Christoffel_Symbols [Mathematics]

Esempio di Varietà Matematica su un grafico ..

Nell’ambito delle varietà matematiche Christoffel introdusse i suoi coefficienti .. ed Einstein li utilizzo nella espressione delle geodetiche (geodesic_equation) come in fig. seguente ..

In Fig. qui sopra .. la introduzione ai cosiddetti simboli (o coefficienti ) di Christoffel, come presentati da Einstein:
Fig. tratta da pagina 17 del seguente link (che riporta un articolo originale di Enstein):
http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

Una biografia dell’autore:
https://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Christoffel
https://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols

physics, the Christoffel symbols are an array of numbers describing a metric connection.[1] The metric connection is a specialization of the affine connection to surfaces or other manifolds endowed with a metric, allowing distances to be measured on that surface.>> (manifold si intende varietà matematiche):
more info:
http://www.dm.unibo.it/~francavi/did/09-10/cgr.pdf

C’è chi pensa .. e sono la maggioranza .. che per avvicinarsi alla matematica necessita avere una forma di “predisposizione” .. una capacità ancor più che intuitiva .. oserei dire “carismatica” ..

Io sono di un avviso contrario .. la matematica è una tecnica di espressione di concetti che si “astrae” dal reale .. e spesso si usa dire per gli operatori matematici “ente matematico astratto” (ad esempio nella definizione di “numero”) .. per significare che si guarda il reale come casi specifici e poi la matematica si occupa di spiegare regole generali che si riferiscono alla cavallinità(*) mettendo nello stesso insieme tutti i casi particolari che soddisfano i criteri che si sono introdotti, magari con una meta-matematica di metalinguaggi di definizione dei linguaggi e delle loro grammatiche.
(*) il concetto di “cavallinità” è ripreso da Platone, ma si sterotipizza con questo nome il concetto che i modelli -in genere- sono astratti, mentre quando divengono un oggetto fisico si dicono “prototipi” di simulazione in vari gradi di avanzamento delle sperimentazione che dai risultati della fisica cambia la ingegnerizzazione del prototipo e modifica il modello astratto per tendere a una convergenza tra le “specifiche” e la misura dei dati reali.

fonti di conferma:

cit 1: https://it.wikipedia.org/wiki/Antistene
Il pensiero antistenico è ricostruibile proprio da questi numerosi frammenti e dalla sezione dossografica laerziana, da cui risulta che Antistene nega l’oggettività sostanziale del concetto socratico, riducendolo a un mero prodotto soggettivo della riflessione dell’uomo sulla realtà circostante, disgregando il valore dell’idea platonica: in particolare col suo motto divenuto celebre, «vedo il cavallo ma non la cavallinità», intende contestare l’essenzialismo di Platone.

cit.2: http://www.treccani.it/enciclopedia/platone_(Dizionario-di-filosofia)/
Al cinico Antistene che obiettava che il singolo cavallo lo vedeva, ma l’idea del cavallo, la «cavallinità», non la vedeva, P. poteva ben ribattere che per vederla occorrono altri occhi che quelli comuni.

Questo breve prologo per significare di NON temere la matematica che non è sfuggente come una astrazione, ma ci consente di fare astrazione e conoscere tramite la rappresentazione semplificata.

Infatti il reale contiene una “quantità di informazione” che non è confinabile al finito. E se non si ricorresse alla teoria della rappresentazione, e in specie teoria della rappresentazione _matematica_, non esisterebbe la possibilità di “farsi una idea” del reale e ci dovremmo solo riferire a casi specifici, senza saperne estrarre regole di generalizzazione e di collezione.

Nella studio della teoria della relatività di Einstein, tornando al titolo di questo articolo attuale che in particolare studia la rappresentazione di Christoffel (che pure interviene sulle equazione delle geodetiche di Einstein), la quantità di informazioni da gestire anche nella rappresentazione matematica non è banale, e quindi si corre il rischio di sorvolare sulla logica del formalismo matematico, per la fretta di avere un quadro di insieme, ma ciò è un errore.

La matematica, anche di Christoffel, allora, diventa una sorta di “poesia” da imparare a memoria, senza però più un legame con il reale, anche se “legame” che tende alla astrazione per la spinta a generalizzare tramite regole.

Ci vogliamo allora qui cimentare a provare a ricostruire il *PERCHE’ sia utile esprimere la parte delle equazioni di Einstein che descrivono le geodetiche con Christoffel.

