dynamics of the Einstein Equations with variable mass = mr [general solution]

Nel nostro precedente articolo(*) ci siamo occupati di rappresentare la soluzione di Schwarzschild nel caso di uscita radiale da una stella, (il Sole), nelle ipotesi seguenti:

  • “particella massiva a v=0.998*c”
  • direzione “normale” alla sfera della stella

(*) link del precedente articolo:
https://6viola.wordpress.com/2018/01/23/dynamics-of-the-einstein-equations-with-variable-mass-mr-geodesic_eq-_k_fermat-solution23-1-2018/

Se non avessimo utilizzato la forma k_Fermat (di Tufano), non avremmo potuto descrivere che i protoni, o altre particelle massive, potessero uscire dalla stella, poiché lo status di “massa massiva” a velocità -quindi- bassa avrebbe fatto ricadere le piccole masse sulla stella.

Tuttavia, l’uscita “perfettamente” normale, anche detta da noi “radiativa”, poiché è sulla retta del raggio che unisce il centro della Stella ad una qualunque direzione, purché l’angolo rimanga fisso, è un caso ideale ..

 .. nel caso reale, più frequente, esisterà sia una componente perfettamente normale e una componente perfettamente tangenziale che realizzerano un mix (variamente ponderale) da cui l’uscita sarà non perfettamente radiativa.

Nel caso reale -da un punto di vista della matematica- per il calcolo delle variabili k_Fermat non sarà sufficiente l’utilizzo delle coordinate polari, come già descritto nel su citato articolo, e che ripetiamo per comodità di lettura:

k = sqrt(kQ)

kQ= 1-rpunto1^2/cQ

cQ=c*c

c=velocità della luce.

Il link, “storico” (propedeutico), della trattazione Amadori Lussardi è il seguente, ma non mostra la forma in interim, dei coefficienti k_Fermat, ma solo la situazione di massa zero dei fotoni (pag.106 Cap.4):
https://www.matematicamente.it/category/appunti/relativita/

Alla forma k_Fermat abbiamo provveduto quindi noi, ed alcune dimostrazioni sono indicate qui:
https://6viola.wordpress.com/2017/07/23/k_fermats-geodesic_equations-mathematical-proof-6-7/

Si noti che, allora, nella elaborazione software, quindi alle differenze finite, rpunto1 è calcolato come segue:

rpunto1 = rpunto0 + rduepunti0*ds
r1 = r0 + rpunto0*ds

Quindi è una costruzione della velocità in coordiante polari che sarebbe incompleta se non calcolasse anche ..

fi1 = f0 + fipunto0*ds
fipunto1 = fipunto0 +fiduepunti0*ds

Poiché nel caso “radiativo” l’angolo non varia (in ipotesi di azione gravitazionale solo afferente dalla stella di origine), la informazione completa ricostruibile con fi sul piano e anche con teta nello spazio non ci serve(°).
(°)
“non ci serve” .. per il calcolo di rpunto, nel caso “radiale”, quando rpunto è la velocità della particella_pseudo_fotonica (con massa ponderale, mp, diversa da zero) aggiornata man mano che varia sia per lo spazio percorso, e anche per l’azione dei campi che agiscono sul moto della “particella”.

Però nel caso in cui “il vento fotonico” della stella da cui emerge la “particella”, (la supporremo anche qui -inizialmente- per esempio v=0.998*c), la faccia emergere secondo una angolo tale da non imporre un moto perfettamente radiativo, ci possiamo domandare:

come calcolare k, kQ?

a cosa si riferisce, con v, la formula di Lorentz quando scrive:

kQ = 1-v^2/cQ (meglio kQi = 1-vi^2/cQ)

k = sqrt(kQ) [meglio ki = sqrt(kQi)]

essendo

(0) t=tau/k (Lorentz)

Nel nostro caso

(1) (t-t0)=(tau-tau0)/k [meglio ti-ti0=(tau_i – tau_i_meno1)/ki]

(2) t1-t0=ds/k [si noti che porremo ds=costante nel software tale che il campionamento temporale del sistema remoto sia con confinamento dell’errore sufficiente]

infatti

(3) t1 = t0 + tpunto0*ds

dunque uguagliando la (3) & la (0)

(4) tpunto0*ds=ds/k

tpunto0=1/k

[meglio tpunto_i=1/ki,
poiché la deformazione del tempo in locale varia al variare della v]

Abbiamo allora voluto studiare (si vedrà ciò nel software come output) non solo la velocità radiale e tangenziale, di un ente(@) , per raggio costante (che è il caso delle condizioni iniziali quando r=r0), ma ANCHE nel caso generale.
(@)
(sia esso, ente, il fotone o la particella radiale con massa diversa da zero)!

