ita seguente:

Interpretazione della funzione d’onda

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Schr%C3%B6dinger

riprendiamo ora la modalità detta “principio di corrispondenza” :

grazie ad ..

H^2=E^2 -> [ih’ ∂/∂t ( )]^2 = -h’^2 [∂/∂t( )]^2

H = -(h’/j)[∂/∂t( )]

p^2 -> [-ih’ ∇ ( )]^2 = -h’^2 [∇ ( )]^2

se sostituiamo nella espressione:

H = p^2/(2m) + V = (m.v)^2/(2m) = (1/2).mv^2 + V = T + V

ragionando come in una impostazione di “proiezione da spazio determinismo -> probabilistico” .. (ribadisco non è il solo metodo, ma stiamo usando una sorta di principio di proiezione da una spazio deterministico ad uno aleatorio) ..

otteniamo: l’operatore H^

H^ =  (1/2m) (-h’^2 [∇ ( )]^2) + V

ed inoltre:

H^[Ψ] = (1/2m) (-h’^2 [∇ (Ψ)]^2) + VΨ =-(h’/j)[∂/∂t(Ψ)]

Sul testo di Luigi delle Rose (LdR), pag.3, la espressione precedente è proprio la eq. di Schrodinger (probabilistica), avendo anche introdotto, LdR, una notazione bra & ket, inizialmente dovuta a Dirac, che nella forma

|x> si chiama ket

e nella forma

<y| si chiama bra.

Se si indaga:
https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_bra-ket

si vede che si possono esprimere in forma matriciale

  • come “vettori riga” i bra
  • come “vettori colonna” i ket

ma nel caso di numeri complessi

se indichiamo <y|=(y1, y2) se indichiamo |x>=(x1, x2)t (ovvero un vettore colonna)

allora

<y|x>=∑ (yi)* (xi) = ∑ <y|ei><ei|x> = (<e1|x>* <e2|x>) (<e1|y> <e2|y>)t

dove la notazione (e1, e2) indica i “versori” della base di rappresentazione.

https://it.wikipedia.org/wiki/Versore

La novità è che tutta la rappresentazione è poi resa ibrida per i fatto che nella teoria dei grafi, o delle catene di Markov  ..

https://it.wikipedia.org/wiki/Processo_markoviano

la probabilità di avere uno stato successivo come posizione e/o quantità di moto è detta “probabilità condizionata” se si aggiunge, appunto, come condizione di “predecessore” non di un qualunque stato iniziale tra quelli del sistema, ma uno specifico stato predecessore (oppure di più stati predecessori nel caso generale).

Dico “rappresentazione idrida” .. poiché nella rappresentazione bra & ket le linee verticali indicavano la configurazione destra o sinistra di un vettore ..

.. ma scrivendo la 1.12 LdR scrive:
http://www.le.infn.it/~coriano/tesi/dellerose.pdf

(1.12) <x2, t2|x1, t1> = U(t2, x2; t1, x1)

Quindi la notazione si discosta dalle posizione bra & ket per assumere il significato di “probabilità di transizione condizionata”, dove la condizione è .. a partire da uno specifico stato predecessore.

Difatti con il “pedice H” dalla (1.9) in poi si sta alludendo non H di Hamilton, ma ad un cambio di rappresentazione che va intesa con “H di Heisenberg”.

Nel §1.2 si calcolerà l’ampiezza di transizione (pag. 5, 6, 7)

Nel § 1.3 “interpretazione e limite classico” (pag. 7 e seguito)

[…]

Nel § 2.2 Rotazione di Wick (pag. 15)

Dunque con la “->” si sta intendendo una proiezione su uno spazio astratto che consenta una interpretazione a due variabili parte reale e parte immaginaria che poi vede una antitrasformazione nei reali tramite una riduzione dimensionale.

Faccio un esempio:

Supponiamo che un motore abbia una pulsazione w=omega.

e che la ampiezza sia A

la proiezione nello spazio reale sarà

A*cos(w*t+fi) = Re[A*e^(j*w*t+fi)]

la proiezione nello spazio complesso sarà

A*e^(j*w*t+fi)

vedi ad esempio:
https://it.wikipedia.org/wiki/Fasore

§ 2.3 Approssimazione semiclassica (pag.16)

§ 2.4 teoria perturbativa (pag. 19)

Cap. 4 “istantoni”

ovvero applicazione e utilizzo di alcuni dei concetti letti su alcuni casi particolari, dove le soluzioni sono dette “istantoni”.