Ma nel farlo anziché rompere i legami con la storia dei fatti che hanno portato alle forme attuali, ci proponiamo di ricostruire tali legami, in prima istanza (FASE 1), onde -in una fase successiva (FASE 2)- agevolare una comprensione più profonda della eventuale consistenza delle tesi esposte con tali modelli, o iniziare una critica che miri a un modello di ordine superiore.

FASE 1

Nel nostro “viaggio” seguiremo il percorso di un “esploratore del web” ..

Cerchiamo cosa significhi il titolo di coefficienti di Christoffel:

sia nella seguente trattazione:

https://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Christoffel

e sia nell’articolo di Einstein di cui diamo fotocopia:

pg-1 Einstein Christoffel

##

pg-2 Einstein Christoffel

Anzitutto, quindi, va spiegato che nelle ultime notazioni “gli indici” assumono una rilevanza “di posizione”, e -con Chomsky- si possono dire “linguaggi contestuali”.

Un indice su una variabile NON è quindi necessariamente una potenza (nelle rappresentazioni appena viste).

def.1:

In genere questo equivoco si risolve, in matematica, introducendo le parentesi sugli indici quando sono a significare solo un cambio di notazione, e non mettendo le parentesi quando si indica -con un indice in alto- una elevazione a potenza.

Esempio 1:

Quindi x^(i) è solo una variabile i-esima
Mentre x^2=x*x=(x^1)*(x^1) è una potenza alla 2 di x.

Ma sappiamo che -storicamente- Einstein introdusse il concetto di “notazione di Einstein” a significare che sarebbe meglio eliminare il più possibile le notazioni estese, e convergere verso le notazioni “allusive”, ed in particolare per la faccenda di sopprimere il segno o i segni di sommatoria, e lasciare alla “intuizione” .. che laddove vi siano degli indici che andrebbero declinati allora vi sarebbero da intendere “sottointese” le sommatorie associate!

Ecco la pagina in cui Einstein lo dice, a pag. 9 laddove dice:
http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

Osservazione sulla semplificazione del modo di scrivere l’espressione.

Un’occhiata alle equazioni di questo paragrafo mostra che si somma sempre su

indici che compaiano due volte sotto un segno di sommatoria, per esempio l’indice

nella (5), e soltanto su indici che compaiano due volte. E’ quindi possibile, senza

pregiudicare la chiarezza, lasciar perdere il segno di sommatoria. Introduciamo

perciò la regola: <<

bisogna sempre eseguire la somma su di esso, a meno che non si indichi espressamente

l’opposto>>.

pag.9

A peggiorare la comprensione di cosa si stia dicendo è la questione di cosa sia il calcolo “tensoriale” e del fatto che serva proprio il calcolo tensoriale per la comprensione della interpretazione degli indici in alto o in basso e di quando sono indici, o quando sono un segno di potenza, ovvero intendendo, con potenza, la replica della moltiplicazione di un valore per se stesso: e la potenza di due -allora- è la moltiplicazione di x per se stesso 2 volte.

Da cui l’anello successivo è dedicare un attimo di attenzione alle notazioni tensoriali e quindi riprendere solo dopo Christoffel, per avere una comprensione della notazione.

Dalle prime 7 pagine dell’articolo si evince che si può generalizzare il teorema di Pitagora almeno a 4 dimensioni e si otterrà

in uno spazio S1:

(ds)^2=g11(c*dt)^2+g22(dx)^2+g33(dy)^2+g44(dz)^2

oppure

(ds)^2=1*(dX1)^2+(-1)*(dX2)^2+(-1)*(dX3)^2+(-1)*(dX4)^2

da cui
g11=1
g22=-1
g33=-1
g44=-1
dX1=c*dt
dX2=dx
dX3=dy
dX4=dz

in uno spazio S2 che descriva lo stesso ente in movimento, ma con un cambio di coordinate:

(ds)^2=(g’11)*(dX’1)^2+(g’22)*(dX’2)+(g’33)*(dX’3)^2+(g’44)*(dX’4)^2

Schwarzschild, in particolare, riesce a dimostrare come vera la trasformazione seguente

detto

g#=1/rad[1-rg/r(t)]
g°°=(g#)^2

Ne segue che

(ds)^2=
(1/g°°)*(c*d[t])^2+
+(-g°°)*(d[r(t)])^2+
+(-[r(t)]^2)*(d[teta(t)])^2+
+(-[r(t)]^2*sin(teta(t)))(d[fi(t)])^2

da cui si può dedurre che

g’11=(1/g°°)=(1/rad[1-rg/r(t)])^2=(1/rad(1-v^2/c^2))^2
g’22=-1/g’11=-g°°
g’33=-[r(t)]^2
g’44=-[r(t)]^2*sin(teta(t))
dX’1=dX1=c*d[t]
dX’2=d[r(t)]
dX’3=d[teta(t)]
dX’4=d[fi(t)]

Come si ha conferma anche su Amadori Lussardi nella pagina seguente:

Da cui
la forma finale delle equazioni di Einstein:

d/ds[dxi/ds] + Γ(i,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

dove Γ(i,j,k) sono i coefficienti di Christoffel.