Se fossimo su una retta x avremmo:

v=(x2-x1)/ds =rpunto1 (ip emersione radiale)

Quando però l’uscita dalla stella, o da un BH, fosse tangenziale?

Nel caso di uscita da una stella, l’azione del campo gravitazionale -della stella- ha poco effetto su la particella nel descrivere una “orbita” che non sia una retta a 90° rispetto  all’asse x, pensato orizzontale, se la emersione è tangenziale alla sfera della stella, dalla corona, nella fase iniziale.

Successivamente si “osserverà” (anche dall’output della nostra trattazione software) un andamento dei fotoni o delle particella ancora ad alta velocità di tipo “antigravitazionale”, ovvero ad assumere un andamento a “coda di cometa” rispetto alla stella.

Esaminando il caso di un BH la deformazione orbitale è notevole, e tanto maggiore quanto più il fotone è vicino al BH(§).
(§)
Nel caso di rg+epsilon: addirittura il fotone compie una orbita completa  quasi circolare, e poi (con ulteriori giri) (a secondo di quanto è vicino a rg) si allontana in modo radiale.

Ecco una foto di cosa succede (caso bi-dimensionale) nell’articolo pure citato al link seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/08/08/quantum-in-general-relativity/
La figura, nel caso del BH, con moto tangenziale a 3*rg:

Ecco cosa succede (caso tri-dimensionale) nel caso di rg+epsilon con emersione ad 1° grado dai poli:
https://6viola.wordpress.com/2017/11/23/relativistic-plasma-jets-in-black-holes-mathematics/

Commento 30 gennaio 2018:

Dunque, si arriva alla conclusione che a noi manca il calcolo di una tipologia di velocità che non è necessariamente rpunto, poiché sarà rpunto solo nel caso radiale.

def.1:

Sia

v, velocità del fotone (che vorremmo istantanea).

Nel caso della elaborazione alle differenze finite, v, sarà -invece- “circa istantanea”, e cioé approssimata con “la distanza percorsa, sia d, tra la posizione precedente e quella attuale“, diviso “il tempo di campionamento, ds“.

La formula della distanza tra due punti, su un piano (con analoghi ragionamenti possiamo formulare nello spazio tridimensionale), sarà la seguente:

def.2:

d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]

oppure per rispettare le convenzioni Amadori Lussardi

d = sqrt [(x1-x0)^2 + (y1-y0)^2]

ed in coordinate polari

x1=r1*cos(fi1)
x0=r0*cos(fi0)

y1=r1*sin(fi1)
y0=r0*sin(fi0)

more info:
http://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-analitica/426-distanza-tra-due-punti-nel-piano.html

Nella matematica, secondo la soluzione di Schwarzschild, modificata k_Fermat, però noi non abbiamo le coordinate cartesiane, ma quelle polari.

dunque la formula si modifica come segue:

def.3

dp = sqrt{[r1*cos(fi1) – r0*cos(fi0)]^2 + [r1*sin(f1) – r0*sin(f0)]^2}

v=dp/ds

cvd.

Ora abbiamo tutto quello che ci serve per sperimentare con simulazioni software se quanto abbiamo scritto è confermato dalla dinamica delle equazioni del software.

Commento 21 febbraio 2018:

Anticipo un commento a ciò che si può vedere dall’output del software:

Si è trovato che le deformazioni chiedono una “costruzione del k, kQ” tramite la rpunto.

Poteva sembrare più logica la dipendenza dalla v=dp/ds, come appena sopra descritta!

Ma se ci si riflette la variazione della luce o di particelle a velocità di poco inferiore, tendono a mantenere la loro quantità di moto. Ed anzi la convertono da componente tangenziale a componente radiale in breve tempo, lasciando la v=vtot=circa costante, tanto che -notoriamente- e su brevi distanze la luce è considerata essere una velocità costante.

Ma, come mostra il redshift, la luce è un mutaforma c=lambda/T=lambda*f

da cui la costanza è originata dalla tipologia della misura che mentre espande il raggio espande anche l’intervallo su cui si misura l’onda associata.

