Relativistic plasma jets in black holes [mathematics]

Ci siamo convinti di esaminare in un grande dettaglio un fatto importante nella astronomia che può avere conseguenze importanti nella fisica, in generale.

Apparentemente la soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein permettono di verificare che

IP:

se r0 > rg 

dove
r0 è la posizione di un fotone
rg=2GM/c^2
G=6.6E-11
M=massa del BH
c=velocità della luce

TH:

ne segue che la luce sfugge alla orbita intorno al BH.

La soluzione -semplificata- però si pone sul piano equatoriale (x & y) e sopprime la coordinata dell’asse di rotazione del BH (z).

Quindi rinuncia alla componente del vettore rpunto, che è una velocità radiale, se non secondo la proiezione sul piano x & y.

E’ evidentemente un caso “ideale” poiché un fotone che emergesse da un BH avrebbe una componente radiale ANCHE (quasi sempre) secondo l’asse z.

Inoltre, volendo studiare quella che nella teoria dei sistemi è detta “risposta libera di un sistema”, ovvero quando non si ipotizzano inputs, ciò consente di porre rpunto=0 e osservare la evoluzione del sistema nel tempo.

Ma avere soppresso la terza dimensione spaziale, non ci consente di “osservare” il confronto con il caso che il fotone non sia semplicemente su un piano.

In coordinate polari, peraltro, ciò corrisponde semplicemente a non porre che l’angolo teta sia π/2

Metto una figura, tratta dal testo di Amadori Lussardi Cap4, per maggiore esplicitazione:
new link (Cap.4):
https://www.matematicamente.it/category/appunti/relativita/

—

AGGIORNAMENTO 30 DIC 2021:

E’ utile prendere nota del cambio di coordinate indicate in x, y, z, che nella figura precedente erano genericamente x1, x2, x3 al fine di interpretare il software che seguirà nel presente articolo

foto link

Quindi

x1=x
x2=y
x3=z

r_p=r*sin(teta)=r*sin(θ)
x=(r_p)*cos(fi)=(r_p)*cos(φ)
y=(r_p)*sin(fi)=(r_p)*sin(φ)
z=r*cos(teta)=r*cos(θ)

—

Naturalmente esistono trattazioni ancora più dettagliate, come sistema tensoriale, che coinvolgono

• le caratteristiche della rotazione
• la presenza di campi elettromagnetici.

detta analisi in coordiante di Kerr-Newmann:
https://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_generale

Ma risulta anche chiaro che lo “status” relazionale tra una massa minore, m, ed una massa maggiore, M, in presenza di una rotazione di M, coinvolge una misura “tra due enti” (m & M) e ciò esula le caratteristiche del fatto che M sia o meno in rotazione, essendo -rispetto alla gravitazione- un calcolo rispetto a forze “centrali”.

Diverso sarebbe se volessimo implicare una sfericità non perfetta, oppure questioni di fluido dinamica che avessero capacità di “trascinamento” su chi entrasse in un vortice.

—

Dunque in questa prima analisi estesa a 4 equazioni di Schwarzschild anziché 3, ci possiamo aspettare che un fotone che non sia sul piano equatoriale di M, ma leggermente sopra o sotto tale piano, abbia -nel comportamento della risposta libera- una indicazione di quale è la “tendenza” del sistema BH a imporre al moto del fotone, e ci aspettiamo una orbita che tenda ai poli, oltre che a vedere allontanarsi il fotone dal BH, quando r0 > rg.

Nella sperimentazione finale, però, abbiamo trovato che ..

1. se ci si pone in un angolo teta=89° la emersione oscilla(*)  leggermente sul piano equatoriale e rimane sul solo piano equatoriale.
   (*)
   (con “oscillazione intendiamo: “oscillazione secondo teta”, oltre che -il fotone- ruota -per condizione di Cauchy- con velocità v=c tutta tangenziale al BH secondo l’angolo fi) .
2. viceversa più il fotone emergesse vicino ai poli, e più si creerebbe un allontanamento dal BH che crea dei “coni di luce”.
   Nella nostra simulazione le condizioni di Cauchy imposte sono state:
   • teta’=(3.14)/2 – epsilon (per simulare la orbita vicino all’equatore del BH)
   • teta”=0.008 (per simulare la orbita vicino ai poli del BH)

—

VERIFICA dell’orbita di un fotone in 4 dimensioni

—

Le equazioni di Einstein, nella notazione di Christoffel le abbiamo tratte -per esempio all’indirizzo seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/10/29/christoffel_symbols-mathematics/

In particolare nella notazione seguente abbiamo:

foto link

dove la “(2)” sotto intende

• 4 equazioni
• sommatorie doppie per ciascuna equazione

Nonostante che Amadori Lussardi pongano solo il caso particolare con l’angolo teta sia π/2

Noi ci apprestiamo a trovare una soluzione più generale con teta generico.

