Energy levels in the hydrogen atom: Deterministic Solution with Einstein_equations

Esistono metodi per il calcolo dei livelli energetici in un atomo in generale e nell’atomo di idrogeno in particolare.

Storicamente si appoggiano sulla teoria che prende atto che vi sono orbite non qualunque, ma preferenziali, e quindi suppone che non tutti i livelli di energia siano possibili, ma solo alcuni, e dunque chiamano la teoria che descrive la materia sub atomica “quantica” o della scuola di Copenaghen, indicando la città dove nacque l’approccio storico ad opera di Bohr, Heisenberg, etc.

Poiché noi siamo della scuola deterministica, sebbene conosciamo i modelli della scuola di Copenaghen che non sono sbagliati, ma usano la teoria statistica oppure aleatoria, ci proponiamo nell’articolo attuale di mostrare come la quantizzazione non sia dipendente da cause esoteriche o da una natura congenitamente quantica del reale, ma dal fatto che i fotoni si comportano sia come onde, e sia come “particelle”, e dunque con natura di “quantum di energia”, sebbene questa quantizzazione sia non perfettamente on/off e quindi presenza/assenza, ma abbia zone di frontiera dove la transizione è graduale, appunto perché il fenomeno non è esattamente né quantico e né infinitesimalmente ondulatorio.

Sono i modelli, invece, che si possono usare che sono circa quantici e circa ondulatori, scelti a meglio descrivere i fenomeni in modo coerente tra modello e dati sperimentali.

Quindi, entrando nel dettaglio:

  1. prima mostreremo l’analisi storica del calcolo dei livelli energetici associati ad una orbita dell’atomo di idrogeno
  2. poi, in seconda istanza, mostreremo come la orbita dell’elettrone non è aleatoria, ma descrivibile dalle equazioni di Einstein, nella soluzione di Schwarzschild, opportunamente modificata affinché sia la forza di Coulomb, e non la forza di Newton (gravitazionale), a svolgere la funzione attrattiva. Entrambe le impostazioni ci mostreranno circa gli stessi risultati(*), e quindi sconfesseranno che sia il reale congenitamente aleatorio e le orbite siano “onde di probabilità di avere una certa posizione e quantità di moto”, ma bensì, “orbite determinate e calcolabili” senza l’errore congenito di Heisenberg.
    (*)
    In effetti l’atomo classico di Bohr ha orbita circolare, mentre come scoprirà Sommerfeld nel 1915 le orbite sono ellittiche, e ciò è l’analogo di Keplero e poi di Einstein nel caso del macrocosmos.

Studio dei livelli orbitali dell’atomo di idrogeno (secondo l’approccio storico)

(prima parte)

§1.1 la quantizzazione di Bohr:

Bohr, grazie a Planck, trova che ..

m*v*r=n*h/(2*pi)

dove
pi= circa 3.14
m=massa dell’elettrone
v=velocità tangenziale all’orbita dell’elettrone
r=raggio dell’orbita

.. trova quindi che la quantità di moto per il raggio non assume qualunque valore, ma solo alcuni valori, a secondo se l’elettrone è su una orbita più interna o più esterna, e ciò è esplicitato tra mite la lettera n=1, 2, 3, .. ed inoltre tramite la costante h, detta costante di Planck.

Ci sono due metodi per calcolare v=v0 che è orbita più interna
(o meglio di input/output, poiché la orbita più interna avrà una ulteriore dinamica di stabilizzazione, se si usano le geodesic_eq come nel seguito illustrato):

Riportiamo la trattazione dal nostro articolo, relativa al calcolo “storico”:
https://6viola.wordpress.com/2016/12/01/deterministic-orbit-of-h-hydrogen-tufanos-3th-theorem-mathematics/

Vogliamo mostrare che v0 si può ottenere sia da alfa che da omega seguenti:

(alfa) Fcu+Fg=m0*v0^2/r0

(omega) m0*v0*r0=h/2π

dove
m0=massa elettrone
Fcu=forza di Coulomb
Fg=forza gravitazionale
v0=velocità di ingresso nell’orbita che vogliamo calcolare
r0=raggio di ingresso nell’orbita=circa 0.528*10^-10 m

DIM:
G=6.67428*10^-11
M(Protone)=M_ufficiale=1.672621*10^(-27) Kg
me(elettrone ufficiale)=9.109382*10^-31 kg
r0=0.528*10^-10 metri