 

Riprediamo allora lo studio da pag. 7 del testo seguente:
http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

laddove dice:

B. Sussidi matematici per la costruzione di equazioni generalmente covarianti.

Anzitutto va detto che il concetto di “tensore” generalizza il concetto di vettore.

Infatti si intende con vettore una tabella monodimensionale che associa un valore ad una collezione di vettori di riferimento detta “base vettoriale (o versoriale)”.

Nel caso spaziale la base vettoriale può essere una terna di vettori ortogonali (ex, ey, ez).

https://it.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormale

Se quindi scrivo v= a*ex+b*ey+c*ez e ciascun vettore della base era 1 metro di lunghezza

la lunghezza secondo l’asse x sarà a*(1metro)

la lunghezza secondo l’asse y sarà b*(1metro)

la lunghezza secondo l’asse z sarà c*(1metro)

Queste misure indicano, quindi, dei valori rispetto ad una base di riferimento.

Ma un vettore indica anche una direzione, ed un verso.

E quindi quando si fissa una base vettoriale (anche multidimensionale con n > 3) si ottengono delle caratteristiche associate alla base, notando che sarà importante che la base sia ortogonale, od “ortonormale”(*), poiché in tal modo ogni coordinata vettoriale (ossia i valori a, b, c) sarà significativa rispetto a quel sistema di riferimento.
(*)
def.2 dicesi “ortonormale” una base vettoriale se la base consente anche altre proprietà come si legge al link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormale

A sua volta il concetto di “quantità di informazione” associabile ad un vettore può essere visto come un caso particolare di informazione di ordine n=1, poiché è 1:1 con un vettore (detto versore) di riferimento che compone la collezione di versori della base versoriale.

Il caso n=0 sono i cosiddetti “scalari”, ossia dei numeri che non fanno riferimento se non al concetto di unità. Poiché fissata una quantità unitaria detta 1, allora 2 è il doppio della unità, etc.

Il caso n=2 sono le cosiddette “matrici”, ossia delle tabelle di due dimensioni (in genere indicate come righe e colonne).

def.3:

Sebbene il caso matriciale può essere esteso con le matrici volumetriche e multidimensionali quando siano multi-indice, nei casi maggiori di n=2 (nello studio della relatività) si preferisce (nello studio della relatività) introdurre alla matematica dei “tensori” e considerare “l’ente” tensore come il caso generale.

Lo scalare sarà un tensore di ordine n=0

il vettore sarà un tensore di ordine n=1

la matrice sarà un tensore di ordine n=2

etc.

def.4:

C’è solo da aggiungere la famosa differenza tra “operatore e risultato di una operazione”:
Infatti normalmente si dice “somma” sia il segno “+” e sia il risultato dell’applicazione dell’operatore “+” con somma=a+b.

Analogamente a volte si può dire impropriamente tensore una matrice, e il risultato di applicazione di una matrice chiamata tensore!

Viceversa, la applicazione del tensore sotto forma di matrice genera una trasformazione di rappresentazione in nuove coordinate! Né con gij si dovrebbe usare la terminologia “tensore”, ma al più con la notazione G=[gij] perché gij è solo la componente generica degli elementi che formano la matrice tensoriale!

Dunque .. indicheremo con un segno aggiuntivo ‘ ..

.. sulle componenti di un tensore G’=[g’ij], e cioé gij’ quando è nello spazio remoto:

La Fig. seguente è di Amadori Lussardi Cap. 3, pagina 79 reperibile al link seguente:
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

La gij’ alla pagina 79 di Amadori Lussardi, appena qui sopra, è un elemento quindi di una matrice a due indici (i e j). Normalmente tale matrice è considerata un “tensore” G’=[g’ij] se la trasformazione avviene in uno spazio remoto grazie a una trasformazione introdotta da G’.

Se -viceversa- la matrice è nella forma G=[gij] si sottointende che la trasformazione rimane nello spazio locale e caratterizza le relazioni nello spazio locale.