Avremo:

la forma finale delle equazioni di Einstein:

d/ds[dxi/ds] + Γ(i,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

dove Γ(i,j,k) sono i coefficienti di Christoffel.

foto link

x(i=0)=ct
x(i=1)=r
x(i=2)=teta
x(i=3)=fi

d/ds[d(x0)/ds] + Γ(0,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

d/ds[d(ct)/ds] + Γ(0,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

Γ(0,j=0,k=1)=Γ(0,j=1,k=0)=rg/[2r(r-rg)]

(1) PHP:

$tduepunti0 =  -($rg/($r0($r0-$rg)))*$tpunto0*$rpunto0 = 0

(c^2 si semplifica)

—

d/ds[d(x1)/ds] + Γ(1,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

d/ds[d(ct)/ds] + Γ(1,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

Γ(1,j=0,k=0)= (rg(r-rg))/(2*r^3)

Γ(1,j=1,k=1)= –rg/(2*r*(r-rg))

Γ(1,j=2,k=2)= -(r-rg)

Γ(1,j=3,k=3)= -(r-rg)*(sin(teta))*(sin(teta))

(2) PHP:

$rduepunti0 = -($c*$c*$rg*($r0-$rg)/(2*$r0*$r0*$r0))*$tpunto0*$tpunto0 +

+ ($rg/(2*$r0*($r0-$rg)))*$rpunto0*$rpunto0

+ ($r0-$rg)*$tetapunto0*$tetapunto0

+ ($r0-$rg)*(sin($teta0))*(sin($teta0))*$fipunto0*$fipunto0 = 0

(i termini sottolineati sono “nuovi”)

—

Γ(2,j=1,k=2) = 1/r

Γ(2,j=3,k=3) = -(sin(teta))*(cos(teta))

(3) PHP:

$tetaduepunti = -(2/$r0)*$rpunto0*$tetapunto0

+(sin($teta0))*(cos($teta0))*$fipunto0*$fipunto0 = 0

—

Γ(3,j=1,k=3)=Γ(3,j=3,k=1)=1/r

Γ(3,j=2,k=3)=Γ(3,j=3,k=2)=cos(teta)/sin(teta)

(4) PHP:

$fiduepunti =  –(2/$r0)*$rpunto*$fipunto0

–(2*cos($teta0)/sin($teta0))*$tetapunto0*$fipunto0=0

—

stessa trattazione di cui sopra nella sua preparazione analitica:

PG.1

***************

—

PG.2

**************

https://www.partitoviola.it/images/BH-4D-Jets-2

—

PG.3

********************

—

PG.4

*************

—

stop ore 17.27 del 15.11.2017

—

sperimentazione delle nuove funzioni introdotte singolarmente

—

Le espressioni, in 4D, introdotte vanno, però, ulteriormente modificate nella ipotesi di essere applicate alla luce come nella forma di Fermat Cap 4 Amadori Lussardi:

Si può -infatti- utilizzare la forma in cui si cancellano tutte le variabili in “t” (senza k_Fermat che alla velocità della luce si semplifica).
Chi fosse interessato alla forma k_Fermat, valida per le condizioni di enti massivi, può consultare il link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/07/23/k_fermats-geodesic_equations-mathematical-proof-6-7/

Da cui

la (1) PHP: si cancella.

—

la (2) PHP: si cancella solo in parte come segue ..

