NEWS: Conjugate variables in quantum field theory [Compton_scattering]


(The answer, my friend, is blowin’ in the wind) Bob Dylan (Blowing in the Wind 1962)

Estremamente interessante l’argomento delle variabili “coniugate” nella teoria quantica, ma spesso un argomento sottovalutato nelle sue premesse di studio delle condizioni al contorno.

Nell’articolo seguente, ci occuperemo sia di teoria della misura, e anche del concetto di “scattering” https://it.wikipedia.org/wiki/Diffusione_ottica ed in particolare nella forma di Compton: https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Compton

Troveremo molte cose notevoli, poiché non era mai stata esplorata la ipotesi che la materia potesse essere contemporaneamente materia ed energia, secondo il modello da me formulato per la materia sub_atomica E_micro_sys = Er + Ep.

Ma poiché io sono interessato a illustrare in modo che tutti coloro che ANCHE abbiano poche conoscenze di fisica possano seguire, oltre che illustri colleghi che ringrazio della lettura ed di eventuali segnalazioni/osservazioni in merito al presente articolo, procederò introducendo l’argomento in modo molto elementare, indicando dei link per chi voglia more info ..

@   @   @

SUL CONCETTO DELLA TIPOLOGIA DEL TIPO DI RELAZIONE tra materia & energia:

§1. Introduzione alla teoria della misura

Lo stato attuale della scienza considera la posizione degli enti e la velocità due grandezze *coniugate*, ossia relazionate:

Ciò, -L’ESSERE CONIUGATE (per la posizione e la velocità di un ente)- discenderebbe dal semplice fatto che se un ente cambia di posizione, allora, individua anche la sua velocità essendo la posizione e la velocità legate dalla seguente relazione quantizzata dal punto di vista della misura, poiché l’intervallo di campionamento non potrà che essere maggiore di zero, e quindi t2=/=t1 :

v = [x(t=t2) – x(t=t1)]/[t2 – t1]

se la velocità è misurata in un intervallo molto piccolo tale che il “delta temporale” sia un “t+epsilon” molto basso, allora, in ipotesi di considerare “t+epsilon”=circa t, avremo:

v(t)=d/dt [x(t)] (quando epsilon -> 0)

Dove, quindi v -de facto- (sperimentalmente) è una differenza rispetto all’intervallo di tempo in cui si prelevano i “campioni” x(t2), x(t1), diviso l’intervallo di tempo. Da cui la velocità della luce risulta:

c=lambda/T=lambda*f

Oppure, l’intervallo temporale può essere fisso, come nelle equazioni di Einstein, quando si misura rpunto(t).

Sulla luce come “mutaforma” rinvio al mio articolo:
https://6viola.wordpress.com/2017/11/05/light-shapeshifter/

Ancora diverso è il concetto di velocità media:

v_m=[v(t2) + v(t1)]/2

Ma si capisce che nella _fisica_ serve almeno un intervallo di tempo per misurare se la posizione è confermata, e quindi posizione e velocità sono in una “biiezione”:
https://it.wikipedia.org/wiki/Corrispondenza_biunivoca

Infatti

.. se si modifica (nel tempo) “la posizione di un ente” sia x(t), in t2=/=t1, Dx=x(2)-x(t1) come variazione, allora, avrò una variazione costante, di x(t), nel tempo, oppure mutevole (al variare di t): cioé Dx=costante, Dx=variabile.

oppure

.. se si modifica (nel tempo) “la velocità di un ente”sia v(t2, t1)=[x(t2)-x(t1)]/[t2-t1], v=Dx/Dt, allora, ciò si reverbera sulla posizione (sulla tipologia di variazione della posizione): cioé Dt=costante, Dt=variabile e ciò si proietta in Dx/Dt=v.

Per chi volesse vedere un dettaglio di come il concetto di “variabili coniungate” (q,p) sono introdotte dalla scuola di Copenaghen e quindi portano alla equazione prima di Erwin Schrödinger con la sua celebre equazione aleatoria, ma non relativistica, e poi alla equazione di Hamilton, studiata in modo non solo relativistico, ma anche aleatorio da Dirac, consiglio il seguente testo universitario disponibile on line, sia nel capitolo 1 che nel capitolo 2.

cap.1: Lagrange
http://www.mat.unimi.it/users/carati/didattica/dispense/lagrange.pdf

cap. 2: Hamilton
http://www.mat.unimi.it/users/carati/didattica/dispense/hamilton.pdf

 

Da quanto sopra quindi risulta che per circa 100 anni, la fisica si è chiesta ..