Vi sono molte altre notazioni che permettono di capire se la rappresentazione si sta riferendo a trasformazioni:

  1. di variabili remote -> rispetto a variabili locali (detta trasformazione contro-variante)
  2. di variabili locali -> rispetto a variabili remote (detta trasformazione co-variante)

e -a volte- tale modo di esprimere è detto ANCHE degli spazi “duali”.

Una delle notazioni più importanti è utilizzare la convenzione

  • di indici alti (sui tensori) per la contro-varianza
  • di indici bassi (sui tensori) per la co-varianza

Nello stesso articolo di Einstein già citato a pag.9 espressione (9) & pag.10 la (11):

apprendiamo che con “gli indici alti nelle matrici” indichiamo la controvarianza.

apprendiamo che con “gli indici bassi nelle matrici” indichiamo la co-varianza.

http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

le espressioni si presentano nel modo seguente:

contro-varianza:
(9) pag.9

A’^_(sigma)_(tau)=
Σ_(mu)_(ni){[∂x’_(sigma)/∂x_(mu)]*[∂x’_(tau)/∂x_(ni)]*A^_(mu)_(ni)}

co-varianza:
(11) pag. 10

A’_(sigma)_(tau)=
Σ_(mu)_(ni){[∂x_(mu)/∂x’_(sigma)]*[∂x_(ni)/∂x’_(tau)]*A_(mu)_(ni)}

  1. mentre la sommatoria è negli stessi nomi degli indici nelle due tipologie
  2. le variabili si scambiano posto da numeratore a denominatore
  3. gli apici (che indicano lo spazio remoto) sono indicati a numeratore nella contro-v
  4. gli apici (che indicano lo spazio remoto) sono indicati a denominatore nella co-v

Tutte queste convenzioni ci torneranno utili nello studio di Christoffel

Ma ora prenderemo il commento (siamo sempre nella fase che abbiamo denominato “FASE 1” di studio storico) di un diverso testo:

reperibile al seguente link on line:
http://faculty.etsu.edu/gardnerr/math-honors/theses/Simpson-Thesis.pdf

Il perché stiamo cambiando il testo di riferimento è abbastanza semplice da capire se si da una rapida lettura a questa tesi di laurea presentata nel 2007: La tesi ha un grande dettaglio sia sul tema di Schwarzschild, ma anche sui coefficienti di Christoffel.

Noi entreremo ancora più nel dettaglio commentando i passaggi più importanti per completare il nostro studio su Christoffel.

A pagina 7

Nota 1:

si definisce la cosiddetta rappresentazione di Minkowski una rappresentazione del tipo in 4 coordinate: tempo=t, x, y, z = x0,x1,x2,x3

A rigore non è errato “trasmettere i valori di una spazio quadrimensionale” con la notazione di Minkowski!

Ma necessiterà tenere a mente se tale base è ortonormale!

Ebbene NON lo è! (in generale, ma solo se si introducono delle regole di restrizione).

Infatti un qualunque ente che abbia una dinamica nel nostro universo NON può trovarsi in due punti successivi -ad esempio- che violino il superamento della velocità della luce senza spiegare le leggi a cui si è appoggiato!

Ma se supponiamo che v < c (implicitamente) allora dare dei numeri in modo scorrelato su una stringa (x0,x1,x1,x3) ci racconterà una dinamica del moto indicativa di cosa sta succedendo.

More info su questo tema e sulla dinamica dei tachioni, per chi volesse approfondire l’argomento, è ai link seguenti:

https://6viola.wordpress.com/2016/04/29/tachyon-chi-era-costui-mathematics/

https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Nota 2 (pag.7):

il fatto che, poi, si calcoli (ds)^2 non è nulla altro che la generalizzazione del teorema di Pitagora da 3 dimensioni a 4, ma potrebbe essere generalizzato anche ad un numero di dimensioni maggiori, purché con quella nominalistica si intenda una “costruzione” su una base ortonormale! Infatti, su un piano, i due cateti del triangolo di Pitagora devono formare un angolo retto, altrimenti ds non sarebbe il cateto costruito sull’ipotenusa. cvd.

Nota 3 (pag.7):

Le proprietà ad esempio di lunghezza, di un vettore, si mantengono anche ad un cambio di base versoriale, ecco perché anche nel nuovo spazio S2, allora, (ds)^2 ha lo stesso valore anche in una diversa base (purché le trasformazioni mantengano le caratteristiche di ortonormalità).