$rduepunti0 = -($c*$c*$rg*($r0-$rg)/(2*$r0*$r0*$r0))*$tpunto0*$tpunto0 +

+ ($rg/(2*$r0*($r0-$rg)))*$rpunto0*$rpunto0

+ ($r0-$rg)*$tetapunto0*$tetapunto0

+ ($r0-$rg)*(sin($teta0))*(sin($teta0))*$fipunto0*$fipunto0;

—

la (3) PHP: rimane inalterata .. (però (con teta) non esisteva, quando valeva pi/2)

$tetaduepunti0 = -(2/$r0)*$rpunto0*$tetapunto0

+(sin($teta0))*(cos($teta0))*$fipunto0*$fipunto0;

—

la (4) PHP: rimane inalterata .. (però non esisteva quando teta valeva pi/2)

$fiduepunti0 =  -(2/$r0)*$rpunto0*$fipunto0

–((2*cos($teta0))/(sin($teta0)))*$tetapunto0*$fipunto0;

—

Metto la foto della pagina di Fermat per fare un confronto tra la vecchia situazione con teta=pi/2 e la nuova situazione in cui teta è variabile:

foto link

—

studio delle nuove condizioni di Cauchy (16.11.2017, ore 7.47)

ip1:
studio di un fotone ad un raggio iniziale uguale a quello di Schwarzschild + epsilon
ciò perché “normalmente” e su un piano equatoriale -dopo pochi giri orbitali- già sappiamo da precedenti articoli che il fotone tenderebbe ad allontanarsi.
Ora sbilanciamo, poiché è la situazione fisicamente predominante, che il fotone non sorga esattamente sul piano equatoriale, ma leggermente sopra .. (oppure si potrebbe porre leggermente sotto) e ciò implica che l’angolo teta0=(pi/2)-epsilon, ad esempio 89°, mentre in condizioni di Amadori Lussardi sarebbe 90° (nella forma semplificata).

ip2:
come ipotetico BH scegliamo ..
il software già sviluppato nell’articolo seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/05/11/dynamics-of-light-u1s-fractal_light-physics-and-mathematics-th-12/
ed esattamente dal nome “Bolla-Gravity-10-5-2017-h.php”

—

new start: Bolla Gravity (JETS)

—

Si può notare che nell’articolo citato in ipotesi “ip2” (qui sopra) il calcolo di ds del software non corrisponde al calcolo eseguito nelle associate TAB.

Se, infatti, alla distanza 3*rg si può supporre senza un grande errore, che un fotone generato lateralmente ad un BH, poiché è a 3 volte la distanza da rg si comporti durante un intervallo temporale di campionamento “ds” a realizzare un percorso circa rettilineo che disegna -quasi- un triangolo rettangolo, in cui

• il cateto orizzontale vede sulla stessa linea rg ed r0
• il cateto verticale sia detto h, forma circa un angolo di 90° con quello orizzontale
• la ipotenusa del triangolo, sia detta r1, chiude il triangolo

.. quando -invece- siamo prossimi alla superficie del BH con r0=rg+epsilon -allora- la maggiore vicinanza del fotone al BH tenderà a “piegare” il cammino rettilineo del fotone.

Dunque la ipotesi di dividere rg/10=h (era 9 mm=rg e dunque h=circa 1mm) non è più una buona approssimazione!

E quindi anziché fare rg/10=h .. si può constatare che nel software è circa rg/100=h).
Nel fare ciò il valore di fipunto cambia di poco rispetto alla posizione rg/10, ma cambia (vedremo nel seguito la deviazione, grazie alle formule).

Dunque lasciamo la vecchia impostazione storica nell’articolo citato:
https://6viola.wordpress.com/2017/05/11/dynamics-of-light-u1s-fractal_light-physics-and-mathematics-th-12/

Ma reimpostiamo, qui di seguito, la corretta impostazione(*), di modo che sia possibile *ricostruire* la documentazione di Cauchy, ovvero di come abbiamo calcolato le inizializzazioni del software che ora non sarà solo in 3D, ma in 4D.
(*)
vedi §passo_n1 et seguito.

Nota Bene:

Segnalo che vi sono alcuni cambiamenti sulle ipotesi assunte in precedenza:

1° modifica:
M=1E53 kg è la massa di U1 assunto come BH
Tale studio era stato svolto nell’articolo seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/05/11/dynamics-of-light-u1s-fractal_light-physics-and-mathematics-th-12/

2° modifica:
180°/3,1415=(0,5)°/ y (rad)
Da cui y=[(0,5)*(3,1415)]/180=0,008726 .. che è la situazione di partire vicino al polo nord del BH.
teta0=0,008726 nel software.

—

§passo_n1:

ds?

—

c=spazio/$ds

• posto spazio=h, cateto secondo l’asse y
• posto andamento del fotone con angolo di 90° (secondo asse y) a muoversi secondo il percorso su h

allora ..

