Godel’s Metric [Mathematics]

Discutendo su Facebook, un paio di giorni fa (oggi, quando inizio a scrivere è il 1 febbraio 2017) .. ho appreso l’esistenza di questa trattazione del “GRANDE”(*) matematico Kurt Godel in merito alle geodesic_equation di Einstein.
(*)
Il perché del titolo “GRANDE”(**)(***) .. risiede nel fatto che oggi, 13 febbraio 2017, ore 9:28, ho completato la dimostrazione che anche la sua rappresentazione matriciale in S2 è esatta, ma rispetto ad una base, in S2, diversa da quella proposta da Hawking ed Ellis: si veda la dimostrazione al termine del presente articolo etichettata come “Le equazioni proposte da Godel per il calcolo dei coefficienti di Christoffel Γ(i,j,k)”
(**)

La seconda parte -della dimostrazione- al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/02/14/godel-christoffel-mathematics/
(***)
la terza parte -della dimostrazione- al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/02/19/godels-universes-software-physics/
(mostra alcune -chiamiamole- “difficoltà” nella rappresentazione di Godel: già segnalate ad esempio da Enrico Fermi).

(continua)

Come ho detto in altre occasioni .. la matematica ha due approcci principali:

  1. una sorta di metodo intuitivo, quasi karismatico, in cui potrebbero interessarsi di matematica solo una sorta di “illuminati” .. e mostrarci delle meraviglie, come il teorema di Pitagora, ma senza che si possa capire come mai qualcuno si alza la mattina e di punto in bianco scrive il teorema di Pitagora.
  2. un metodo deduttivo, che tutti possono capire, che mostra il “cammino logico” per cui da una affermazione che misura dei fatti, si può dedurre un nuovo scenario prima estrapolato con la logica, o anche con la logico_matematica, e poi con la conferma sulla misura di fatti sperimentali.

Faccio questa citazione, su due tipi di impostazione dello studio della matematica, perché Godel nel suo articolo che affronta l’argomento “geodesic_equation”, che stiamo trattando, NON spiega il percorso logico con cui (Godel) abbia trovato la sua soluzione delle geodesic_equation. Ma spiega, invece, cosa descrive la implementazione della sua soluzione.

Anzitutto, quindi ..

  • (PRIMA PARTE) va verificata la consistenza della sua trattazione sulla matematica delle geodesic_equation.
  • (SECONDA PARTE) successivamente, noi, faremo una verifica della sua -di Godel- trattazione grazie ad un software di simulazione (rinvio, per ora, ad un successivo articolo, a causa dei problemi che fortunatamente -dopo 11 giorni- sono stati risolti).

PRIMA PARTE:

Le fonti?

Esamineremo più fonti importanti:
Anzitutto le due seguenti:

1) l’articolo originale di Godel dove propone la sua esposizione:

An Example of New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Filed Equation of Gravitation KURT GODEL Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey
http://fuchs-braun.com/media/91ac4f6879c27351ffff8191fffffff0.pdf

2) la tesi di laurea seguente:

Relativita Generale, Cosmologia0

FLRW e Cosmologia di Godel

Andrea Anfosso

reperibile on line al link seguente:
https://www.academia.edu/12685125/Cosmologia_FLRW_Cosmologia_di_Godel_relativit%C3%A0_generale_

Partiamo dall’esame dell’articolo -quindi- di Godel, sopra citato.

Notare che esistono -nella trattazione di Einstein- due Spazi:
S1:
che -in genere- è il nostro spazio Euclideo:

Se fosse, tale Spazio S1, a due dimensioni (su un piano) direbbe il teorema di Pitagora:

(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2 (ipotesi coordinate cartesiane: x&y)

dove
dx, dx sarebbero i cateti di un triangolo rettangolo.
ds sarebbe la ipotenusa.

Si noti che vale anche in 3 dimensioni spaziali in modo visualizzabile:

(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2

La relazione precedente, storicamente, era ad indicare con “d” una distanza tra due punti.

Quindi, Dx=x-x0, Dy=y-yo, etc.
Ma con il calcolo infinitesimale si ipotizza che D possa essere diminuito a piacere, da cui si usa, dopo Leibniz, la notazione con “d” piccolo, anziché D grande.

https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Leibniz

Se inoltre scrivessimo:

ds =rad[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

staremmo indicando la distanza tra due punti, nello spazio a 3 dimensioni:

il primo di coordinate:

P0=(x0,y0,z0)

il secondo di coordinate generiche:

P=(x, y, z)

entrambe questi due punti sarebbero stati descritti in S1.