  • tramite gli studi della scuola di Copenaghen, con impostazione di aspettarsi un comportamento kaotico,
  • e della scuola deterministica, con impostazione di aspettarsi un comportamento coerente al principio di “causa ed effetto” ..

se la soglia di errore di misura, in particolare con Heisenberg, potesse avere un limite invalicabile .. agli avanzamenti ulteriori della scienza.

Ed Heisenberg individua questo limite nella sua ben nota relazione in cui interviene una produttoria, ossia una moltiplicazione tra la incertezza min di determinazione della posizione, sia Dx, e la incertezza min di determinazione della velocità, sia Dv.

In questa impostazione, indeterministica, Dx & Dv, però, non è più una differenza tra valori noti, ma una distanza tra il valore vero e la lettura incrementata da un errore additivo o sottrattivo:

x(t0)  – Dx < x(t0) < x(t0) + Dx

v(t0) – Dv < v(t0) < v(t0) + Dv

Per i corpi che hanno una massa usando p=m*v avremo Dp, anziché Dv:

p(t0) – Dp < p(t0) < p(t0) + Dp

Ed inoltre nel caso di massa variabile con la velocità un ulteriore problema di indeterminazione della massa che ha due comportamenti:

  1. se m è sottoposta ad una velocità prossima alla velocità della luce si comporta come una “massa cinetica“, m, nella seguente espressione:
    Ec = m*c^2 – m0*c^2 dove m=m0/sqrt[1-v^2/c^2]
    E =  Ec + m0*c^2 = m*c^2; poiché si può dimostrare che E = Energia totale:
    https://6viola.wordpress.com/2017/12/01/e2-m0c22-pc2-news/
    quindi nella espressione “classica_relativistica”, la massa m “memorizza” l’aumento delle energia applicata al sistema totale.
  2. se m è sottoposta ad una velocità prossima alla velocità della luce, ma nelle espressioni suddette, si comporta come una “massa cinetica” come nella espressione precedente, ma INVECE se indichiamo con “m0”:
    E_micro_sys = Er + Ep = mr*c^2 + mp*c^2 = m0*c^2;  avremo:
    E =  Ec + m0*c^2
    E = Ec + E_micro_sys; dove E_micro_sys=m0*c^2

Quindi vale ancora la teoria “classica_relativistica”, ma non è applicabile al mondo sub atomico, che è visto nella espressione classica_relativistica solo come totalità m0*c^2, mentre ad un “esame con cambio di scala”, si osserva una partizione delle energia totale (relativa alla sola massa a riposo: m0) in energia di tipo radiativo, ed energia di tipo massivo, anche detta “energia potenziale”, associata -quindi- a mp, in Ep.

Più dettaglio su questa impostazione nei due articoli:
https://6viola.wordpress.com/2017/12/01/e2-m0c22-pc2-news/
https://6viola.wordpress.com/2017/12/06/nuova-equazione-della-energia-totale-relativistica-e_microsys/

Svilupperemo questo argomento, da un punto di vista delle conseguenze sulla teoria della misura, qui di seguito.

§.2 Relazione tra la incertezza di posizione e quantità di moto di Heisenberg

Scrive il fisico Mason ..
http://spiro.fisica.unipd.it/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=12&Itemid=95

quindi se

Delta p (min) = circa m*c; dove m=massa del fotone prima della trasformazione.

essendo p=m*v
infatti se “illuminiamo” una misura con un fotone, allora, p=m0*c.

Inoltre grazie a De Broglie:

lambda=h/(m*v) ipotesi v < c

lambda=h/(m0*c) ipotesi v=c

lambda=circa h/(m0*c)=circa la distanza min=Delta x

Da cui riferendoci ad un solo asse cartesiano:

(Delta x)*(Delta p) = [h/(m0*c)] * (m0*c) = h

Ed è questa la notazione, Dx*Dp=h, al link seguente (ottenuta tramite un procedimento diverso da quello sopra indicato):

fonte:
https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg

{\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\,\simeq \,{\frac {\lambda '}{2\,sin\theta }}\,\,{\frac {h}{\lambda '}}\,2\,sin\theta \,\simeq \,h}.

come pure nella formulazione di Dirac sul testo:

“I principi della Meccanica Quantistica”, pag 135, Ed Boringhieri.