Fg=[(6.67428*10^-11)*(9.109382*10^-31)*(1.672621*10^-27)]/[0.528*10^-10]=[101.69295842031809016*10^(-69)]/[0.528*10^-10]^2

Fg=[101.69295842031809016*10^(-69)]/ [0.278784*10^-20]=364.77329552742657455234*10^-49=

Fg=3.6477329552742657455234*10-47 N (ingresso nell’orbita)

Quindi può sembrare inutile aggiungere qualcosa a Fcu (visto che Fcu=0.08*10^-6 N) nella eguaglianza, poiché Fg=3.64*10^-49 anche volendo supporre Fg+Fcu=m*v^2/r

Da cui

Fcu=circa m*v^2/r

Però si può verificare se scrivendo Fcu come segue ..

Fcu=8275500931090753070221885404659354398095622080*10^(-47) N

con Fcu+Fg=Ftot alterata=

Ftot=(8275500931090753070221885404659354398095622080.0+3.6477329552742657455234)
*10^-47 N =8275500931090753070221885404659354398095622083.6477329552742657455234*10^-47 N

ci restituisca un valore simile a quello di Planck!

v^2=Fcu*r/me

v=rad[Fcu*r/me]=

v=rad{[0.0827550093109075307022188540465935439809562208*10^(-6)]*[0.528*10^-10/me]}=

v=rad[0.0436946449161591762107715549366013912219448845824*10^-16/me]

v=
rad[0.0436946449161591762107715549366013912219448845824*10^-16/9.109382*10^-31]

v= rad[0.0047966640235483786068881022814282452115791043324783*10^+15]

rad[479.66640235483786068881022814282452115791043324783*10^10]

21.90128768713926237596092708074992190200192932114871*10^5

2190*10^3 m/s=2190 km/s dalla espressione Fcu

(avendo però trascurato la alterazione dalla forza aggiuntiva gravitazionale)

Esplicitiamo anche la espressione di Planck

mrv=h/(2π) (Nota Bene: ip n=1 nella orbita più interna!)

v=[h/(2π)]/[m*r]

v=[(1.054571*10^-34)]/[(9.109382*10^-31)*(0.528*10^-10)]

v=[1.054571/4.809753696]*10^-34/10^-41=0.2192567575501895*10^7=2192 km/s da Planck!

§1.2 I livelli energetici di Bohr:

Nella trattazione seguente:
il raggio più interno è r1 (prima era chiamato r0)
il raggio più esterno è r2

Normalmente, in un atomo di idrogeno, se un elettrone è colpito da un fotone c’è un salto a un livello più esterno di orbita, e subito dopo una nuova emissione di energia, poiché il sistema (protone + elettrone) tende a ritornare alla orbita più interna.

Ciò porta che

E1=Energia stato non eccitato
E2=Energia stato eccitato

  1. variazione diretta: delta E= |E2-E1| per portarsi da E1 -> E2. (l’elettrone deve assorbire energia per portarsi dalla orbita più interna, r=r1, sia con E=E1, alla orbita adiacente e maggiore, r=r2, sia E=E2).
  2. variazione inversa: delta E= |E2-E1| per portarsi da E2 -> E1. (l’elettrone deve cedere energia per portarsi dalla orbita più esterna, r=r2, sia con E=E2, alla orbita minore, r=r1, sia E=E1.

Ma dire “Energia associata a uno stato” è una dicitura troppo generica per comprendere bene il fenomeno che stiamo esaminando!

Formalizziamo, allora, le definizioni:

Sia

E(n) = T(n) + U(n)

E(n) detta energia totale di un sistema.

La scomposizione è relativa alla

componente cinetica T(n)

componente potenziale U(n)

Nel caso dell’atomo di idrogeno

U(n)=-e^2/r

T(n)=(m*v^2)/2

Poiché le orbite stabili nel modello di Bohr sono

(1) m*v*r=(n*h)/(2*pi) -> v= (n*h)/(2*pi*m*r)

Poiché la forza di Coulomb, in erg:

(2) F=e^2/r^2=m*a=m*v^2/r

Dalla (1) e dalla (2) si può ricavare (sostituendo v della 1 nella 2)

(3) r= [(n^2)*(h^2)]/[4*pi^2*m*e^2]

da cui

n=1, r=0.53*10^-8 cm=0.53*10^-10 m (0.528*10^-10 m)

n=2, r=2.12*10^-8 cm=2.12*10^-10 m etc.