La relazione di Pitagora, però, vale qualunque sia il numero di dimensioni, purché si conservino le proprietà che nel piano sono quelle di avere un triangolo rettangolo, e nello spazio ad “n” dimensioni quelle di ortogonalità dello spazio di rappresentazione per una base vettoriale presa a riferimento, detta in particolare “ortonormale”.

Accenniamo che ciò significa che i singoli “vettori”, detti versori, su cui è misurata la evoluzione spaziale, detti (nel loro complesso) “base versoriale” .. debbono dare una vera indicazione non desumibile dalla restante collezione della base. Condizione che anche si dice di “indipendenza”.

Da cui nell’estendere alla misura del tempo lo spazio tridimensionale, si crea il problema se il tempo sia una misura indipendente dallo spazio.

Cioè, si può scrivere ..

v=(t,x,y,z) ?

oppure si deve scrivere ..

v=[x(t), y(t), z(t)] ?

In linea di massima, se io immagino 4 dimensioni (t,x,y,z), disponendo di un righello e di un cronometro, potrei benissimo usare l’approccio di considerare le 4 dimensioni “indipendenti” mentre eseguo delle misure!

Infatti ..

Supponiamo di avere un gas composto di H2 (molecole biatomiche di idrogeno) e seguire una molecola in particolare, ad esempio .. una unica molecola di He (elio).

L’approccio numero 1:

Colleziono per una data posizione, se He passa di lì, nello scorrere del tempo. E –supponendo che lo spazio ed il tempo non siano legati– potrei anche aspettare miliardi di anni e non vedere MAI transitare He nella posizione monitorata.

L’approccio numero 2:

Colleziono NON una data posizione di He, ma la sua evoluzione spazio&temporale! .. secondo il vettore v=[x(t), y(t), z(t)].

Potrei verificare che la traiettoria non è coerente con nessuna legge predittiva! .. poiché gli urti con le altre molecole continuano a fare rimbalzare la molecola di He in modo apparentemente kaotico .. e quindi in mancanza di informazioni di una legge oraria, potrei dire che quel moto è NON deterministico, e anzi ipotizzare che lo spazio occupato dalla molecola non è legabile con una legge all’andamento temporale!

Ma in particolare -nei moti gravitazionali- è così?

No, perché un punto materiale, come, ad esempio, un pianeta mostra un andamento periodico di ripercorrere la propria orbita, sebbene tenda a modificare la orbita successiva rispetto a quella precedente a causa della attrazione gravitazionale (reciproca) tra a massa maggiore M e la massa minore m. Oppure per altre cause che per il momento trascuriamo.

E’ superabile questa difficoltà sulla base di rapprentazione?

A nostro avviso solo se si ipotizza di potere uscire dal vincolo di insuperabilità della velocità della luce.

Altrimenti le condizioni di ortonormalità da imporre sui tensori per il calcolo delle matrici di rappresentazione tra gli spazi .. “non sono sempre risolvibili per via diretta” .. secondo la trattazione di Ricci Curbastro e Levi Civita.

Una verifica di quanto appena detto al link seguente:

titolo:

il TEMPO è una dimensione indipendente dallo spazio? (Mathematics: SCHWARZSCHILD)

https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Quindi ci sono delle questioni di “interpretazione” del concetto di tempo e di spazio che non andavano “sottovalutate” .. e che si riverberano sul fatto che

  • La soluzione dei moti gravitazionali di Einstein detta “geodesic_equation” è un “sistema di equazioni integro/differenziali alle derivate parziali *in forma implicita* & *in modo strutturale*” e _non_risolvibile_(il sistema)_per_via_diretta in forma chiusa!_ proprio perché i paradossi temporali sono causati dal fatto che .. “la base di rappresentazione NON è propriamente ortonormale”.
  • Il sistema “geodesic_equation nella forma di Christoffel” ..  è risolvibile .. ANCHE essa rappresentazione ->”per via indiretta”.
  • Infatti un calcolo alle differenze finite elimina i loop temporali.

Nota Bene: per “via indiretta” intendiamo il concetto di calcolare la soluzione direttamente dalla forma differenziale, linearizzata, e alle differenze finite. Tale tecnica una volta che siano note le geodesic_equation, elimina i loop temporali, grazie a una impostazione alle differenze finite che equivale ad una quantizzazione del reale.

Per una facile verifica di quanto appena detto si esamini la formula di Lorentz seguente:

D(t)=t-t0=D(tau)/rad[1-v^2/c^2]

la formula così scritta sembra non avere nessun problema.