Altri autori (ad esempio Landau), in ipotesi di errore di misura di tipo gaussiano, trovano ancora un errore max dell’ordine di h.

Se si assume una distribuzione Gaussiana, troviamo su Landau, Volume 3, pag.47, 48 “Course of theoretical physics” (terza edizione).

circa h’/2=[h/(2*pi)]/2

fatto sta che la energia minima si teorizza essere quella di un fotone:

E=energy = h*f =m0*c^2
c=lambda/T=lambda*f
p=E/c=m0*c^2/c=m0*c

Ma vogliamo mostrare che, anche con v < c, la misura converge ad h:

da cui se lambda è (grazie a De Broglie):

mr=h/(lambda*v) anche con v < c;  (mr=massa radiativa)(*)
(*)
https://6viola.wordpress.com/2017/12/06/nuova-equazione-della-energia-totale-relativistica-e_microsys/

[Dx*Dp]min=[D(lambda)*Dp]min=lambda*mr*v=lambda*[h/(lambda*v)]*v=h

E anche con questa impostazione “sulle masse di De Broglie con v < c” ..

riotteniamo ancora una conferma che

[Dx*Dp]min = circa h

Tale risultato quindi è uno “stato limite” discendente principalmente da

energy = h f = m*c^2 come energia totale, quando il “quantum” è il fotone:

  • sia che si consideri una massa ancora massiva, sia che si consideri completamente radiativa, e anche nei casi intermedi.
  • sia che si consideri la quantizzazione delle orbite sul quantum minimo che è il fotone, per la tecnologia attuale.

Tuttavia non solo la MQ (Meccanica Quantistica di Copenaghen) si interessa della teoria degli errori, ma anche, e principalmente, la teoria della rappresentazione numerica che studia l’errore detto di quantizzazione .. e individua -la teoria della rappresentazione numerica- non solo la dipendenza della rappresentazione dal “quantum minimo di rappresentazione” ma anche la “potenza di errore” sulla rappresentazione dei dati in dipendenza dall’ordine di grandezza del quantum minimo, in questo caso detto digitale(*).
(*)
Sul testo “Digital Signal Processing” (di Oppenheim Schafer), ad esempio, nella versione italiana “Elaborazione Numerica dei Segnali”, edizione Franco Angeli 1985, si trova a pagina 434-448 capitolo 9 sotto il titolo:

“EFFETTI DELLA LUNGHEZZA FINITA DEI REGISTRI NELLA ELABORAZIONE NUMERICA”

more info, grazie ad un mio articolo al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/10/07/quantum-minimum-out-of-mq-theory/

Quindi non siamo affatto contrari a dire che è vera la soglia di Heisenberg come *intrinseca* “a una misura che diviene aleatoria se scende sotto un quantum minimo che è per la indagine nella MQ il quantum fotonico”: poiché si perde sotto un qualunque quantum min (che non abbia sub quanti) la capacità di “osservabilità”.

Ciò che è invece da rigettare è che “il quantum  minimo fotonico non sia ulteriormente riducibile” ..

  1. grazie al fatto che  .. la sensibilità di misura in cui la posizione di una particella sbilanci un ponte di misura (i.e.: uso delle cavità risonanti: vedi @ qui di seguito) può essere inferiore al quantum min. Poiché lo sbilanciamento posizionale, se esce dal punto di equilibrio, ***viene amplificato dal ponte di misura*** grazie ad “energia di amplificazione per il segnale di test” che non è proveniente (la energia di amplificazione) dal sistema sotto misura (che introdurrebbe una perturbazione distruttiva), ma dalla energia che alimenta il ponte di misura. (E’ la tecnologia che -in specie nell’elettronica- usa il concetto di transistor, o gli operazionali, in cui un infimo segnale di input viene amplificato grazie alla base del transistor come delta, ma il “y=f(x)=output=A*delta” è fornito sul collettore del transistor e alimentato da energia prelevata separatamente, detta di “alimentazione” del dispositivo.
  2. grazie al fatto che .. esiste una legge che lega velocità e posizione .. da cui la misura per la posizione in t=t1 non va ripetuta in t1, ma in t=t2=/=t1, e quindi in un diverso intervento sempre posizionale e quindi basterà un SOLO “delta posizionale”(Dx) per individuare sia la variazione di posizione e poi ***solo ANALITICAMENTE*** dalla legge che lega velocità e posizione DEDURRE LA velocità: senza dovere introdurre una nuova perturbazione per introdurre un nuovo errore di misura.
    (@)
    sulle cavità risonanti:
    https://arxiv.org/pdf/1311.3625.pdf