Nota 4 (pag.8):

In questa pagina si scopre il perché ho voluto commentare la tesi .. e cioé il fatto che esplicita molto anche le notazioni lasciate in genere implicite

Nota 5 (pag.9):

Come avevamo anticipato (che esiste la rappresentazione matriciale) è mostrata la forma matriciale di un tensore (indicando tutte le singole componenti), quindi tensore che trasforma le coordinate e in particolare rispetto a (ds)^2

Nota 6 (pag.10):

cito:

<< General relativity is often summarized with a quote by physicist John Wheeler:

“Spacetime tells matter how to move,

and matter tells spacetime how to curve.”>>

Ebbene questo fatto, secondo noi, NON è VERO, se non approssimando il fatto che un corpo minore in un campo gravitazionale può -allora- essere considerato solo subire l’azione gravitazionale e non introdurre esso stesso una alterazione gravitazionale!

Saltiamo la trattazione e arriviamo a pag. 14 (della tesi di Simpson che stiamo esaminando)

“1.3 Geodesics and Christoffel Symbols”

ed in particolare riportiamo la foto di pag. 15 (tesi di Simpson)

Ora abbiamo un modo un po’ diverso di descrivere le “geodesic_equations” come abbiamo già visto sull’articolo di Einstein ..

Però se si “esplorano le corispondenze” come nel foglio seguente Tufano pg.1

con

lamda(Simpson) = tau(Einstein)
ro(Sim.) = esse(Ein.)
beta(Sim.) = alfa(Ein.)
mu(Sim.) = mu(Ein.)
ni(Sim.) = ni(Ein.)

.. si trova che le 2 rappresentazioni indicano le relazioni in modo conforme.

Da cui
la forma finale delle equazioni di Einstein:

d/ds[dxi/ds] + Γ(i,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

dove Γ(i=lamda,j=mu,k=ni) sono i coefficienti di Christoffel.
che potremo anche scrivere come

Γ(i,j,k) = Γ^(i)_j,k_

volendo lasciare il alto l’indice “i” ed in basso gli indici j,k

Né va dimenticato che per ogni “i” la espressione

d/ds[dxi/ds] + Γ(i,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

ha una doppia sommatoria

d/ds[dxi/ds] + ΣjΣk Γ(i,j,k) *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

quindi le equazioni sono:

d/ds[dx(i=1)/ds] + ΣjΣk Γ(i=1)_j,k_ *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

d/ds[dx(i=2)/ds] + ΣjΣk Γ(i=2)_j,k_ *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

d/ds[dx(i=3)/ds] + ΣjΣk Γ(i=3)_j,k_ *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

d/ds[dx(i=4)/ds] + ΣjΣk Γ(i=4)_j,k_ *{(dxj/ds)*(dxk/ds)} = 0

A volte (a complicare le cose) troviamo anche la seguente notazione:

fonte on line:  chiamiamola “Full”
http://web.stanford.edu/~oas/SI/SRGR/notes/SchwarzschildSolution.pdf

Γ ^(µ)_ν,σ_ = 1/2 g^(µ,λ) [gλν,σ + gλσ,ν − gνσ,λ]

Ma in questa nuova notazione per confronto con le precedenti se si pone:
lamda (Sim.)=µ
mu (Sim.)=ν
ni (Sim.)=σ
beta (Sim.)=λ

.. si vede che ad esempio “gλν,σ” = ∂g_(λ,ν)/∂x(σ) nella rappresentazione “Full”

.. si vede che corrisponde a “g_beta_mu_,ni” = ∂g_(beta, mu)/∂x(ni) su Simpson

quindi l’ultimo simbolo in “gλν,σ” indica una derivata parziale

cvd.

Tale notazione di derivata parziale lo troviamo anche al link seguente:

{\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{kl}={\tfrac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\tfrac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}),}

https://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols

Ora, però, continuiamo ad esaminare la tesi di laurea di Simpson ..

saltiamo il capitolo 2 seguente, poiché per ora non ci interessa:

2 Einstein’s Field Equations and Requirements for a Solution

(siamo a pag. 17)

Andiamo al capitolo 3 seguente ..

3 Derivation of the Schwarzschild Metric

(siamo a pag. 21)

.. senzaltro possiamo arrivare alla (12) pagina 23 di Simpson senza avere commenti di ulteriori spiegazioni sul fatto che un vettore che sia una composizione versoriale in S1, possa essere scritto come una analoga trasformazione di coordinate in S2 rispetto a una nuova base versoriale che ora è in coordinate sferiche ..

studio di pag 22 di Simpson:

è dis-omogeno il processo di trasformazione?