Sembra che basti scegliere un v=v0

e dato un tempo misurato sul sistema remoto D(tau)=tau-tau0

si può calcolare il delta temporale causato dal moto inerziale.

Ma se la scriviamo così ..

D(t)=t-t0=D(tau)/rad[1-v(t)^2/c^2] ?

Se la scriviamo come sopra ..

si capisce che per calcolare un tempo serve sapere la velocità .. ma per calcolare una velocità serve un tempo .. ed il loop .. è risolvibile solo fissando una velocità ad un valore circa costante in un t=t0 -> v(t0)=costante, in un suo intorno (di t0), e che sia considerabile “circa stabile” fino al successivo valore ricercato “t1”.

Se conosciamo allora v(t1)=v1 possiamo calcolare, in un intorno di t1:

D(t)=t-t1=tau-tau1/rad[1-v(t1)^2/c^2]

E questo di “tenere in valori circa costanti in un certo t=ti” è PROPRIO quello che fa il calcolo alle “Differenze Finite”!

Quindi quando Schwarzschild annunciò di avere trovato una soluzione (la prima in ordine di tempo) alle “geodesic_equation” ed in particolare in coordinate sferiche .. gli scienziati fecero un balzo sulla sedia ..

Perché oramai di trovare una soluzione esplicita alla forma implicita delle “geodesic-equation” .. non ci sperava più nessuno ..

Infatti .. per via diretta il calcolo tensoriale è spesso singolare .. come già detto .. e quindi ..

  1. trovare la matrice del nuovo spazio ad esempio in coordinate cilindriche (come quella di Godel) anziché sferiche (come quella di Schwarzschild) è NON frutto di calcolo diretto tramite i tensori utilizzati in modo ordinario. Perché necessita superare le singolarità tensoriali, come ad esempio nell’uso della matematica dei tachioni, come nella dimostrazione per via esplicita, da me eseguita al link seguente: https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/
  2. trovare i coefficienti di Christoffel che sono relazionati nello spazio S2, ma anche trovare le variabili di S2 relazionate con lo spazio S1, non è immediato: poiché in S2 si deve dimostrare che un elemento di “ds^2”, in S1, ha lo stesso valore di “ds^2” in S2.

Infatti le rappresentazioni nei due spazi sono legate dalle relazioni seguenti:

in S1 (ad esempio spazio locale al laboratorio):

(1) (ds)^2= Σi Σj gij*(dxi)*(dxj)

in S2 (ad esempio spazio remoto al laboratorio, come su un diverso pianeta)

(2) (ds)^2=Σi Σj g’ij*(dx’i)*(dx’j)

E -dunque- deve essere, uguagliando la (1) & la (2)

Σi Σj gij*(dxi)*(dxj) = Σi Σj g’ij*(dx’i)*(dx’j)

Quindi c’è modo, a posteriori, di verificare se lo spostamento “ds”, nella misura di (ds)^2, che avviene in S1, sia lo stesso -come distanza- a quello avvenuto in S2, e dunque se i due spazi sono duali, nel senso che rispettano questa proprietà di avere lo stesso ds^2, sebbene in coordinate misurate su basi diverse (la prima base in S1, la seconda base in S2).

Le basi diverse, naturalmente, possono essere relazionate.

Ad esempio una base (x,y,z,t), cartesiana, può essere relazionata con una base in coordiante sferiche (r,teta,fi,t). (Questo è il caso di Schwarzschild).

Se per puro divertimento 🙂

volessimo calcolare una rappresentazione in coordinate “cilindriche” anziché “sferiche” sarebbe dunque possibile?

Il problema come appena enuciato -> “sarebbe malposto”, poiché nella “trasformazione” dovremmo ipotizzare se il secondo sistema, S2, è un sistema _reale_ oppure immaginario, rispetto ad S1.

Da cui, grazie alla impostazione di Schwarzschild (come soluzione), è perfettamente possibile avere una “traduzione” di S2 in coordinate cilindriche anziché sferiche.

Ma la nuova rappresentazione, in coordinate cilindriche, non ci direbbe nulla di nuovo rispetto a quella in coordinate sferiche! .. se non perché usa un metodo di rappresentazione di un diverso tipo.

A meno che, nella trasformazione, anziché “una matrice simile alla unità”(*), come fa Schwarzchild in S1, non si usi la vera matrice ipotizzata in S1, da cui parte Godel.