Quindi con

(4) T(n)=m*v^2/2 ; U(n)=-e^2/r

(5) E(n)=e^2/(2*r) + -e^2/r=-e^2/2r

ora sostituiamo nella (5) il valore di r della (3)

(5)’ E(n)=-[(1/n^2)*2*pi^2*m*e^2]/h^2

E(n=1)=-217,3*10^-13 [erg]

E(n=2)=-54,3*10^-13 [erg]

(more info: ad esempio su Silvestroni, pag.5, Fondamenti di Chimica, Ed. Veschi).

Dunque E(n=1) è la energia necessaria per portare un elettrone dalla sua orbita più interna al raggio più distante (infinito).

Servirà, però, meno energia in E(n=2) per portare un elettrone dalla sua orbita con r=2.12*10^-10 metri ad infinito, e sempre meno energia tanto più l’elettrone è distante dalla forza di Coulomb che lo trattiene intorno all’atomo di idrogeno e con una azione apparentemente solo di tipo cinetico/inerziale.

In realtà, secondo il nostro modello deterministico, l’orbita trovata di Bohr e Planck, su n=1, è solo di input/output, ovvero “di aggancio”, ma la stabilizzazione avviene su una orbita più interna e con un meccanismo in cui se la massa dell’elettrone accelerasse fino alla velocità della luce non vi sarebbe più forza di Coulomb, e quindi si perderebbe la forza di attrazione, che invece permane.

Infatti la diminuzione della massa tende a fare diminuire la attrazione, ma la diminuzione della attrazione tende a fare rallentare la velocità che consente alla massa di non scomparire (come scomparirebbe se raggiungesse la velocità della luce).

Intendiamo quindi utilizzare il nostro modello delle equazioni che abbiamo chiamato k_Fermat, che sono adatte a computare una massa che oscilli in prossimità alla velocità inferiore a quella della luce.

Se quindi il processo di “urto” di un fotone che entra nell’orbita di un elettrone è una forza estrattiva che compie un lavoro di estrazione .. e porta l’elettrone ad una distanza maggiore ..

Il simmetrico è la cessione del fotone (radiazione) per la quota parte dello spostamento dal raggio r2 -> r1.

Se questo “ragionamento” -dunque- è corretto anziché impostare la descrizione di una orbita ad uscire, possiamo impostare la descrizione di una orbita ad “entrare”, ossia a portarsi ad un raggio inferiore, e sfruttare la tendenza “naturale” della risposta del sistema detta “risposta libera” a portarsi verso una orbita più interna.

Le equazioni di Sch, modificate come k_Fermat, sono in grado di dirci anche il tempo che è impiegato per fare questo.

Poiché basterà una  “aliquota di energia” per spostarsi da r1 ad r2 si potrà valutare l’intervallo di tempo di tale transitorio, che però in uscita dovrebbe proseguire, se anziché studiare solo le prime due orbite standard .. studiassimo la dinamica completa.

Studio dei livelli orbitali dell’atomo di idrogeno (secondo le equazioni di Einstein come risolte da Schwarzschild e modificate in modalità k_Fermat/Tufano)

§2.1 STUDIO di E(n)

Per studiare E(n) l’approccio storico scriveva

(5)’ E(n)=-[(1/n^2)*(2*pi^2*m*e^2)]/h^2 avendo sostituito r con

(3) r= [(n^2)*(h^2)]/[4*pi^2*m*e^2]

Però eravamo partiti da ..

E(n)=(-e^2/2r) ed ottenevamo dei valori in erg.

Se però vogliamo dei valori in joule ..

(2)# F=[(1/4pi*eps)*e^2]/r^2=m*a=[m*v^2]/r

da cui r’=[(n^2)*(h^2)]/(4*pi^2*m*e^2) -> r”=(n^2*h^2)/[(4*pi^2*m*e^2)*1/(4*pi*eps)]

r”=(n^2*h^2*eps)/(pi*m*e^2)

avendo modificato, con (1/4pi*eps), la formula di Coulomb nella parte qui sopra in blu ..

avendo modificato, con(4pi*eps) la r’ -> r”