Dipende dallo spazio.

Se si assume che una trasformazione non crei asimmetrie lo scambio degli indici nella G deve risultare NON influente.

Si ipotizza allora che il moto avvenga in uno spazio omogeneo s esi lasciano diversi da zero solo i coefficienti sulla diagonale principale!

Ciò porta che anche la direzione di muoversi nel passato o nel futuro sia NON influente (per semplificare ad avere coefficienti diversi da zero solo sulla diagonale principale) ma significa che t=-t.

Da cui sarà grt=gtr solo se grt=gtr=0

Questa ultima posizione, però, ha conseguenze che Simpson -a nostro avviso- NON esamina completamente!

  1. Anzitutto scrivere dei segni negativi in Pitagora, già nello spazio S1 implica l’uso della matematica dei numeri immaginari: si veda la parte di definizione con i versori nella espressione seguente.Infatti abbiamo:(ds)*es=(d[ct])*et-j(d[x])*ex-j(d[y])*ey-j(d[z])*ez, dove “ei”={et, ex, ey, ez} sono i versori, davanti cui nella espressione precedente sono le coordinate, dove j = rad(-1).
    Da cui j*j=-1.Dunque ..
    [(ds)*es][(ds)*es]=(ds)^2=+(dct)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2 non è niente altro che il teorema di Pitagora generalizzato già in S1, e ciò rimane anche in S2, se si è operata solo una proiezione, ovvero una “trasformazione conforme” di coordinate.
  2. Inoltre se si fossero sviluppate le trasformazioni tensoriali che mettono in corrispondenza le gij in S1 con quelle gij’ in S2, si sarebbe visto che solo con la ipotesi che possa esistere v > c si sarebbe ottenuta una simmetria perfetta! (e non solo che sia v < c) .. e quindi entra la matematica dei tachioni come oggetto di studio. Aggiungo, per brevità, che è errato pensare che poggiarsi sulla matematica dei numeri immaginari impedisca una proiezione sui numeri reali! .. rinvio alla dimostrazione del fatto che una massa immaginaria (perché è in un altro spazio dimensionale come l’universo adiacente U2 quando v > c) eppure crea una energia appartenente ai reali in U1! .. come è il caso di e=mc^2 quando una massa mostra in U1 la energia, anziché la materia di cui era fatta, e solo in U2 permane la misurabilità della massa. Ecco il link della mia trattazione matematica sui Tachioni: https://6viola.wordpress.com/2016/04/29/tachyon-chi-era-costui-mathematics/ ed il link del calcolo tensoriale in cui dimostro che i tachioni hanno una parte importante per ottenere la soluzione di Schwarzschild: https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/
  3. La ipotesi della trasformazione nello spazio degli esponenziali (vedi pag. 23) in cui l’esponente dell’esponenziale non è esplicito, però, non è una limitazione nella ricerca della soluzione di come Schwarzschild sia arrivato alla espressione finale, poiché gli esponenziali appoggiandosi anche ai numeri immaginari non realizzano una restrizione del caso generale! .. ed inoltre sono più facilmente elaborabili di altre funzioni che non siano esponenziali!

Dunque siamo a pag. 23 di Simpson:

scriviamo la

(12) (ds)^2 = −U(ρ) (dt)^2 + V (ρ) (dρ)^2 +W(ρ) [(ρ)^2 (dφ)^2 + (ρ)^2 *sin^2 (φ)*(dθ)^2]

si noti che la matrice di partenza è leggermente diversa da quella di Einstein e di Amadori, poiché anziché prendere negativo lo spazio si è preso negativo il tempo in S1.

Inoltre si è usato il simbolo ρ, al posto del solito simbolo r.

Senzaltro è possibile scrivere con la posizione

r = ρ rad[W(ρ)]

(13) (ds)^2 = −A(r) (dt)2 + B(r) (dr)2 + (r)^2 (dφ)2 + (r)^2 (sin)^2[ φ](dθ)^2

Ma essendo A(r) e B(r) generiche, si poteva anche dedurre direttamente ab ovo ponendo r al posto di ρ.

Del resto anche Amadori Lussardi pongono la stessa equazione a pagina 95, capitolo 4.