(*)
intendiamo la nota matrice, G=[gij], di Minkowski:
rappresentazione di Minkowski:
https://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo_di_Minkowski

in S1 (ad esempio spazio locale al laboratorio):

(1) (ds)^2= Σi Σj gij*(dxi)*(dxj)

Ma ritorniamo a Godel:

Godel relaziona due sistemi, S1 & S2, come è nella metodologia della fisica di Schwarzschild. Ma mentre Schwarzschild si riferisce a due sistemi che esistono, il primo, S1, a velocità del laboratorio (e trascurabile rispetto a v=c), il secondo, S2, a velocità anche prossima a quella della luce .. Godel immagina due “Spazi” che in matematica si dicono “Spazi_astratti”. Spazi_astratti da che? .. dalla realtà.

Se è pur vero, che egli, Godel, consente uno stato di misura, in S2, in coordinate cilindriche, de facto, inserisce in G’=[gij’], che è la matrice dello spazio S2, dei funzionali ipotetici che non hanno corrispondenza nel reale, ma solo in ipotesi che l’universo U1 (il nostro) non si espanda, mentre -invece- ciò accade (visto il premio nobel del 2011 per la dimostrazione della espansione del cosmo).

http://www.asi.it/it/news/il-nobel-per-la-fisica-2011-torna-alla-cosmologia

Quindi la rappresentazione di Godel non è una osservazione matematica della fisica NATURALE, ma artificiale, e difatti le “MAPPE di corrispondenza” delle coordinate NON sono più delle funzioni ma dei funzionali che non corrispondono alla caratteristiche della misura del cosmo.

Serviva alla proposta di Godel, per entrare nella fisica, UNA METODOLOGIA(*), e non una mera ipotesi, o serie di ipotesi, astratte. Ma che spieghi come le ipotesi possano essere applicate per una verifica nella fisica.
(*)
E’ questa la principale ragione per cui dal punto di vista professionale c’è una separazione tra un laureato in matematica e un laureato in ingegneria: il fatto che un ingegnere ha la capacità di esprimere una “metodologia” che potrebbe essere implementata anche da una macchina, e quindi anche senza che la macchina debba spiegarsi o intuire dei passaggi, che anziché sottointesi, vanno _sempre_ esplicitati in un protocollo che riguarda la _fisica_, quando il procedimento è OGGETTIVO.

Per verificare un simulatore versus il passato o il futuro, basato sulla fisica del cosmo, cito il mio articolo seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/04/11/time-machine-past-future-mathematics/

Dunque ora che abbiamo chiarito cosa ci possiamo aspettare dalla trattazione di Godel, procediamo a entrare nel dettaglio del suo articolo:

il cosiddetto “elemento di linea in S1”? (Godel lo chiama S)

(Godel_1) (ds)^2=Godel_1_parametrica=
a^2{(dx0)^2 – (dx1)^2 + [e^(2×1)]/2]*(dx2)^2 – (dx3)^2 + [2e^(x1)]*(dx0)*(dx2)]}

Essendo che Godel ci da anche la rappresentazione G=[gij] in cui

(1) (ds)^2= Σi Σj gij*(dxi)*(dxj)

possiamo moltiplicare gli elementi della matrice e verificare se la espressione “Godel 1” qui sopra è esatta.

Infatti noti i valori della matrice G=[gij] in S1: premoltiplicata per a^2

g00=+1
g11=-1
g22=+[e^(+2×1)]/2
g33=-1
g20=e^(+x1)
g02=e^(+x1)

.. basterà sostituire, gij, in (ds)^2 tramite il calcolo matriciale:

(dx0, dx1, dx2, dx3)[gij](dx0, dx1, dx2, dx3)^(trasposta)

alla nostra verifica (sostituendo i valori sopra citati di G) .. si ritrova l’elemento lineare affermato da Godel con la formula “Godel_1”.

Quindi la rappresentazione matriciale di Godel & “l’elemento di linea di Godel” sono coerenti!

cvd.

Ma ci manca di capire a cosa si riferisca la base (x0,x1,x2,x3) di S1.