Non così sarebbe se si misura rispetto ad un intervallo di tempo costante (ds nel software: e indicato da rpunto=dr/ds che si vede essere variabile ed in leggera accelerazione, anche misurabile su rduepunti).

Inoltre la deformazione oltre che alla densità del cosmo, a nostro avviso, dipende dalla azione non locale dell’azione globalista: infatti essere dentro una “bolla gravitazionale” da una diversità di topologia non nel caso di stesso raggio, ma di variazione del raggio della sfera della bolla gravitazionale.

Da cui nel prossimo articolo sposteremo tutto l’impianto attuale sulle dimensioni di U1, il nostro universo, per mostrare che il software va migliorato nel modo indicato nell’ultima variante qui pubblicata il 21.02.2018. (si veda il seguito).

Nello studio dei valori di k, kQ .. inoltre:

Come abbiamo già trovato nelle simulazioni del viaggio di un fotone nel cosmo, se non utilizziamo la forma k, kQ, la matematica non avrà singolarità, poiché k, kQ vanno in modalità di singolarità a causa del fatto che k è la radice quadrata di una quantità che non può essere negativa.

Però la kQ può divenire di argomento negativo laddove v > c, e se si misura la velocità della luce si troverà ..

in specie (ma non solo: poiché un leggero incremento di velocità si ha anche in modo radiale come vedremo in N1-software) nella emersione tangenziale da una stella (o BH)..

.. che il fotone o simil_fotone (particella a v=0.998c) devono esprimere un leggero superamento della velocità della luce(!) (rif. nel caso della emersione da una stella), per vincere le forze gravitazionali, e un comportamento molto più forte (di tipo tachionico) per realizzare la emersione da un BH.

Si noti che se non esistono i coefficienti parametrici k, kQ, non c’è modo di accorgersi dalla singolarità di k, kQ che v > c, se non esaminando l’output che è in leggero aumento –nella velocità misurata con rpunto– se non andando a leggere la velocità all’aumentare del raggio!

Inoltre la rs andrebbe computata (se per grandi distanze: grandi quanto tutto U1, il nostro universo) anche con la formula estesa rs=G*(M+M_ADD)/c^2; in cui per i fotoni radiali si semplifica il 2, e si aggiunge M_ADD, causato dalla massa distribuita.

Dunque l’uso del modello di Einstein/Schwarzschild diviene singolare, nella forme Ni-esime, non in generale, (se si rinuncia a k, kQ il modello non è singolare) .. ma “singolare” .. quando si introducono i termini k, kQ.

Come modificare il modello in modo da eliminare il comportamento singolare?

Typ1

Una prima soluzione è calcolare k, kQ, nell’intorno iniziale del moto che sarà v < c, prima della emersione e lasciare k=k0, kQ=kQ0. In tale impostazione le deformazioni spazio temporali sono ugualmente attive sul moto, e terranno conto del carattere massivo della particella che sia inizialmente v < c poiché diviene totalmente senza massa solo quando raggiunge la velocità della luce.

Typ2

Una seconda soluzione è “alzare” il valore max della velocità della luce ad una valore che la “particella” NON raggiunge quando non si usano k, kQ, che normalmente Einstein/Schwarzschild pongono k=kQ=1, (se v << c) .. oppure (nella forma di Fermat su Amadori Lussardi) troviamo k=kQ=0 studiando direttamente solo il comportamento della luce essendo k*rpunto=0, e quindi si può studiare il fenomeno senza singolarità per stimare la v=vmax della luce.

Typ3

Una terza soluzione, da noi adottata, è calcolare k, kQ, con le condizioni iniziali, come in Typ1, e mettere un if logico nel software: se v > c non si abilita l’aggiornamento di k, kQ. Se  v < c si abilita l’aggiornamento. Tale tipologia non si innesca nei casi molto massivi, mentre si attiva nei casi “dubbi” che possono essere ulteriormente “normalizzati” notando che i k, kQ sono rimasti fissi alla inizializzazione standard.