Io stesso con il calcolo tensoriale prima a 3 dimensioni e poi a 4 dimensioni giustificavo il fatto che era solo da identificare A(r) & B(r) e non gli altri termini del tensore su S2.

more info ai due link seguenti:

https://6viola.wordpress.com/2016/05/30/schwarzschild-calcolo-gij-gij/

https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

 —

A pag. 24 è molto importante la (16)

Infatti se la scrittura “standard di Christoffel”, ripresa da wiki (ENG), è la seguente:

{\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{kl}={\tfrac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\tfrac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}),}

Simpson propone una trasformazione in cui la [(1/2)g^(i,m)] della espressione precedente (in cui “i & m” sono indici e non potenze) anziché essere “indici alti” sono convertiti in “indici bassi” (nel calcolo tensoriale).

Che inoltre sia

g^(µ,µ)=1/[g(µ,µ)]

(ribadiamo che usiamo il simbolo “^” per indicare indici alti e non per elevazione a potenza se seguono le parentesi degli indici).

.. noi l’abbiamo dimostrata la espressione in neretto qui sopra nel precedente articolo a proposito di g11:
https://6viola.wordpress.com/2016/10/23/new-time-theorem-tufanos-theorem-mathematics/

Infatti se la trasformazione è

da t -> tau (spostandosi da S1 -> S2), allora g’11(Tufano)=1/(1-rg/r), essendo t=tau*gamma,
gamma = 1/rad(1-v^2/c^2)=1/(1-rg/r)

però

g’11(Tufano)=1/(1-rg/r)=1/(g”11)(Einstein: poiché Einstein usa t in S2) (##)

Essendo

g”11 = (1-rg/r) nel cambio di coordinate di Einstein che è

x1”=t

x2”=r

x3”=teta

x4”=fi

Mentre quello di Tufano è

x1’=tau

x2’=r

x3’=teta

x4’=fi

Diversa è, quindi in generale, una proiezione da t -> tau, da quella da tau -> t, se nella proiezione il tau subisce una amplificazione (tramite gamma) per essere confrontato con t!

Infatti il processo inverso crea una de_amplificazione.

Einstein, chiama tali tipologie “varianti & controvarianti” (nell’ambito della matematica dei tensori a formalizzazione dovuta principalmente da Ricci Curbastro e Levi Civita) per significare se avvengono da

S1 -> S2

oppure da

S2 -> S1

++

Nota (##) on

++

Sulla equivalenza tra le due espressioni:
t = [tau(t)]*1/rad[1-v(t)^2/c^2]
t = [tau(t)]*1/rad[1-rg/r]

Si noti che equilibrando energia cinetica con energia potenziale abbiamo:

(1/2)*mv^2 = mgr = m(GM/r^2)r = mGM/r
v^2=2GM/r -> r=2GM/v^2

inoltre:
(1/2)*mc^2 = mgr = m(GM/rg^2)rg = mGM/rg
c^2=2GM/rg -> rg=2GM/c^2

Da cui
v^2/c^2=(2GM/r)/(2GM/rg)=rg/r;

cvd.

++

Nota (##) off

++

Per ora che a beta di Simpson possa essere sostituito lambda come nella (16) pag 24 non ci è immediatamente utile, ma ridurrà il numero degli elementi di Christoffel da calcolare.

Sempre a pag. 24 di Simpson troviamo il “Lemma 3.2”

si vede che ci sono alcune “corrispondenze” tra le varie forme di g di cui mette una “Proof” e cioé una “Prova” a partire da pag. 24.

  • Interessante, però, nella “Prova”, è notare che con g si intende il determinante di G, ovvero del tensore matriciale!
  • Interessante, inoltre, è notare che Simpson sta usando -nel Lemma 3.2- la notazione di Einstein per cui con doppio indice si sta indicando una sommatoria!
  • Interessante, infine, è notare che se avessimo a, b,c,d come elementi della diagonale principale il Lemma 3.2 , pag. 24, ci dice che avremmo se u=u(x) la (17) pag. 25

(17) pag.25 = ∂/∂x {ln |u(x)|} = u’/u

Simpson non mette la dimostrazione, e a questo provvediamo noi:

++

dimostrazione della 17 pag.25 Simpson on

++

http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/derivate/217-il-teorema-di-derivazione-della-funzione-composta.html

z=h(x), z=g(y), y=f(x), allora, h’= d/dx{ h }= g'(f(x))*f'(x)

dove g'(f(x)), se f(x)=ln(x), vede g’=d/dy{ln(y)}=1/y

dove f'(x)=d/dx f(x)

Da cui

∂/∂x {ln |u(x)|} = g’*f’

ma g’=1/y=1/u

f’=u’, quindi g’*f’=(1/u)*u’=u’/u

cvd.