In ciò ci aiutano le seguenti espressioni che Godel mette nel suo articolo, 449:

x1:
e^(x1)={ch(2r) + [cos(fi)][sh(2r)]}=f1(r,fi)

x2:
x2*e^(x1)={rad(2)*[sin(fi)][ch(2r)]}=f2(r,fi)

x0:
tg[fi/2 + (x0-2t)/2rad(2)]={[e^(-2r)][tg(fi/2)]}=f3(r,fi,t)

x3:
x3={2y}=f4(y); ovvero (x3)/2=y dove la y è usata per l’asse zeta

Da cui esiste una base cilindrica in S2 = (x0′,x1′,x2′,x3′)

dove

base in S1=(x0,x1,x2,x3)
base in S2=(x0′,x1′,x2′,x3′)

Per verificare se -ANCHE IN S2- le posizioni sono coerenti (TRA LA FORMA MATRICIALE & LA FORMA ELEMENTO D LINEA), anche qui, come già fatto sopra necessita fare la seguente verifica in S2:

(2) (ds)^2=Σi Σj g’ij*(dx’i)*(dx’j)

(Godel 2) (ds)^2=? 

il cosiddetto “elemento di linea in S2”?

La espressione che Godel ci propone è la seguente:

Godel_2=
4*a^2*{(dt)^2 (dr)^2 -(dy)^2 + [sh^4(r)sh^2(r)](dfi)^2 + 2rad(2)[sh^2(r)(dt)(dfi)]}

Essendo che Godel ci da anche la rappresentazione [g’ij] in cui

(2) (ds)^2= Σi Σj g’ij*(dx’i)*(dx’j)

possiamo moltiplicare gli elementi della matrice e verificare se la espressione “Godel 2” qui sopra è esatta.

Infatti noti i valori della matrice G’=[g’ij] in S2: premoltiplicata per (1/a)^2

g’00=-1
g’11=-1
g’22=[(-2)e^(-2×1)]
g’33=-1
g’20=2e^(-x1)
g’02=2e^(-x1)

###

.. basterà sostituire, g’ij, in (ds)^2 tramite il calcolo matriciale:
(dx’0, dx’1, dx’2, dx’3)[g’ij](dx’0, dx’1, dx’2, dx’3)^(trasposta)

Godel_2_parametrica=

(ds)^2=
4*a^2*{[(dx’0)^2]g’00 + (dx’2)(dx’0)g’20 + [(dx’1)^2]g’11 + (dx’0)(dx’2)g’02 + [(dx’2)^2]g’22 + [(dx’3)^2]g’33}

Se ipotizziamo(*) una base in S2 = (x0’=t,x1’=r,x2’=fi,x3’=z)
(*)
COME HAWKING AND ELLIS (VEDI FOTO SEGUENTI)

dove in S2:
x0’=t=coordinata temporale.
x1’=r=raggio delle coordinate cilindriche (quindi sul piano x & y)
x2’=fi=l’angolo sul piano x & y
x3’=z=la terza coordinata cilindrica

ed inoltre

dove in S1:
x0=[rad(2)]*w*t
x1=[rad(2)]*w*x
x2=[rad(2)]*w*y
x3=[rad(2)]*w*z

dove
x0=[rad(2)]*w*t =x0 in S1 -> x0’=t in S2
x1=[rad(2)]*w*x=x1 in S1 -> x1’=r in S2
x2=[rad(2)]*w*y=x2 in S1 -> x2’=fi in S2
x3=[rad(2)]*w*z=x3 in S1 -> x3’=z in S2

dove
coordiante cilindriche significa:
t=t
x=r*cos(fi)
y=r*sin(fi)
z=z

in cui tali trasformazioni “ausiliarie” (rispetto a quelle parametriche in xi e xi’) sono dedotte dallo studio di Hawking ed Ellis nel loro articolo che abbiamo riportiamo nelle foto precedenti ..

Tali foto ci permettono di ricostruire non solo le relazioni in S1, S2 tra le variabili _fisiche_ che Godel NON aveva esplicitato! .. rispetto alle basi (x0,x1,x2,x3) & (x0′,x1′,x2′,x3′), ma anche che vi sono difformità di rappresentazione tra l’articolo originale di Godel & l’articolo di Hawking!, (entreremo in dettaglio su Hawking and Ellis nel seguito) *fortunatamente* non sugli “elementi di linea” in S1 & S2, ma sulla seconda matrice pag. 448 articolo di Godel(*) .. da cui esiste la possibilità di una interpretazione nella fisica .. (vedi seguito) ..

(*)
le foto dell’articolo di Godel sono nel seguito.

