k_Fermat’s geodesic_equations: Tufano’s First theorem [new Mathematics]

Ci proponiamo di dimostrare, nel seguito, le geodesic_equations nella forma detta “di Fermat” da Amadori Lussardi, notando che se è vero che le derivate del tempo sono poste a zero quando la massa di un ente, come il fotone, ha massa zero, c’è -PERO’- una fase di “transitorio” che giustifica questa posizione solo come atto finale, ossia quando m->0 è proprio m=0. Come avviene -quindi- questo transitorio?

Le formule che lo descrivono .. saranno dedotte nel seguito, ma -intanto- vediamo la formulazione sopra accennata, da un punto di vista formale, onde potere entrare nello specifico:

Stiamo facendo riferimento al Cap 4 di Amadori Lussardi, (da pag.94 fino a pg.106) al link seguente:
https://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

Ma per comodità di chi legge ripetiamo qui di seguito le geodesic_equations che si trovano a pag. 99 quando sono con m=/=0

& sono a pag. 106 quando sono con m=0 ..

Lasciando la trattazione intermedia (tra le pag. 99 vs 106) che ci sarà utile per spiegare dove avvenga la nostra “rilettura” delle celebri “geodesic_equations”:

pg.1 (Amadori: pag.94)

pg.2 (Amadori pag. 95)

pg.3 (Amadori pag. 96)

pg.4 (Amadori pag. 97)

pg.5 (Amadori pag. 98)

pg.6 (Amadori pag. 99)

pg.7 (Amadori pag. 100)

pg.8 (Amadori pag. 106)

La Ns “rilettura”:

Forma breve:
TUFANO’s first Theorem:

Ip: “in ipotesi di equazioni di Einstein dette delle geodetiche (geodesic equations)”

Th:

Vi sono due modi di misurare il tempo:

  1. secondo la variabile temporale tau.  Allora tau-tau0 = misura del tempo sul sistema remoto al laboratorio. (detto anche -in letteratura- “tempo proprio”, oppure in S2, o del gemello giovane).
  2. secondo la variabile temporale t. Allora t-t0 = misura del tempo sul sistema locale al laboratorio. (detto anche -in letteratura- “tempo ordinario”, oppure in S1, o del gemello vecchio).
  3. ne segue che affinché vi sia la forma di Fermat serve un cambio di coordinate, affinché il tempo sia prima misurato in tau sul sistema remoto, e poi si “calcoli” la trasformazione nel sistema locale (laboratorio).

§§§

Forma Estesa:
TUFANO’s Theorem:

IPOTESI N.1:

Poiché valgono le espressioni (4.25) e le espressioni (4.28) riprese, ad esempio da Amadori Lussardi alle seguenti pagine:

link originale on line:
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

Fig. pag 99 rif. (4.25)

Fig. pag. 106 rif. (4.28)

IPOTESI N.2:

Sia tpunto0=d/ds [t] | nell’intorno delle condizioni iniziali (posizione di Mercurio in afelio).
Si veda il software associato al link seguente:
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

ed in particolare la pagina che ora indichiamo:

dove ds segue la convenzione di Amadori Lussardi, coerente con la convenzione di Einstein come si può verificare dalle due figure seguenti:

Amadori Lussardi matrice in S1:

Einstein matrice in S1 (segue):

link fonte articolo Einstein on line:

http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf
Nota Bene: la sola diversità è nell’anticipare Amadori la coordinata temporale, mentre Einstein la mette in coda.