La E(n) in joule, oppure in eV(*) diviene:
(*)
[in Elettron Volt vi è una sorta di normalizzazione del SI (sistema Internazionale) per il valore della carica elettrica=1,602176565 x 10−19C dunque 1 eV=1,602176565 x 10-19 Joule]

https://it.wikipedia.org/wiki/Elettronvolt

(5)# E(n)# = –(1/n^2)*R*h*c

dove R=costante di Rydberg=1.097E7

r1=0.529E-10 metri

E(1)=-13.58 eV (2.10 prof. Maltese pag. 12 “Meccanica Quantistica”)

E(1)=-217.3E-13 erg (prof. Silvestroni pag. 5 “Fondamenti di Chimica”)

Verifichiamo la conversione da erg a eV

1 erg = 6.242E+11 eV

E(1)=-(217.3E-13)*(6.242E+11)=-1355.952E-2 eV=-13.56 eV prossima a -13.58 eV Maltese.

Poiché, dunque, E=-e^2/2r, come già visto nei calcoli storici già presentati qui sopra (in particolare secondo l’approccio di Silvestroni, pag. 5 nota numero 9) e poiché possiamo dare all’energia iniziale un valore a partire dalla seconda orbita che nella tabella Silvestroni è -54.3 erg, dimostreremo che grazie a ..

E=-e^2/2r

partendo da r=r2=2.12*10^-10 metri (orbita esterna)

e svolgendo un modo orbitale come “risposta libera del sistema” l’elettrone si porterà alla orbita:

r=r1=0.529*10^-10 metri (orbita interna)

e passerà dal valore

E1=-e^2/[2(r1)] (orbita interna) -> E2=e^2/[2(r2)] (orbita esterna)

noto il valore della carica elettrone al quadrato, e^2, i valori di E1 & E2 sono subito calcolabili senza la forma delle geodesic_equ da noi sviluppata!

.. ma noi siamo anche in grado di dare il timing dell’orbita deterministica e la traiettoria con cui questo avviene ..

.. come è dimostrabile implementando il software seguente poiché nel sofware disponiamo di

r(t)

rpunto(t)

rduepunti(t)

SOFTWARE

Poiché le velocità implicate nel fenomeno che stiamo esaminando sono modeste (intorno a 2000 km/s) vedremo che sarà irrilevante nell’intorno di studio l’uso della forma k_Fermat. Ci riserviamo -però- di ripetere nella forma k_Fermat mostrando che la orbita è quasi la stessa alle velocità che sono nello studio attuale.

La forma semplificata è quindi quella Amadori Lussardi:

http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

Fig. pag 99 rif. (4.25)

Le condizioni di Cauchy

Anziché la “partenza da fermo” (intendiamo rpunto0=0), e poi la implementazione grazie alla velocità areolare, possiamo metterci al raggio

*$r0′=2.12*10^-10 [m] (2,12E-10)

Sul calcolo di alcuni parametri abbiamo già proceduto al link seguente e li ripetiamo qui per comodità di lettura:
https://6viola.wordpress.com/2016/12/01/deterministic-orbit-of-h-hydrogen-tufanos-3th-theorem-mathematics/

$rg=5.635898190548777272350846569754155646521468851537079496E-15; [m]

*$fi0=0.0; [rad]

$ni=30000;

*$t0=0.0; [sec]

*$rpunto0=0.0 [m/sec]

$ds? (studio del tempo di campionamento: start)

Tempo_orbitale_tot=T0

T0=N*ds
T0=C0/v0

ds=(C0/v0)*(1/N)

C0 ?

C0=2*pi*r0
pi=3.14

(1)
r0=0.528*10^-10 m (0,528E-10)

(1)B

r0’=2.12*10^-10 m

(2)
C0=2*(3.14)*(0.528)*10^-10=3.3175218421908217*10^-10 m

CALCOLO di ..

m0*v0*r0=h/(2pi) if n=1
Nota Bene: nel caso n=2

m0*v0*r0=h/(pi) if n=2

(2)B
C0=2*(3.14)*(r0’=2.12*10^-10 m)

C0’=0.000000001332035285122072338=1.33E-9 m

(3)
m0(ufficiale)=massa elettrone=9.109382*10^-31 kg (9,109382E-31)