DIM:

Ecco l’articolo di Godel (segue) che è liberamente scaricabile gratuitamente on line al link seguente:
http://fuchs-braun.com/media/91ac4f6879c27351ffff8191fffffff0.pdf


pag.447:


pag.448:


pag.449:

Le espressioni che Godel ci propone, sono le seguenti:
Godel_1 (“elemento di linea in S1”)
(ds)^2=
a^2{(dx0)^2 – (dx1)^2 + [e^(2×1)]/2]*(dx2)^2 – (dx3)^2 + [2e^(x1)]*(dx0)*(dx2)]}

pag.447

Godel_2 (“elemento d linea in S2”)
(ds)^2=
4*a^2*{(dt)^2 (dr)^2 -(dy)^2 + [sh^4(r)sh^2(r)](dfi)^2 + 2rad(2)[sh^2(r)(dt)(dfi)]}

pag.449

Come si vede ANCHE nell’articolo di Hawking and Ellis non è citata la seconda matrice in S2, ma solo gli elementi di linea sia in S1 che in S2, poiché nella seconda matrice in S2, vi sono degli errori di rappresentazione che non rendono coerente l’elemento di linea associato e lo sviluppo matriciale!

In breve vi è una “difformità tra le rappresentazioni di Godel & Hawking”(*) nel coefficiente della matrice in S2, che chiameremo G’=[gij’]
(*) “se Godel -però- abbia posto le variabili della nuova base come Hawking”.
(**) dimostrerò in coda a questo articolo che Godel e Hwaking scelgono una base diversa in S2.

in rif. alla matrice in S2:

difformità di Godel rispetto ad Hawking(#): coefficiente indicato da Godel= 1/(a)^2
(#)
nota bene: la difformità è solo in ipotesi che Godel & Hawking, usino esattamente la stessa base!
Ma, come si vedrà nel seguito, le due basi differiscono a meno di una costante.

Nota Bene: coefficiente indicato da Tufano & Hawking=4*a^2, in ipotesi di scegliere la Base di Hawking

infatti posto a^2=-1/[(2)(w)^2]

a=j/{[rad(2)]*w]}


Dunque:

errata in rif. agli “elementi di linea” in S2 in rappresentazione di Godel? NO:

corrige: coefficiente_2=4a^2 in S2, esatto anche secondo Godel: elemento di linea in S2.
(vedi seguito)

Da cui Hawking con a=[i/(rad(2)*w)], i=rad(-1), può scrivere

vedi pag. 169 seconda riga (testo Hawking sopra citato):

4a^2=4*(-1/(2*w^2)=-2*(w)^-2

come coefficiente che moltiplica tutti i termini in S2.

cvd.

INOLTRE ..

La trattazione della metrica di Godel su wiki-ita è ERRATA ..

Ecco la foto di wiki ita del link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Metrica_di_G%C3%B6del

errata: (1/3)*exp(3x)(dz)^2
corrige: andava scritto (1/2)*exp(2x)(dz)^2 .. nell’ultimo termine di (ds)^2

Infatti, oltre che essere noi ad avere trovato errato il termine (1/3)exp(3x)dz^2

Ecco la nostra espressione completa che compariva all’inizio del nostro articolo:

(Godel 1)
(ds)^2=
a^2{(dx0)^2 – (dx1)^2 + [e^(2×1)]/2]*(dx2)^2 – (dx3)^2 + [2e^(x1)]*(dx0)*(dx2)]}

Basterà porre a^2=-[1/2(w)^2], oltre che le trasformazioni ausiliarie di Hawking and Ellis,
per trovare la corretta rappresentazione (*)
(*)
Anche se su wiki-ita & wiki-eng:
ip: x0=t; x1=x; x2=y; x3=z
mentre secondo Hawking, in S1, le trasformazioni sono diverse (vedi seguito per dettaglio).
Anticipo, che secondo Hawking:

ip, in S1, il passaggio da forma parametrica (x0,x1,x2,x3) -> forma fisica:
x0=[rad(2)]*w*t
x1=[rad(2)]*w*x
x2=[rad(2)]*w*y
x3=[rad(2)]*w*z

& inoltre, in S2:
x0’=t
x1’=r
x2’=fi
x3’=z

dove:
x=r*cos(fi); legame tra variabili in S1 (che è x) & S2 (che sono r & fi);
y=r*sin(fi); legame tra variabili in S1 (che è y) & S2 (che sono r & fi);
[rad(2)]*w*”t”, in S1 -> è “t” in S2;
[rad(2)]*w*”z”, in S1 -> è “z” in S2;

1° fonte di conferma della “errata corrige” wiki-ita:

Vedi Godel nel suo articolo pag. 447  seguente:

2° fonte di conferma della “errata corrige” wiki-ita:

Vedi wiki-eng seguente:

cvd2.