(vedi pag.6)

IPOTESI N.3:

Scegliendo -più specificatamente- la convenzione posizionale di Amadori (come disposizione posizionale nella matrice G), per cui abbiamo (descrivendo anche S2) la situazione nella figura seguente:


E quindi le Mappe Amadori Lussardi:

Mappa in S1 (sistema “locale”)

x1=ct
x2=x(t)
x3=y(t)
x4=z(t)

Mappa in S2 (sistema “remoto”)

x1’=ct
x2’=r(t)
x3’=teta(t)
x4’=fi(t)

in S1:

(ds)^2=g11(d[x1(t)])^2 + g22(d[x2(t)])^2 + g33(d[x3(t)])^2 + g44(d[x4(t)])^2

e quindi equivalentemente:

(ds)^2=g11{d[ct]}^2 + g22{d[x(t)]}^2 + g33{d[y(t)]}^2 + g44{d[z(t)]}^2

in S2:

con (ds)^2=g11′(d[x1′])^2 + g22′(d[x2′])^2 +g33′(d[x3′])^2 + g44′(d[x4′])^2

e quindi equivalentemente:

(ds)^2=g11′{d[ct]}^2 + g22′{d[r(t)]}^2 + g33′{d[teta(t)]}^2 + g44′{d[fi(t)]}^2

dove

g11=1
g22=-1
g33=-1
g44=-1

dove
g11’=+(1-rg/r)
g22’=-(1/(1-rg/r))
g33’=-r^2
g44’=-r^2(sin[teta])^2

++

Nota Bene (start) 
(20.06.2018, ore 21.29):

++

NB_1:

scrivere:

(ds)^2=g11′{d[ct]}^2 + g22′{d[r(t)]}^2 + g33′{d[teta(t)]}^2 + g44′{d[fi(t)]}^2

NON significa che r(t), teta(t), fi(t) sono funzione di t
significa invece che ci sono 4 variabili:

ct, r, teta, fi
da cui se elenco un “valore spaziale” associato ad (r, teta, fi)

il corrispondente “valore _temporale_” in cui sono “campionati” (r, teta, fi) è t.

Infatti si sta impostando la matematica come se le 4 variabili fossero “indipendenti” (e formanti una base ortonormale), di modo che servano 4 valori per indicare un punto di 4 coordinate per dare sia lo spazio che il tempo di quel punto.

Da ciò discende che non potremo chiamare t il tempo sia in S1 che in S2, e la trattazione completa della trasformazione e anti_trasformazione tra spazi, sarà “ben formata” se chiameremo con un altro nome la variabile tempo quando è in S2 (noi useremo nella forma completa di Tufano il nome tau per la variabile tempo).

Tuttavia una volta creata la “proiezione in S2” grazie a tau, ci sarà utile interpretare le misure in t, per rapportare al tempo in S1 .. quindi dovremo fare una NUOVA TRASFORMAZIONE (cioé una antitrasformata).

Anticipiamo che la forma classica/storica rimane valida se v << c, poiché si trascurano le deformazioni relativistiche se non si usa la forma estesa k_Fermat.

NB_2:

E’ di una max importanza, inoltre, notare la “matrice gamma(alfa, beta)” su Amadori/Lussardi pagina 106 che segue che è stata ottenuta ponendo t=0 nella forma estesa della stessa matrice pagina 97 (mostrata sopra).

Infatti avere ottenuta la “matrice gamma(alfa, beta)” ..

ci dice cosa succede quando sul sistema remoto (un fotone) “il tempo NON scorre”, ossia il gemello giovane non invecchia MAI, neanche un poco.

Da cui sebbene sia sbagliato chiamare “t” il tempo sul sistema in S2 (remoto) la forma 4.28, pag.106 (che segue in foto) ci da (@) lo stato finale delle equazioni 4.25 pag. 99 nella variazione da massa =/=0 versus massa = 0.
(@)
(avendo acquisito cosa intende t nel contesto di essere usato in S2: e cioé il tempo di una massa che tende a zero e contemporaneamente alla velocità della luce)

E ciò è stato ottenuto dalla matrice completa ponendo la variabile t=0. Ovvero eliminare il termine g00′ in S2, e lasciare inalterati g11′, g22′, g33′ in S2.

Cosa significano ora le variabili (r, teta, fi) ? .. se non c’è più un tempo di riferimento che era denominato “t”, sebbene fosse in S2 (come misura), se la rappresentazione fosse scritta ben formata?