Typ4

Commento 31.1.2018: Il problema della singolarità, in vero, è che ad una certa velocità typ della nostra bolla gravitazionale, come universo U1, la materia arrivata “alla velocità della luce” NON si gonfia di massa come sembrerebbe dalla energia cinetica relativistica, essendo: Ec=(m-m0)c^2; m=m0/sqrt(1-v^2/c^2) poiché invece è la energia cinetica che aumenta. La massa? m0 si “trasforma” da massa massiva vs massa totalmente “radiativa” come compare nella formula di Einstein energy= m0*c^2. Ciò significa che k=kQ=0 assumono la forma di Fermat “pura” quella che è quella che descrive non più particelle massive almeno tali, ma solo “energetiche”. Quindi esiste (arrivati a v=c) una forma di Fermat che è in grado di descrivere la “misura” della dinamica anche se v > c. La v, con v > c sarà misurata -al solito- da rpunto(t), ma anziché mettere k, kQ uguali a k=k0, kQ=kQ0 che erano circa zero, necessiterà porle esattamente uguali a zero! (°)
Nel software, quando l’output ci restituiva “NAN” e cioé valore non calcolabile, abbiamo inserito il testo seguente:


if ($kQ < 0) { $k=k0; // in genere circa zero se v -> c
$kQ=kQ0; // in genere circa zero se v ->c
}

che va modificata come segue, ciò sarà nel software N9 e seguenti:
(di prossima pubblicazione)

if ($kQ < 0)
{
$k=0; // ciò origina che le equazioni in t non vengono più usate.
$kQ=0; // ciò origina che le equazioni in t non vengono più usate.
}

Si sarebbe potuto capire(1) .. questa relazione tra fisica & matematica,  ANCHE da un’altra via LOGICA: perché è sempre la matematica che si “piega” alla _FISICA_ per non raccontarci FANTASIE ..

Si sarebbe potuto capire(2) .. dal fatto che l’intervallo di campionamento – ds – che genera una singolarità, la genera perché ci approssimiamo con un intervallo di ds troppo ampio.

Se avessimo provato a “ridurre l’intervallo di ds”, quando si lavora alle differenze finite (con il software che segue), ci saremmo accorti che (diminuendo ds) -allora- k, kQ -> 0, anziché andare subito in singolarità di avere una quantità il cui quadrato sia negativo, e quindi numeri immaginari.

Ossia che il dominio, “noi a cavallo di un fotone”, non è più rappresentabile nella nostra dimensione, quando v=c, qualunque sia c.

Tale effetto di “saturazione”, TUTTAVIA, non impedisce né che v raggiunga c, e né che v superi c, anche dentro le equazioni di Einstein “classiche” (che nella forma di Fermat per i fotoni sono elencate anche da Amadori Lussardi), purché si continui a misurare v con rpunto, tenendo conto che rpunto è la variazione del raggio, della punta del raggio, rispetto al centro della stella, rispetto al suo predecessore, e quindi anche della particella che quando v=c si è “trasformata di status” a essere da materia vs energia, quindi con massa massiva = 0.

La modifica software che aggiungeremo a quelle già pubblicate e che sarà quindi N9, ci consentirà la “misura”, ora in N9, dell’orbita di un “fotone” superluminale e tachionico, rispetto alle altre forme di rappresentazione che abbiamo già elencate. I grafici e le basi di dati saranno aggiunti nei prossimi giorni.

Commento (2 febbraio 2018):

C’è un altro effetto della fisica che risulta evidente dalle nostre simulazioni, già dallo scorso articolo a quello attuale:

Una particella che sia un simil_fotone, e cioé che viaggia a v=0.998*c, impiega circa 490 sec per partire dalla superficie del Sole (corona solare) e giungere a noi.

Misuriamo tale tempo tramite il clock scandito dalla variabile (alle differenze finite) ds=1 sec.

La velocità è circa quella di c=spazio_TerraSole/tempo_impiegato=3E8 metri/sec.

alla velocità suddetta dt=circa (1/k0)*ds=15*1sec

e cioé il tempo in “t” si espande di 15 volte.

Rispetto a cosa si espande?