(4)
h/pi(ufficiale)=costante di Planck=1.054571726*10^-34 [J*s] (1,054571726E-34)
https://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Planck

v0_rif_first_orbit=[h/(2pi)]*[1/(m0*r0)]=

v0_rif_first_orbit=[1.054571726*10^-34]*[1/(4.809753696*10^-41)]

m0*r0=4,809753696E-041

(4)B

v0_rif_second_orbit=2*[h/(2pi)]*[1/(m0*r0′)]=

v0_rif_second_orbit=2*[1.054571726*10^-34]*[1/(1,931188984E-040)]

m0*r0’=1,931188984E-040 

(5)
v0_first_orbit=0.2192569084934698*10^7 m/s= circa 2192 km/s

v0_first_orbit=circa 2192569 m/s

(5)B
v0′ second_orbit=2*546073,809832792 = 2*5,4E5 m/s = 2*0,05*10^7 m/s=2*546,073 km/s

2*0.5460738098327926E+6 m/s

v0’_second_orbit=1.0921476196655852E6 m/s = circa 1092147,61966559 m/s

 

Ora possiamo calcolare

dalla (2) & (5)

T0=C0/v0=3.3175218421908217*10^-10 m / 0.2192569084934698*10^7 m/s

(6)
T0=15.1307517057763702565*10^-17 [sec]

(6)B
T0’=C0/v0’=0.000000001332035285122072338 / 1092147,61966559= 

T0′-second_orbit=1,21964765672422E-015 [sec] 

 

(7)
N=360
Ipotesi di campionamento ogni grado di 360 gradi

.. da cui i radianti associati ad 1° sono
(2*pi)/(360)= (x rad)/1

(8)
x rad(di 1°)=(2*pi)/360=0.0174532925199432958 [radianti]

dalla (6) & (7)

ds=T0/N=(15.1307517057763702565*10^-17)/360

(9)
ds=0.0420298658493788062681*10^-17 [sec] ( 0,0420298658493788062681E-17 )

(9)B
ds’=T0’/N=1,21964765672422E-015 / 360=3,38791015756729E-018 [sec]

 

$ds (studio del tempo di campionamento: stop)

fipunto0?

fipunto0=(f1-f0)/ds

f1=1°grado
f0=0

dalla (8)
f1=x rad(di 1°)=(2*pi)/360=0.0174532925199432958 [radianti]

dalla (9)

(9)
ds_first_orbit=0.0420298658493788062681*10^-17 [sec] (0,0420298658493788062681E-17)

ripeto la

(9)B
ds’ second orbit=3,38791015756729E-018 [sec]

fipunto0_first_orbit=f1/ds=41525929638914700=4.15E16 [rad/sec]

fipunto0’_second_orbit=f1/ds’=5.151639715403710E15 [rad/sec]

Ora possiamo scrivere il listato modificando il seguente:
Op-H-26-11-2016-c.php

la versione 18-8-2017 del software segue:

Esame dell’output:

Sebbene la condizione rpunto0=0.0, non sia propriamente delucidativa di una partenza in afelio (maggiore distanza dal protone) e non mostri subito che l’elettrone è in leggera caduta nell’orbita ellittica approssivata come circolare nelle condizioni iniziali ..

.. infatti si potrebbe studiare come già fatto nell’articolo seguente:
https://6viola.wordpress.com/2016/12/01/deterministic-orbit-of-h-hydrogen-tufanos-3th-theorem-mathematics/

che alla prima orbita eseguita in tal modo il software “recupera” la condizione di “ellitticità” e quindi è in grado di mostrare quale siano le velocità areolari ..

ANCHE con la partenza in approssimazione rpunto0=0.0 che è una sorta di “risposta libera del sistema”, si vede sia nella prima orbita (più interna) che nella seconda orbita (più esterna)[@@] .. che l’elettrone precipita sul protone con la forza gravitazionale sostituita dalla forza di Coulomb.
[@@]
ci stiamo riferendo con prima e seconda alle orbite ai due diversi stati quantici e cioé 0.528E-10 m & 2.12 E-10 metri.

Non dimenticando la condizione di Keplero:

mvr=costante

ma che secondo Bohr/Planck vede

mvr=n*h/(2*pi)

quindi n=1 nella orbita più interna, ed n=2 nella orbita successiva verso l’esterno ..

abbiamo ripetuto la simulazione con i parametri appena sopra calcolati e gli outputs mostrano che alla ..

iterazione i=34269
r=0.528E-10 metri

cvd.

Dunque le equazioni di Einstein, nella forma di Schwarzschild soddisfano pienamente la descrizione orbitale non solo a partire dalla prima orbita 0.528E-10 metri a proseguire verso il protone, ma anche dalla seconda orbita verso la prima, come volevamo dimostrare.

ultima versione 18.08.2017, ore 18.17

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