$ds=h/c

se scelgo h=rg/100, dove rg=2GM/c^2

dove M è la massa del BH, ottengo $ds.

—

calcolo numerico ..
associato al “§passo_n1” precedente:

sia M=1E53 kg (massa del BH)
sia G=6.67408E-11 (costante gravitazionale)
sia c=3E8 m/s (velocità della luce)
sia c^2=9E16

calcoliamo rg=2GM/c^2=1.48312888888889000000000000E26 metri

(1)_passo_n1
*$rg=1.48312888888889E26; (da mettere nel software).

if h=$rg/100=1.48312888888889E24, dunque è circa 1E24
(1E24 è rettificazione all’ipotesi h=$rg/100)

$ds=h/c=1E24/3E8=(1/3)E(24-8)=0.333333333333E16

(2)_passo_n1
*$ds=0.333333333333E16; (da mettere nel software).

—

§passo_n2:

fi0, teta0, r0, rpunto0 ?

—
(3)_passo_n2:
*$fi0=0.0; (da mettere nel software).

(4)_passo_n2:
*$teta0=1.57;

dim:
$teta0=pi/2-epsilon=(3.141/2)-0.0005=1.5705-0.0005=1.57;

(5)_passo_n2:
*$r0=1.48312999999999E26; (da mettere nel software).
dim:
r0=rg+epsilon=$rg=1.48312888888889E26+epsilon=1.48312999999999E26

(6)_passo_n2:
$rpunto0=0.0; (da mettere nel software).
dim:
ipotesi di risposta libera con velocità iniziale della luce tutta tangenziale.

—

§passo_n3:

fipunto?

—

$ds=0,333333333333E16
h=1E24
r0=1,48312999999999E26 (leggermente superiore ad rg)
a=h*h + r0*r0=2.19977459689997E52
r1=sqrt(a)=1.48316371210328E26
sin(f1)=h/r1=1E24/1.48316371210328E26=0,006742344
f1=arcsin(sin(f1))=0,0067423951
fipunto0=f1/ds=0,0067423951/0,333333333333E16=2,02271853445103E-018
*$fipunto0=2.022718 534 451 03E-018;

Nota:
$fipunto0=2,0196922948776E-018 scritto nel software al link:
https://6viola.wordpress.com/2017/05/11/dynamics-of-light-u1s-fractal_light-physics-and-mathematics-th-12/

è dunque circa il valore corretto da noi ora esplicitato, e giustifica il grafico già disponibile (sempre allo stesso link), sebbene il grafico sia bi-dimensionale, mentre noi stiamo esplorando, e ci proponiamo di realizzare, quello tri-dimensionale nello spazio + tempo e quindi in tot 4D!

—

new stop Bolla Gravity (JETS)

—

20 nov 2017, ore 7.27

in questi 5 giorni, dalla ultima relazione qui sopra, abbiamo:

1. realizzato e simulato il software 4D (vedi seguito)
2. verificate due situazioni:
   • emersione di un fotone a 89° (quasi sul piano equatoriale del BH): il risultato è una lieve oscillazione sul piano equatoriale e una fuga su detto piano)
   • emersione di un fotone a 1° (quasi sul polo Nord): il risultato è una orbita inaspettata! .. il fotone oltre che girare a velocità tangenziale posta uguale alla velocità della luce, rispetto all’orbita che gira intorno all’asse di rotazione del BH, con la vista 4D compie una orbita “composita” che lo porta fino al polo Sud! .. su questo slancio raggiunge di nuovo il polo nord (sempre in risposta “libera” e cioé senza velocità radiali come stato iniziale di Cauchy ipotizzato in partenza). Dopo questo nuovo raggiungimento del polo Nord non ha avuto ancora “la forza” di allontanarsi dal BH .. e dunque si riporta di nuovo verso il polo Sud! .. in questa seconda orbita .. finalmente ha la forza di allontanarsi sufficientemente dal BH .. tanto da non oscillare ulteriormente da nord a sud e viceversa oltre che ruotare sul piano parallelo all’equatore del BH. Per cui la orbita si satura verso le 10 mila iterazioni di calcolo ad un percorso di allontanamento da BH che interagirà sempre di meno con il BH da cui il fotone era emerso. La orbita che stiamo per presentare su MATLAB per la grafica, nella ultima fase di allontanamento, dovrebbe presentarsi sia perché ruota secondo l’asse equatoriale e sia perché si allontana come una forma a cono che simula JETS che si possono vedere per conferma sperimentale anche dalle osservazioni astronomiche.