++

dimostrazione della 17 pag.25 Simpson off

++

Se, allora, g=a*b*c*d (avendo indicato con g=det[G])

Se, allora, ∂/∂x {ln |u(x)|} = u’/u

Poiché ln(a*b*c*d)=ln(a)+ln(b)+ln(c)+ln(d)

∂/∂x {ln |u(x)|} = ∂/∂x {ln(a)+ln(b)+ln(c)+ln(d)}

= a’/a + b’/b + c’/c + d’/d

come si può verificare anche al seguente link:

http://www.rapidtables.com/math/algebra/Ln.htm

per la parte che vede ln(x*y)=ln(x)+ln(y)

Quindi il determinante genera una produttoria e come argomento del log_naturale, ln, genera una sommatoria di ln. E cioé la (18) pag. 25 cvd.

Poiché a’/a + b’/b = (a’b+b’a)/ab = 1/ab(a’b+ab’)

Allora sarà anche vera la 18 bis seguente

(18)’ pag. 25 Simpson:
a’/a + b’/b + c’/c + d’/d = 1/abcd(a’bcd + ab’cd + abc’d + abcd’)

La espressione appena scritta, però, è ottenibile anche con la notazione seguente grazie alle equivalenze già scritte sopra: per ogni singolo xµ

1/abcd(a’bcd + ab’cd + abc’d + abcd’) = ∂/∂xµ {ln |g(x1,x2,x3,x4)|} = 1/g ∂/∂xµ{g}

Infine avendo presente anche la equivalenza:

g^_(lambda, beta) = 1/g_(lambda, beta) vale la tesi del Lemma 3.2, pag. 24.

Siamo quindi arrivati all’esame del seguente capitolo di Simpson (pag. 25)

3.1 Evaluation of the Christoffel Symbols

Sempre grazie al Lemma 3.2 pag. 24 si generano 3 tipologie riportate a pagina 26

Da cui si ha la (19), (20), (21)

Dice Simpson: “

Using the values for gμν from equation (15) we can calculate the nonzero Christoffel

symbols (in terms of m, n, r, and φ ) where ≡ d/dr”(*)
(*) (ndr: che però andava scritta [gµν] ma matrice, e NON gµν, per non fare confusione tra un singolo elemento della matrice e tutta la matrice, che è indicata con la presenza delle parentesi attorno all’elemento generico)

con ‘=d/dr avremo:

Γ ^(λ)_µ,ν _ = 1/2 g^(µ,λ) [gλν,σ + gλσ,ν − gνσ,λ]

Γ ^(0)_1,0_= Γ ^(0)_0,1_= m’

siamo nel caso

λ=0
µ=1
ν =0

quindi nel caso 1

che diviene:

1/g ∂/∂xµ{g} = 1/g ∂/∂x1{g} = 1/2 ∂/∂x1{ln|g00|} 

g00=-e^(2m)

x1=r

∂/∂x1{ln|g00|}=+2m’*(e^2m/e^2m)=u’/u

dove u’=+2m’*(e^2m)
dove u=e^2m

1/2 ∂/∂x1{ln|g00|} =m’ =d/dr {m}

cvd.

Se non ché avere “estratto” una espressione riconducibile a Christoffel non ci ha ancora dato una espressione esplicita del valore di A(r) & B(r) che vedono in m=m(r), ed n=n(r) ancora delle relazioni generiche che da pagina 26 richiederanno i calcoli fino a pagina 29 per mettere le relazioni in funzione della espressione tensoriale di Ricci.

Solo a pagina 36 di Simpson troviamo:

3.3 Solving for the Coefficients

Ma solo a pagina 40 si riesce a trovare la espressione di Schwarzschild che noi avevamo già trovato con il calcolo tensoriale diretto con molto meno fatica! al link seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

Cosa abbiamo in più?

La relazione tra i coefficienti di Christoffel e la espressione delle geodetiche e anche le corrispondenze con Ricci!

In particolare noi abbiamo una esplicitazione dei coefficienti di Christoffel su Amadori Lussardi sul testo di questi autori al cap. 4, e sarà utile confermare se le espressioni trovate da Simpson le confermano.

Infatti Simpson sebbene non elenchi esplicitamente Christoffel, ora a pagina 40 ha esplicitato quanto valgono le forme che erano generiche a pagina 26!

Si tratterà, allora, di sostituire (alle forme generiche) le forme specifiche e esplicitarle ulteriormente per trovare _i_singoli_ coefficienti di Christoffel.

La mia trattazione nelle pagine seguenti ..

ultima versione 30 ottobre 2016, ore 8:59

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