Bene, ora che abbiamo gli elementi minimi per muoversi dallo spazio S1 a quello S2, ci serve di sapere se sia vero che dalla G=[gij] in S1, sono coerenti le trasformazioni proposte da Godel vs G’=[gij’].

Ciò è possibile verificarlo tramite il calcolo tensoriale .. per eseguirlo .. data la difficoltà di notazione, procederò nelle seguenti foto che sono tratte dai miei appunti su carta A4.

(continua)

C’è da aggiungere che esistono altre trattazioni che si agganciano ulteriormente alla fisica, ma sono “figlie” della storica trattazione di Godel.

Oltre al lavoro dei professori Hawking e Ellis, ho da provare a graficare anzitutto Godel come hanno fatto Hawking e Ellis ..

Successivamente tratterò un lavoro più moderno e molto interessante di cui vi mostro, per ora,  solo la pagina iniziale del testo ..

Ma il testo completo è liberamente scaricabile (free download) al seguente link:
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0404032.pdf

Ci apprestiamo ad esplorare, nell’articolo attuale, la espressione da dare alle geodesic_equation, ed in particolare grazie alla esplicitazione dei coefficienti di Christoffel.

Per chi non conosca la materia, metto un link:
https://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Christoffel

Cito anche la versione inglese che è più documentata:
https://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols

Infine, come preliminari, un mio articolo sul tema coefficienti di Christoffel:
https://6viola.wordpress.com/2016/10/29/christoffel_symbols-mathematics/

Le equazioni proposte da Godel per il calcolo dei coefficienti di Christoffel Γ(i,j,k):

Prima parte della dimostrazione di come cambiano le basi tra la forma di Hawking & Godel

La seconda parte al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2017/02/14/godel-christoffel-mathematics/

Scriviamole nella nostra notazione:

Γ(i,j,k) vede

indice “i” come l’indice in alto

indice “j” come il primo indice in basso

indice “k” come il secondo indice in basso

Da cui le equazioni della tesi di Anfosso dalla (2.62) alla (2.65)
(consultabile on line)
https://www.academia.edu/12685125/Cosmologia_FLRW_Cosmologia_di_Godel_relativit%C3%A0_generale_

.. le scriveremo come segue: (vedi pag. 32, 41, 42)

(2.57) (d/ds){d/ds[x’i]} + ΣjΣk Γ(i,j,k) d/ds[x’j]*d/ds[x’k] = 0

i=0

(2.62)

(d/ds){d/ds[x0′]} + Γ(0,0,1) d/ds[x0′]*d/ds[x1′] +Γ(0,1,0) d/ds[x1′]*d/ds[x0′]Γ(0,1,2) d/ds[x1′]*d/ds[x2′ ] + Γ(0,2,1) d/ds[x2′]*d/ds[x1′] = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.62) (d/ds){(d/ds)[x0′]} + 2 {d/ds[x0′]}*{d/ds[x1′]} + [e^(+x1)]{d/ds[x1′]}*{d/ds[x2′]}= 0

essendo:

(d/ds){d/ds[x0′]} + 1 d/ds[x0′]*d/ds[x1′] +1 d/ds[x1′]*d/ds[x0′] +
+[e^(+x1)]/2 d/ds[x1]*d/ds[x2′] +[e^(+x1)]/2 d/ds[x2′]*d/ds[x1′] = 0

(2.19) Γ(0,0,1) = 1

(2.19)’ Γ(0,1,0) = 1

(2.20) Γ(0,1,2) = [e^(+x1)]/2

(2.20)’ Γ(0,2,1) = [e^(+x1)]/2

i=1

(2.63)

(d/ds){d/ds[x1′]} + Γ(1,0,2) d/ds[x0′]*d/ds[x2′] +Γ(1,2,0) d/ds[x2′]*d/ds[x0′]Γ(1,2,2) d/ds[x2′]*d/ds[x2′] = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.63) (d/ds){(d/ds)[x1′]} + 2 {d/ds[x0′]}*{d/ds[x2′]} + [e^(+2×1)]{d/ds[x1′]}*{d/ds[x2′]}= 0

essendo:

(d/ds){d/ds[x1′]}+{[e^(+x1)]/2}d/ds[x0′]*d/ds[x2′]+{[e^(+x1)]/2}*d/ds[x2′]*d/ds[x0′]+[e^(+x1)]/2 d/ds[x2′]*d/ds[x2′] +[e^(+x1)]/2 d/ds[x2′]*d/ds[x1′] = 0