Quindi, esplicitato tutto L’IMPIANTO DI TEORIA DELLA MISURA SOPRA ESPOSTO:

.. “non ci sono necessariamente due incertezze il cui prodotto espande il delta di errore!”, ma una sola misura ripetuta in “tempi separati”=ti, (ti=istanti i-esimi di tempo separati), o per misurare la posizione o per misurare la velocità, proprio perché le variabili sono coniugate! .. oppure potremmo dire “duali”, nel senso che le modifiche su una spazio di misura si proiettano sullo spazio duale.

Si noti che ciò non trova obsoleta la trattazione della MQ di Copenaghen nella possibilità di dedurre (q,p) l’una dall’altra!

Poiché, già storicamente, è inutile cercare la densità di probabilità di entrambe (q,p), se si dispone della densità di probabilità di una sola delle due! E diciamo “densità di probabilità” riferendoci alle funzioni in spazi di Hilbert che vanno elaborate sotto il segno di integrale per avere un range in cui si calcola la probabilità che un evento sia in quel range, come è procedura storica del calcolo della probabilità anche in ambito Copenaghen, oltre che di studio delle sorgenti aleatorie della teoria dei segnali indeterministici.

Ciò che ha complicato -finora- l’analisi dei segnali sotto la scala dell’atomo è l’ulteriore problema che p non è solo funzione della velocità ma anche della massa.

Infatti la definizione della MQ di Copenaghen è

p=mv=[m0/rad(1-v^2/c^2)]*v

ma ciò non è vero in generale, ma solo per la fenomenologia di accelerare una massa m0 grazie ad un campo esterno alla particella, m0 = massa a riposo, e supponendo che m0 rimanga massiva finché sia inferiore alla velocità della luce.

VICEVERSA, grazie a De Broglie sappiamo che:

mr=h/(lambda*v)

ossia che esiste una massa (definibile come “radiativa”) legata alla velocità della particella e, quindi, dipendente dalla velocità.

e, grazie a Tufano sappiamo che:

mr = m0[1-sqrt(1-v^2/c^2)]

che è zero se v=0

che è m0 se v=c

Quindi nota che sia, grazie a Tufano, la mr associata ad una velocità, De Broglie ci dirà la lambda associata emessa dalla parte radiativa della massa originaria, che si partiziona in massa radiativa, mr, e residuo ancora massivo, o anche detta massa potenziale,

mp = m0 – mr

Quindi sono ANCORA valide sia le forme che misurano la energia totale:

Etot = m*c^2 con m=m0/sqrt(1-v^2/c^2); equivalente a Etot=E = Ec + m0*c^2

Etot^2 = (m0*c^2)^2 + (pc)^2

more info:
https://it.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc%C2%B2

Ma entrambe le espressioni non sono in grado di vedere la partizione di m0*c^2
mostrando solo il totale m0*c^2:

Ec = Etot – m0*c^2

Poiché in quel termine che sembra costante (m0*c^2) non vi è solo massa o solo energia!

ma

m0*c^2 = E_micro_sys  = Er + Ep

rinvio a una trattazione di dettaglio negli ultimi miei articoli citati.
more info:
https://6viola.wordpress.com/2017/12/06/nuova-equazione-della-energia-totale-relativistica-e_microsys/

§.3 Le conseguenze di  “m0*c^2 = E_micro_sys  = Er + Ep”
nella analisi di Compton

Ci si può chiedere se ciò che abbiamo introdotto porti delle conseguenze nella analisi di Compton e più in generale nella teoria della misura.