Dalla tesi di laurea seguente si capisce perché si è scelto il nome “istantone”:

http://geimaxpower.altervista.org/inst.pdf

In particolare a pag. 11

si legge:

++

cit on

++

Con queste premesse introduciamo l’istantone , che è una soluzione topologicamente non triviale

alle equazioni del moto euclidee con azione finita . Il nome fu inventato da ’t Hooft per via della

somiglianza con il solitone, dato che un istantone in uno spazio n -dimensionale può essere pensato

come un solitone in uno spazio a n+1 dimensioni “spazializzando” la dimensione temporale (anche

se euclidea) dell’istantone (da cui “instant”).

++

citazione off

++

ecco una introduzione al solitone:
https://it.wikipedia.org/wiki/Solitone

riassumendo:

  • La pretesa che la quantizzazione operi lasciando indistinzione tra un quantum e lo stato successivo porta come conseguenza un “tempo a scatti”. Ciò accade anche  in alcuni modelli delle macchine sequenziali che operano e agiscono solo al clock e poi si inabilitino fino al clock successivo. E -per di più- in alcuni modelli, come in quello di Markov, ci sono più stati successivi a un singolo stato “predecessore”, e però ciascuna conseguenza (stato successivo) non è univoca, ma probabilistica.
  • da ciò nasce il concetto di soluzione “contratta” (quantizzata) come “istantone” o istantanea, o a scatti, per lo stesso fatto che “i percorsi” o le trasformazioni in un “diagramma di Feynman” https://it.wikipedia.org/wiki/Diagramma_di_Feynman sono mutazioni e trasformazioni a scatti che generano nuove particelle, e eseguono cammini di trasformazione.
  • il concetto -invece- di solitone è una soluzione anomala che sembra non rispettare alcuni concetti di dissipazione della energia, ma la cui esistibilità sarebbe giustificata da azioni non lineari non del tutto esplicite o esplicabili e svolte da un “noumeno di Kant” https://it.wikipedia.org/wiki/Noumeno simile a quello a cui si fa riferimento nella meccanica quantistica quando -per giustificare ad esempio le particelle virtuali- si invoca la emergenza dal cosiddetto “vuoto quantistico” che però non sarebbe vuoto poiché vi emergono enti, sebbene virtuali.

per ulteriori informazioni si leggano le dispense seguenti in particolare a partire dal capitolo 2:

http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/web_disp/d3/dispense/DegasperisFisTeo.pdf

Come consiglio divulgativo si veda il seguente articolo di Le Scienze:

http://www.lescienze.it/news/2002/07/22/news/i_solitoni_onde_quantistiche_di_materia-589325/

In particolare laddove dice:

++

cit on

++

Normalmente un’onda, che sia formata di luce o di atomi, tende a sparpagliarsi man mano che si propaga. Questo non è vero per le onde dei solitoni, che mantengono perfettamente immutata la propria forma.

++

cit off

++

Commento conclusivo:

Sono sbalordito della quantità di “cattedrali di matematica” costruite per cercare di capire alcune anomalie sia di origine quantistica (come nel caso degli istantoni), sia per lo  studio delle onde nei casi non lineari (come nel caso dei solitoni).

La questione è che tali difficoltà, a mio avviso, sono causate dall’essere inadatta la matematica del continuum e quella quantistico/indeterministica per una analisi di ordine superiore.

Rinvio quindi chi volesse verificare che vi sono altri scenari che ipotizzano un mix materia/energia non come fenomeni separati, ma come fenomeni concomitanti, ai miei articoli che ne trattano ed in particolare il seguente:

https://6viola.wordpress.com/2017/12/20/studio-del-mare-di-energia-di-dirac-soluzione-di-alcune-aporie-e-ossimori/

ultima versione:

11 aprile 2018, ore 17.07

 

 

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