Significano valori (r, teta, fi) .. che si “succedono” temporalmente non più in “t” ma incrementando ds, che pure ds è un tempo, e per la precisione un tempo di campionamento che genera la successione che comunque opera, anche quando esiste t.

Nel caso della esistenza di t, consente una stima delle alterazioni tra il tempo proprio (in S2) e l’accumulatore del tempo di campionamento, se non si è introdotto tau=k*t.

Altrimenti, se si è introdotta la “sostituzione” t_old=tau=k*t, in questo caso “t” indicherà il tempo nel sistema S1, poiché è in S1 che si misura in t.

Tutto questo “roteare” di variabili .. poiché la soluzione “storica” usa t al posto di tau, ma poi bisogna riconvertire in S1, quindi re_introducendo t, si risolve “mnemonicamente” sostituendo al posto di “t”_storico=t_old=tau(se si volesse etichettare coerentemente)=k*t.

Ma la sostituzione deve avvenire solo in corrispondenza di tpunto0_old=k*tpunto0, proprio per ciò che dice la matrice gamma(alfa, beta)! (#)
(#)
(come stato finale associato alla luce).

Se infatti si sostituisse in tduepunti_old si andrebbe avanti ed indietro tra S2 & S1 sbagliando di centrare lo stato iniziale e lo stato finale che invece sono chiari nella forma con massa e 4 variabili, e la forma senza massa con 3 variabili (il fotone) che però deve essere raggiunta, come forma, in un stato tendenziale quando v -> c.

E tale stato finale, deve portare a zero la prima delle equazioni di Einstein che usano Christoffel, a descrivere che il tempo non varia già alla derivata prima rispetto a ds(°), e a fortiori anche rispetto alla derivata seconda, tpduepunti (che è nella prima equazione).
(°)
Ciò che non varia nella derivata prima rispetto al tempo di campionamento ds, è il tempo misurato in S2 sul footne, che non invecchia, nel modello ideale.

++

Nota Bene (stop)
(20.06.2018, ore 23.30).

 

TESI (1° Tufano’s Theorem):

Le mappe in S2, vanno modificate con l’introduzione di una nuova forma di Fermat, (quella originaria era su Amadori pag 99 cap. 4, vedi foto che segue). La nuova forma sarà detta k_Fermat, in cui esistono due “pesi” k & kQ che alterano il comportamento del tempo al variare della velocità.

Si potrà ottenere la nuova forma sostituendo a quella “classica” che ha la massa

$tpunto0 (classica) -> $k*$punto0 (new); in riferimento al software.

La nuova forma k_Fermat, infatti, è la seguente (trascurando per ora l’angolo teta),
intendendo $kQ=$k^2 ..

(1) equazione:

$tduepunti0=-($rg/($r0*($r0-$rg)))*$k*$tpunto0*$rpunto0;

(2) equazione:

$rduepunti0=-($c*$c*$rg*($r0-$rg)/(2*$r0*$r0*$r0))*$kQ*$tpunto0*$tpunto0+($rg/(2*$r0*($r0-$rg)))*$rpunto0*$rpunto0+($r0-$rg)*$fipunto0*$fipunto0;

(3) equazione:

$fiduepunti0=-(2/$r0)*$rpunto0*$fipunto0;

dove

$rpunto1Q = $rpunto1*$rpunto1;

$beta1Q = $rpunto1Q/$cQ;

$kQ=(1-$beta1Q);

$k = sqrt($kQ);

 

Dimostrazione N°1 della TESI:

 

Le espressioni precedenti sono tratte dal software da noi utilizzato per le verifiche e che sarà disponibile nel prossimo articolo, pubblicato qui su questo blog.

Inoltre nella forma analitica si può confrontare la forma “standard/storica” pg.99 nella (4.25) seguente (dove però non ci sono i valori di $k & $kQ che porteranno alle semplificazioni finali mostrate da Amadori pag. 106 nella 4.28)

 

ERRATA:

Si noti che porre:

Mappa in S2 (sistema “remoto”)

x1’=ct
x2’=r(t)
x3’=teta(t)
x4’=fi(t)

.. sul sistema “remoto” è errato.