  1. Il soggetto della frase è sempre l’ente che viaggia.
  2. l’ente potrebbe viaggiare a v=0.998*c e allora impiega circa 490 sec per percorrere la distanza Sole vs Terra.
  3. l’ente potrebbe viaggiare a v=(0.998*c)/15 e allora impiegherebbe (490 sec)*15 per percorrere la distanza Sole vs Terra.
  4. quindi nella LOGICA gemello giovane e gemello vecchio di Einstein: c’è un errore! la misura “dell’invecchiamento” dell’orologio che viaggia non va confrontato con il gemello che è rimasto sulla Terra, ma con lo stesso ente (simil_fotone) in due casi distinti adempiuti nello svolgere lo stesso compito (percorrere una certa distanza).
    • se si misura la vita dell’ente nel percorrere la distanza (Terra Sole) alla velocità v1=0.998*c si potrà dire che tale gemello1 veloce è campato 490 sec per effettuare tale task.
    • se si misura la vita dell’ente nel percorrere la distanza (Terra Sole) alla velocità v2=(0.998*c)/15 si potrà dire che tale gemello2 lento è campato 490_sec*15 perché viaggiava la v2=v1/15.
  5. Naturalmente quando v << c .. una bassa velocità dell’ente che viaggia è paragonabile al fatto che sul pianeta Terra si può porre v= circa zero come sistema di riferimento tra le velocità del gemello lento e del gemello veloce. Ma non è corretto dire che la comparazione avviene tra il gemello restato sulla Terra e quello che si è allontanato dalla Terra con velocità v > 0, poiché la comparazione andava esplicitata tra il primo caso in cui lo stesso viaggiatore prima viaggia a bassa velocità e poi viaggiasse ad alta velocità, e le misure sono su due enti diversi in quanto usano 2 velocità diverse ma sullo stesso ente in quanto viaggiatore. Va aggiunto infine, che un sistema che viaggi a v=v0 misura la sua velocità “v0” sempre rispetto ad un sistema di riferimento “esterno” al suo stesso moto!
  6. Quindi ciò significa che sia il tempo scandito su un viaggiatore lento (in t) e sia su un viaggiatore veloce (in s) sono misurati rispetto a _noi_, anche se su “luoghi” diversi (il primo luogo è l’ente veloce, rispetto a noi, e il secondo luogo è l’ente lento, rispetto a noi).
  7. Da cui se ci chiediamo a chi si riferisce l’output del software che mostra
    • sia un tempo s=490 per percorre la distanza Terra Sole
    • sia un tempo t=490*15 per percorrere la distanza Terra Sole
  8. Va capito che la cronologia in “s” oppure in “t” descrive lo stesso ente che percorre la distanza Terra Sole, ma nel primo caso con v=0.998*c, e nel secondo caso con v=0.998*c/15.

software:

Aggiornamento: 22-02-2018, ore 00.03:

Segue il software in una nuova versione che conferma la trattazione attuale, ma mancava -la versione precedente- di alcuni parametri che ho provveduto a includere.

In particolare si tratta anche della questione di rpunto0 in fase di inizializzazione: infatti dovrebbe rispettare r1=r0 + rpunto0*ds

Ma la relazione precedente nasconde che esiste anche la relazione ulteriore:

rpunto1=rpunto0 + rpduepunti0*ds

Porre quindi rpunto0=0 & lasciare che sia rduepunti0, tramite ds, a controllare la “dinamica della risposta libera” in cui -nella fase iniziale- abbiamo la velocità tutta caricata sulla componente tangenziale all’orbita ..

.. consente di “osservare” meglio e con più precisione la “risposta libera” del sistema.

Infatti ..

  • se la particella è sufficientemente massiva cadrà sulla stella che la ha emessa.
  • se la particella NON è sufficientemente massiva tenderà ad avere un comportamento antigravitazionale. (vedere la figura in fondo a questo articolo).

 

software N10-prima-parte:

 

software N10-seconda-parte:

 

Commento del software qui sopra (N10) :

v0=v_TG0=0.01*c (quindi particella molto massiva) (l’orbita è anche nel grafico in fondo all’articolo attuale)

Come si vede dal grafico la v0 non è ancora sufficiente a fare cadere la particella sulla stella (il Sole).

software N11-prima-parte:

 

software N11-seconda-parte:

 

Commento e output del software qui sopra (N11) :

v0=v_TG0=0.001*c (ho ancora incrementato la massa della “particella”: in quanto la teoria di De Broglie prevede una massa massiva in aumento se v diminuisce)

Finalmente grazie la bassissima velocità abbiamo la “caduta” sul Sole.

 

Una foto che racconta della “nuda veritas di Klimt” (quale è la vera verità?)

ultima versione 22-2-2018, ore 00.04

Nota Bene: sono state apportate (in questa ultima versione) alcune modifiche al software.

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