(2.20) Γ(1,0,2) =[e^(+x1)]/2

(2.20)’ Γ(1,2,1) =[e^(+x1)]/2

(2.21) Γ(1,2,2) = [e^(+2×1)]/2

i=2

(2.64)

(d/ds){d/ds[x2′]} + Γ(2,0,1) d/ds[x0′]*d/ds[x1′] +Γ(2,1,0) d/ds[x1′]*d/ds[x0′] = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.64)
(d/ds){(d/ds)[x2′]} + 2[-e^(-x1) {d/ds[x0′]}*{d/ds[x1′]} = 0

essendo:

(d/ds){d/ds[x2′]}+{-[e^(-x1)]}d/ds[x1′]*d/ds[x0′]+{-[e^(-x1)]}*d/ds[x0′]*d/ds[x1′] = 0

(2.22) Γ(2,0,1) =-[e^(-x1)]

(2.22)’ Γ(2,1,0) =-[e^(+x1)]

i=3

(2.65)

(d/ds){d/ds[x3′]} = 0

che con le sostituzioni darà la seguente:

(2.65)
(d/ds){(d/ds)[x3′]} = 0

essendo:

Γ(3,i,j) = 0

verifica dei valori proposti da Godel su un coefficiente di “prova”, sia Γ(0,0,1).

Tale valore, secondo Godel = 1.

Il calcolo è coordinato con la formula seguente di Christoffel:

Γ(i=0,k=0,l=1) = (1/2)*g^(i,m)*{(δ/δx_l)[(g_m,k)] +(δ/δx_k)[(g_m,l)] – (δ/δx_m)[(g_k,l)] =

Γ(i=0,k=0,l=1) = (1/2)g^(_i=0,m=2)(tot)*{(δ/δx_l=1)[g_m(tot)=2,k=0]=

Γ(i=0,k=0,l=1) = (1/2){2e^(-x1)*1/(a^2)}*{e^(+x1)*a^2}=+1

cvd.

Quindi “serviva” che la matrice in S2 fosse premoltiplicata *1/a^2 come scritto da Godel!

Che fine fa la ipotesi di Hawking and Ellis sulla base in S2?

E’ ancora valida! .. ma a meno di una costante di trasformazione versus la base proposta da Godel!

(segue dimostrazione)

secondo Hawking
in S2

ds^2=+4a^2 (dx0′)^2 + ..
ds^2=+4a^2 (dt)^2 + ..
infatti ponendo
a^2=-{1/[2(w^2)}
ds^2=-2*(w^-2)(dt)^2 + ..

secondo Godel
in S2
(1) ds^2=+[1/(a^2)]*(dx0′)^2; dalla matrice in S2
ma anche
(2) ds^2=4*a^2(dt)^2; dall’elemento di linea in S2

esplicitiamo (dx0′)^2, di Godel,  dalla (1) e dalla (2) precedenti!

+[1/(a^2)]*(dx0′)^2=4*a^2(dt)^2

(dx0′)^2=(4*a^4)*(dt)^2

pongo x0’= 2*a^2*t perché soddisfa (dx0′)^2=(4*a^4)*(dt)^2

pongo inoltre quanto sopra nell’ipotesi che sia a^2=-1/[2(w^2)
x0’=2*a^2*t=2{-1/[2(w^2)]}*t=t*{-1/[(w^2)]}=t*k_Godel

ma la base di Hawking & quella di Godel, in S2, sono diverse a meno di k_Godel ..

infatti Hawking poneva
x0=rad(2)*w*t in S1
x0’=t in S2

inoltre poneva Hawking
in S2

ds^2=+4a^2 (dx0′)^2 + ..
ds^2=+4a^2 (dt)^2 + ..
infatti -solo così- ponendo
a^2=-{1/[2(w^2)}

si otteneva ..
ds^2=-2*(w^-2)(dt)^2 + ..

cvd.

ore 10.01 del 13.febbraio 2017

Il tempo è …

  • troppo lento per coloro che aspettano,

  • troppo rapido per coloro che temono,

  • troppo lungo per coloro che soffrono,

  • troppo breve per coloro che gioiscono;
    ma per coloro che amano,
    il tempo non è !

Henry Van Dyke

ultima versione ore 10:49 del 19.03.2017

more images:
http://inspirehep.net/record/802874/plots

Nota Bene:
la trattazione della esplicitazione matematica per giungere alla simulazione software procede nel prossimo articolo:

https://6viola.wordpress.com/2017/02/14/godel-christoffel-mathematics/

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