Mostreremo che si crea un nuovo scenario in cui

  • non esiste più il concetto di soglia definitiva (di Heisenberg) per la incertezza di misura, ma solo di “soglia momentanea” e relativa alle capacità della tecnologa attuale.
  • la trattazione della MQ di Copenaghen è utilizzabile relazionandosi con il quantum minimo che sia il fotone, finché non vi sarà disponibile un “nuovo quantum min”.
  • le “variabili coniugate” sono utilizzabili, ma già ora la soglia minima non è quella di Heisenberg, poiché la misura non necessita di interferire sia per la posizione e ulteriormente per la quantità di moto, poiché basterà dimostrare che sono vere in modo deterministico le relazioni analitico_matematico tra velocità e posizione, e utilizzare i concetti di massa radiativa e massa potenziale, di Tufano, insieme alla analisi di De Briglie.


Per comodità di lettura ripeto la analisi di Compton, qui di seguito, come del resto reperibile su wikipedia:

da wiki:
fonte:
https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Compton

click x zoom pg-1

click x zoom pg-2

Che info chi da allora l’esperimento di Compton?

la info principale è che

  • il segnale elettromagnetico dipende dalla capacità di regolazione della purezza su una frequenza affetta da rumore.
  • questa purezza si reverbera in una interazione energia (luminosa) & materia (un elettrone) mostrando una deviazione di scattering in cui la variazione della lunghezza d’onda del segnale entrante (il fotone) è deformata in
  • D_lambda=lambda – lambda_0 che a sua volta è proporzionale all’angolo di scattering
  • che il fenomeno è ben più complesso dell’analisi di Heisenberg: infatti emerge non solo 1 sola frequenza causata “dall’urto” del fotone con un bersaglio fermo (l’elettrone), ma se idealmente un solo fotone potesse colpire un solo elettrone, allora, non solo vedremmo la frequenza deformata del fotone, MA ANCHE la frequenza associata all’elettrone che, aumentando di velocità, “non si è gonfiato di massa come vuole la teoria generale della relatività”(*), BENSI’ una riduzione della massa massiva dell’elettrone e la comparsa di una massa radiativa
  • mr=h/(lamda*v)
  • in questo caso abbiamo un metodo per stimare la massa radiativa e indirettamente anche quella residua massiva, essendo m0=mr+mp. cvd.
    (*)
    ciò è esatto (l’aumento di massa del sistema, dal punto di vista della energia totale) solo quando si considera la energia totale del sistema, e non quando si considera una singola massa che per passare dallo stato massivo a quello solo energetico ha un interim in cui la massa massiva si riduce grazie alla parte di massa che scompare come mr=massa radiativa e associata alla espressione di De Broglie. Quello che succede nella accelerazione di una massa sub atomica, infatti, è che la energia fornita può tendere ad infinito senza che mai la massa raggiunga la velocità della luce. Ma ciò è il sintomo che la parte massiva, che si comporta da “vela” su cui possono agire le forze applicate, “si riduce di superficie”, e quindi non è la massa originaria che accelera, ma un residuo sempre inferiore, che diventerà zero, dal punto di vista massivo, se riuscissimo a portare v=c, come pure può essere fatto facendo scontrare materia ed antimateria (ossia un elettrone ed un anti_elettrone) e producendo due fotoni che hanno la ex massa (ora radiativa) che era degli elettroni prima della conversione.

Quindi un grande passo avanti a non introdurre una materia sub atomica che si comporta come indeterminata, ma l’inizio della scoperta della sua eziodinamica.

E la conferma che, con la misura delle frequenze immesse e emerse (come radiazioni: ossia come energia radiativa) che sono tuttaltro che quantizzate (poiché non va confusa la capacità di “risoluzione” nell’eseguire una misura con il reale oltre la nostra capacità di misura: poiché una risoluzione ha un range limite secondo la tecnologia applicata), si apre lo scenario di potere valutare che l’errore nell’emissione di SCATTERING frequenziale può essere iniziato a essere stimato IN MODO IPERFINE, poiché non è più un noumeno di Kant di cui si vede solo la parte emersa dell’Iceberg (OSSIA SOLO LA ENERGIA TOTALE), ma si comincia a vedere anche sotto la superficie delle “osservabili” finora note(#), anche la parte immersa dell’iceberg .. che prima era considerato solo “rumore” generato dal KAOS.
(#)
grazie alla misura delle radiazioni della conversione in interim della mr di De Broglie/Tufano)

ultima versione:
13.12.2017, ore 9.42

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