Godel & Christoffel [Mathematics]

Ci apprestiamo ad esplorare, nell’articolo attuale, la espressione da dare alle geodesic_equation, ed in particolare grazie alla esplicitazione dei coefficienti di Christoffel.

Per chi non conosca la materia, metto un link:
https://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Christoffel

Cito anche la versione inglese che è più documentata:
https://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols

Infine, come preliminari, un mio articolo sul tema coefficienti di Christoffel:
https://6viola.wordpress.com/2016/10/29/christoffel_symbols-mathematics/

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Le equazioni proposte da Godel per il calcolo dei coefficienti di Christoffel Γ(i,j,k) sono le seguenti:

—

(continua)

 

Scriviamole nella nostra notazione:

Γ(i,j,k) vede

indice “i” come l’indice in alto

indice “j” come il primo indice in basso

indice “k” come il secondo indice in basso

Da cui le equazioni della tesi di Anfosso dalla (2.62) alla (2.65)
(consultabile on line)
https://www.academia.edu/12685125/Cosmologia_FLRW_Cosmologia_di_Godel_relativit%C3%A0_generale_

.. le scriveremo come segue: (vedi pag. 32, 41, 42)

(2.57) (d/ds){d/ds[xi’]} + ΣjΣk Γ(i,j,k) d/ds[xj’]*d/ds[xk’] = 0

—

i=0

(2.62)

—

(d/ds){d/ds[x0′]} + Γ(0,0,1) d/ds[x0′]*d/ds[x1′] +Γ(0,1,0) d/ds[x1′]*d/ds[x0′] + Γ(0,1,2) d/ds[x1]*d/ds[x2′] + Γ(0,2,1) d/ds[x2′]*d/ds[x1′] = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.62) (d/ds){(d/ds)[x0′]} + 2 {d/ds[x0′]}*{d/ds[x1′]} + [e^(+x1)]{d/ds[x1′]}*{d/ds[x2′]}= 0

essendo:

(d/ds){d/ds[x0′]} + 1 d/ds[x0′]*d/ds[x1′] +1 d/ds[x1′]*d/ds[x0′] +
+[e^(+x1)]/2 d/ds[x1′]*d/ds[x2′ ] +[e^(+x1)]/2 d/ds[x2′]*d/ds[x1′] = 0

(2.19) Γ(0,0,1) = 1

(2.19)’ Γ(0,1,0) = 1

(2.20) Γ(0,1,2) = [e^(+x1)]/2

(2.20)’ Γ(0,2,1) = [e^(+x1)]/2

—

i=1

(2.63)

—

(d/ds){d/ds[x1′]} + Γ(1,0,2) d/ds[x0]*d/ds[x2′] +Γ(1,2,0) d/ds[x2′]*d/ds[x0′] + Γ(1,2,2) d/ds[x2′]*d/ds[x2′] = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.63) (d/ds){(d/ds)[x1′]} + 2 {d/ds[x0′]}*{d/ds[x2′]} + [e^(+2×1)]{d/ds[x1′]}*{d/ds[x2′]}= 0

essendo:

(d/ds){d/ds[x1′]}+{[e^(+x1)]/2}d/ds[x0′]*d/ds[x2′]+{[e^(+x1)]/2}*d/ds[x2′]*d/ds[x0′]+[e^(+x1)]/2 d/ds[x2′]*d/ds[x2′ ] +[e^(+x1)]/2 d/ds[x2′]*d/ds[x1′] = 0

(2.20) Γ(1,0,2) =[e^(+x1)]/2

(2.20)’ Γ(1,2,1) =[e^(+x1)]/2

(2.21) Γ(1,2,2) = [e^(+2×1)]/2

—

i=2

(2.64)

—

(d/ds){d/ds[x2′]} + Γ(2,0,1) d/ds[x0′]*d/ds[x1′] +Γ(2,1,0) d/ds[x1′]*d/ds[x0′] = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.64)
(d/ds){(d/ds)[x2′]} + 2[-e^(-x1) {d/ds[x0′]}*{d/ds[x1′]} = 0

essendo:

(d/ds){d/ds[x2′]}+{-[e^(-x1)]}d/ds[x1′]*d/ds[x0′]+{-[e^(-x1)]}*d/ds[x0′]*d/ds[x1′] = 0

(2.22) Γ(2,0,1) =-[e^(-x1)]

(2.22)’ Γ(2,1,0) =-[e^(+x1)]

—

i=3

(2.65)

—

(d/ds){d/ds[x3′]} = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.65)
(d/ds){(d/ds)[x3′]} = 0

essendo:

Γ(3,i,j) = 0

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Abbiamo preso nell’incipt precedente la ultima parte del precedente articolo per collegarci ora a quanto segue ..

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La forma di Christoffel delle Geodesic_equation

(rif. Universo di Godel)

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Dal punto di vista del sistema delle geodesic_equation le variabili indicate sono quelle nello spazio S2 (t,r,fi,z), ed è irrilevante la alterazione per una costante tra la scelta di Hawking & Godel.(*)
(*)
more info:
https://6viola.wordpress.com/2017/02/11/godels-metric-mathematics/

C’è però una notazione da aggiungere per una simulazione software realistica:
.. il fatto che la y indicata da Godel .. corrisponde all’asse z, e la y citata da Hawking come

y=rad(2)*w*sin(fi), compare come x2 in Godel.

Si osservi la espressione tra S1 & S2, dell’articolo di Godel, seguente:

x2*e^(x1)=rad(2)*[sin(fi)]*[sh(2r)]

applichiamo la trasformazione seguente:

(rad(2)*wy)*e^(x1)=x2*e^x1=rad(2)*[sin(fi)]*[sh(2r)]

.. si scopre quale sia il valore di x2 secondo Hawking.

.. infatti Hawking scrive nel suo articolo:

wy*e^[rad(2)wx]=[sin(fi)]*[sh(2r)]
ma ciò è equivalente a scrivere:

(rad(2)*wy)*e^(x1)=rad(2)[sin(fi)]*[sh(2r)]=espressione di Godel!

da cui enucleando:
(rad(2)*wy)=x2
x2*e^(x1)=rad(2)[sin(fi)]*[sh(2r)]=espressione di Godel!

quindi tutte le variabili di Hawking sono alterate in S1 per il fattore “[rad(2)]*w”

x0_H=[rad(2)]*w*t
x1_H=[rad(2)]*w*x
x2_H=[rad(2)]*w*y
x3_H=[rad(2)]*w*z

Mentre in S2:
x0’_H=t
x1’_H=r
x2’_H=fi
x3’_H=z

con
x=r*cos(fi)
y=r*sin(fi)
in coordinate cilindriche.

Il fatto che Godel ponga:
x3’_G=2y=z

NON altera la rappresentazione nelle geodesic_equation.

E la diversa base di Godel può essere trasformata a posteriori se cercata nella forma di Hawking.

Dunque scriviamo le geodesic_equation nella forma di Hawking come segue:

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errata (a pag. 7 seguente): “inoltre in S2 Hawking pone ds^2=(1/w)*(-dt^2)+..”
corrige: (a pag. 7 seguente): “inoltre in S2 Hawking pone ds^2=(1/w^2)*(-dt^2)+..”

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in pagina 8 seguente:
errata: (2.63) = (1/2)e^x1
corrige: (2.63) = e^x1
infatti .. 1/2 + 1/2 = 1 (a pagina seguente della 8, e cioé a pagina 9 .. l’errore è stato corretto e non si è propagato).

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versione 9:59 del 23.02.2017