CORRIGE:

Solo ponendo

x1’=c*[tau(t)]
x2’=r([tau(t)])
x3’=teta([tau(t)])
x4’=fi([tau(t)])

realizza una “proiezione” dallo Spazio S1 -> S2.

Infatti il tempo

  • nello spazio S1 va misurato in t
  • nello spazio S2 va misurato in tau
  • altrimenti abbiamo un cambio di variabili indistinguibile (rif. x1 -> x1′).
  • poiché andremmo da x=c*t -> x’=c*t
  • infine, vedremo, come è possibile riproporre la forma Amadori & Lussardi, operando un nuovo cambio di variabili, ma ciò introdurrà dei coefficienti di alterazione della forma “standard/storica” (k & kQ) che utilizzeremo per introdurre il “transitorio” tra la forma massiva a bassa velocità e quella massiva ad alta velocità (v -> c) che poi diviene quella che elimina totalmente la variabile t, come anche Amadori & Lussardi, quando m=0, nel caso della luce.

Dimostrazione delle gij

La dimostrazione che si possono ottenere le gij con il calcolo tensoriale proprio nella forma in tau è al link seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Ci sono però delle novità che si possono apprezzare nella riproposizione del suddetto articolo nella “Dimostrazione N° 5 (che aggiungeremo in fondo al presente articolo) ..

Da cui anziché avere nella variabile t:

$tduepunti0=-($rg/($r0*($r0-$rg)))*$k*$tpunto0*$rpunto0;

$tduepunti0 + ($rg/($r0($r0-$rg)))*$tpunto0*$rpunto0=0 
(vedi 4.25 pag.99 Amadori)

Avremo nella variabile tau:

$tauduepunti + ($rg/($r0($r0-$rg)))*$taupunto0*$rpunto0=0 
(vedi 4.25 pag.99 Amadori)

Solo dopo un nuovo cambio di variabile diverrà di nuovo in t pur rimanendo in S2, ma introducendo il termine correttivo $k, se ci limitiamo alla prima geodesic_eq:

$tduepunti0=-($rg/($r0*($r0-$rg)))*$k*$tpunto0*$rpunto0;

Vediamo come questo può essere, nel riportare nella misura in t (segue) ..

IPOTESI N.4:

sia la famosa formula di Lorentz
(anche nella relatività speciale di Einstein):

d[t]/d[tau]=1/rad(1-v^2/c^2)=gamma=1/k

(fonte on line: https://it.wikipedia.org/wiki/Fattore_di_Lorentz)
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz

equivalente (alle differenze finite) a

t=tau*gamma=t(tau)=tau/k

se
delta(t)=t-t0=t
delta(tau)=tau-tau0=tau

Ma anche
tau=tau(t)=t/gamma=k*t

ip4: tau/t=1/gamma=k

che chiameremo “inversione di misura”.

Ora in ..

tauduepunti0 + (rg/(r0(r0-rg)))*taupunto0*rpunto0=0
(vedi 4.25 pag.99 Amadori)

sostituiamo al posto di taupunto0=k*tpunto0

con la convenzione di riferirci dopo di questa modifica al tempo non più come tau, ma bensì come t, potremo scrivere, grazie al fatto che le variabili sono tra loro indipendenti, e per lo studio della matrice gamma(alfa, beta) pag. 106 cap4 Amadori/Lussardi:

 

(tduepunti0) + (rg/(r0(r0-rg)))*(k*tpunto0)*(rpunto0) = 0

 

poiché ora la quadrupla non è più in tau, ma in t.

ciò dimostra che al posto delle espressioni ordinarie “classiche” delle geodesci_eq

laddove troviamo tpunto dobbiamo sostituire k*tpunto.

dove k=rad(1-rpunto0^2/c^2) avendo posto v=rpunto0

e la modifica porterà alla forma di Fermat quando v -> c, poiché il k ->0

cvd.

more info:

“Dimostrazione N° 5 (che aggiungeremo in fondo al presente articolo) ..

In cui si potrà apprezzare che se la metrica con tau (essendo tau=kt) non è la stessa “nei coefficienti della matrice G'(di S2) = [gij’] “.. allora ciò cambia i coefficienti di Christoffel che sono associati alle equazioni. Tuttavia, fatte tutte le sostituzioni, anche delle variabili che siano mutate, ritornerà la _stessa_forma_ già vista, eccetto la correzione sul tempo, grazie a tau=k*t, ma questa volta senza l’ambiguità di avere due volte la variabile t, ma in tau.

 

 

Dimostrazione N°2

 

della K_Fermat’s geodesic_eq

Nello studio dell’orbita dell’elettrone che precipita sul protone si potrebbe usare la forma “standard/storica” delle geodesic_ equ e si condizionerebbe la caduta dell’elettrone solo alla forza di attrazione sviluppata dal campo di Coulomb, come già al link seguente:

Deterministic Orbit of H (Hydrogen): TUFANO’s 3rd theorem [*Mathematics*]

ma poiché la massa dell’elettrone nella caduta raggiunge la velocità della luce .. la dinamica non può essere descritta né dalla sola forma completa “standard/storica” delle geodesic_eq con una massa stazionaria, e né da una forma di un elettrofotone senza massa! .. poiché il processo di trasformazione alla perdita della massa è graduale! .. infatti come si può controllare sul mio articolo “stroboscopia del plasma” al link seguente:

STROBOSCOPIA DEL PLASMA [studio]

la massa che scompare durante un processo di fusione vede la espressione:

m0(tf)=m0(ti)*k=m0(ti)*rad(1-v^2/c^2)

ovvero la massa iniziale, in ti, va a zero in tf, se in tf v=c.

Dunque -ed invece- se si utilizza la k_Fermat forma dovuta a Tufano, si immette anche la forza antagonista che noi chiamiamo forza di Mach. Ovvero la tendenza per i fotoni di avere la forza di allontanarsi da un buco nero se la loro traiettoria è maggiore del raggio di Schwarzschild.

Tale forza puramente senza massa, in un fotone, non è totalmente senza massa in un “elettrofotone” che tenda a disintegrarsi sul protone del nucleo atomico.

Quindi necessiterà studiare la sua forza antagonista che non lo trasformerà totalmente in energia nel precipitare proprio avendo introdotto i termini k e kQ=k*k, nelle geodesic equations.

Come mostrerò in un prossimo articolo(vedi link seguente), che è in fase di pubblicazione su questo blog, l’elettrofotone si stabilizza ugualmente al raggio di Sch. .. ma lo fa tramite un bilancio di forze poiché la perdita di massa e la condizione di essere fuori dal raggio di Sch. nella dinamica G’ dovuta a Coulomb, visto che rs=2G’mp/c^2 ..

 

link all’articolo elettrofotone:
https://6viola.wordpress.com/2017/07/07/new-h-deterministic-orbit-of-h-hydrogen-th-16/

 

  • da un lato conferma l’orbita stabile in rs
  • dall’altro ciò avviene nonostante l’elettrone e che si comporta come un elettrofotone:

Infatti l’orbita di equilibrio è dovuta a due forze antagoniste:

  1. la forza di Coulomb che fornisce una sorta di campo gravitazionale
  2. la forza di Mach che riducendosi la massa introduce una forza ANTI_gravitazionale, la stessa forza che consente se m=0 ai fotoni di fuggire dalle stelle o dai BH, purché r > rs (raggio di Sch.)

 

Dimostrazione N°3

 

Come è noto ..

Etot=m*c^2; dove m=m0/rad(1-v^2/c^2)

Anche se la massa nei fenomeni di fusione si comporta come

m=m0*rad(1-v^2/c^2)=m0/k e quindi va a zero se v->c

e la massa m0 compare solo come valore numerico nella espressione

energy=m0*c^2

.. dopo essere scomparsa come massa e comparsa come equivalente energetico.

Analogamente .. è noto ..

t=tau/rad(1-v^2/c^2)=tau/k

come si vede la struttura matematica è identica nel fatto che

.. da un lato la massa scompare (m=0 if v -> c)

.. dall’altro il tempo, t, misurato sul fotone non scorre (t=0 if v=c) come se fosse divenuto immortale.

Sfruttando questa simmetria, la contrazione temporale ha una corrispondenza con la contrazione massiva!

Se la fenomenologia di Fermat non è on/off, ma graduale, deve quindi esistere una contrazione dei tempi sul sistema mobile, che porti che il gemello giovane che ha viaggiato .. torni sempre più giovane man mano che v -> c.

Matematicamente ciò si realizza proprio grazie al “pesare” il tempo tramite k nella forma k_Fermat, qui discussa.

cvd.

 

Dimostrazione N°4

 

Nella misura del tempo dei muoni, tramite la formula seguente:

t=tau/k

k = rad(1-v^2/c^2) non si misura al variare di v, ma supponendo una velocità media che modifica la metrica della misura del tempo tra i due sistemi inerziali (laboratorio e sistema solidale con la “particella”)

In definitiva, accelerare a diverse velocità v, mostra tempi di “vita media” diversi.

Ma è la permanenza v=v0 che è decisivo a mostrare la trasformazione temporale.

VICEVERSA .. una trasformazione a una velocità molto bassa (v << c) come la simulazione delle orbite dei pianeti, preso il Sole come sistema di riferimento, per il calcolo della velocità (poiché una velocità richiede sempre specificare rispetto a quale sistema di riferimento) ..

.. mostra che i termini correttivi (della forma standard/storica delle geodesic_eq) -qui discussi- e cioé k & kQ divengono irrilevanti finché v << c.

Ma la simulazione delle Fermat_equ (con massa m=0) sono state da noi simulate positivamente anche per trovare “l’orlo esterno di U1 (il nostro universo)” riconfermando i 47 miliardi di Anni Luce, della radiazione CMB (cosmologica di fondo).

Ad esempio nell’articolo seguente ..

“TEORIA della struttura di U1”: una teoria “ALTERNATIVA” alla vecchia “Teoria del Big Bang” (TH-13)

E quindi la forma di Fermat, quando m=0, e dunque per i fotoni, ha ampie conferme, come ad esempio il calcolo dell’orbita di un fotone quando gira attorno a un BH (buco nero, come nell’articolo seguente:

Quantum in General Relativity

Mancava, alla trattazione matematica, la forma intermedia, e qui è stata introdotta.

cvd.

 

Dimostrazione N°5

 

pg.1

pg.2

pg.3

rif. pg.5 del 9-06-216 al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

pg.4

 

Si deve notare che il cambio di variabile da t -> tau sarebbe irrilevante (§) se non aggiungiamo come varia la metrica nella matrice G’ in S2. A “cascata” .. avere cambiato G’ altera la forma dei “coefficienti di Christoffel” .. e la interazione dei coefficienti di Cristoffel con la nuova forma delle variabili .. altera la struttura delle equazioni di Einstein secondo Christoffel.
(§)
(sebbene migliori la “distinguibilità” tra la variabile del tempo in S1, che è t, e la variabile in S2 che è tau).

La propagazione di queste modifiche localmente a tpunto_old, cambiato in tau, lascia la stessa forma.

Una conferma di ciò nelle successive dimostrazioni e in particolare alla dimostrazione 7 al link seguente:

https://6viola.wordpress.com/2017/07/23/k_fermats-geodesic_equations-mathematical-proof-6-7/

aggiornamento del 13 agosto 2018, ore 15.32:
vedi:
https://6viola.wordpress.com/sciencet/

ultima versione:
13 agosto 2018, ore 15.32:

 

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