—

il software 4D:

—

prima parte:

—

seconda parte:

—

la grafica di Matlab (codice)
(per la rappresentazione vedi il video iniziale):

> X = [0.0;
14831.13;
0.0;
-14831.13;
0.0];
%
Y = [0.0;
0.0;
0.0;
0.0;
0.0];
%
Z = [14831.13;
0.0;
-14831.13;
0.0;
14831.13];
>> plot3(X,Y,Z, ‘r:+’), grid on, xlabel(‘asse X’), ylabel(‘asse Y’), zlabel(‘asse Z’), title(‘4D BH Jets’)
>> hold on
>> X = [12.942223805144;
12.46849108816;
5.8411134519003;
-21.556590250132;
-86.020758735008;
-180.52907992167;
-227.19073177238;
-59.177596461649;
402.54852986508;
928.51121091732;
1221.8889165134;
1246.3674622328;
1247.9346355131;
932.41405257923;
457.12554342836;
99.323114586503;
-37.788642872501;
-19.907941470545;
66.83963127792;
139.32918454494;
72.324415195844;
-275.66467374452;
-1308.6669581919;
-1236.6320396502;
-233.90177413617;
57.856130820343;
-161.70895629572;
-6.383984776584;
955.20696526749;
1765.1815612459;
2318.6864195613;
2838.0614991669;
4278.8055886267;
5862.3430632269;
7513.3938729349;
9200.6821214921;
10910.05633555;
12634.154660814];
Y = [0.08726290888365;
9.9643753971791;
25.829012673939;
44.458923996073;
41.189393109261;
-40.746726405291;
-272.16287895606;
-643.35705956707;
-957.79712709136;
-1013.5067590036;
-840.63097256034;
-799.6318083017;
-386.57432909097;
69.518248180417;
310.03712346033;
267.91480589348;
120.94667272437;
13.598758584315;
66.83963127792;
126.35480100998;
380.86159156111;
653.49825787399;
540.0054986867;
-175.65594136387;
-433.76874527193;
-60.919425865659;
-76.846119823143;
-685.03719396698;
-1119.3308637433;
-1002.8299567209;
-715.04647465286;
-427.74767535233;
185.16160468684;
734.14583199391;
1266.4500733136;
1794.008358743;
2320.3362562726;
2846.6212090653];
Z = [1483.0735275529;
1483.0441142859;
1482.8935702861;
1482.3067550572;
1480.0602915164;
1471.5378276073;
1440.1341715704;
1335.0148504065;
1058.4210253961;
557.08947433696;
2.8886787050253;
-82.699390491695;
-702.07592981664;
-1151.2953206401;
-1376.465596812;
-1455.3888005951;
-1477.7758023187;
-1483.0355846062;
-1481.7573444552;
-1471.3458608983;
-1431.8260453711;
-1302.9254961725;
-444.8627951262;
805.14859690764;
1410.4651124108;
1510.7274391397;
1532.9646072429;
1436.3525939812;
873.377422106;
-71.756094392225;
-1044.1685502617;
-2010.2528991412;
-4542.8416276742;
-7217.2688677722;
-9969.3838112582;
-12766.687218744;
-15592.963501849;
-18439.242674366];
plot3(X,Y,Z, ‘r:o’), grid on, xlabel(‘asse X’), ylabel(‘asse Y’), zlabel(‘asse Z’), title(‘4D BH Jets’)
hold on
>> X = [0.0;
0.0;
0.0;
0.0;
0.0];
>> Y = [0.0;
14831.13;
0.0;
-14831.13;
0.0];
>> Z = [14831.13;
0.0;
-14831.13;
0.0;
14831.13];
>> plot3(X,Y,Z, ‘r:x’), grid on, xlabel(‘asse X’), ylabel(‘asse Y’), zlabel(‘asse Z’), title(‘4D BH Jets’)
>>
—

—

Aggiornamento 12 gen 2022, ore 17.05

—

Il grafico del video iniziale è carente come numero di punti ed è stato eseguito di nuovo per avere un maggiore dettaglio:

Figura new1: Sul piamo xy

—

Figura new2: Sul piano xz (quindi la y -qui- indica l’asse z)

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in forma grafica LaTex le equazioni di Einstein nella soluzione di Sch: