Orbit of Mercury: Measure Theory

E’ noto che l’orbita di Mercurio è uno dei fenomeni fisici più studiati della storia della fisica, e può sembrare strano che qualcuno voglia aggiungere qualcosa.

Ma sebbene la trattazione matematica sia molto assestata, non lo è la trattazione alle differenze finite la quale è in grado di essere data in pasto al calcolo automatico e permettere di osservare cose che NON si erano ancora viste prima poiché si può svolgere un calcolo parametrico al variare della incertezza delle misure di base come ad esempio il semiasse maggiore e minore di un orbita!

In tal caso la grafica dei valori interpolati -automaticamente dal computer- (al variare dei parametri di input) ci dice subito se vi sono errori sull’orbita poiché dopo pochi giri di orbita la simulazione mostra se il corpo celeste ..

  1. cade sulla stella (nel nostro caso Mercurio sul Sole)
  2. rimane stabile in orbita
  3. esce dall’orbita

Inoltre, nell’ambito della teoria della misura, il calcolo dell’aerea o della circonferenza .. di un cerchio ed una ellisse non ha un valore rappresentabile al finito!

Ciò nonostante si possono risolvere le forme di calcolo con lo studio delle serie o delle forme di linearizzazione alle differenze finite, e quindi ottenere delle rappresentazioni sufficienti agli scopi richiesti confinando l’errore in un range tollerato.

Consigliamo una lettura propedeutica (dell’ellisse di Mercurio) al link seguente, per capire i concetti di base, a chi fosse nuovo dell’argomento:
http://www.ba.infn.it/~abbresci/Didattica/SlideGravitazione.pdf

Nello studio attuale, però, ci proponiamo di completare il software(!) del processo di calcolo (in linguaggio php) che descrive l’orbita di Mercurio secondo le equazioni di Einstein come linearizzate da Amadori Lussardi a partire dalla trattazione al link seguente di cui forniamo una foto:

link1(fonte orginale):
(forma originaria di Einstein dell’orbita di Mercurio sul testo Amadori Lussardi):
(Cap.4 pag. 99)
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

Quindi rendere completo il seguente software al link “appendici” (di Amadori Lussardi):

http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/sp-16753/

di cui evidenziamo la foto della pagina:

Dunque la parte che vogliamo risolvere sono le condizioni al contorno, dette anche condizioni di Cauchy, che ci consentiranno di avviare il software nella foto precedente come verifica delle equazioni di Einstein sotto forma di una sperimentazione di un software che tracci l’Orbita di Mercurio.

Per raccogliere gli strumenti matematici già noti, ossia la equazione di una ellisse, necessita anzitutto avere due valori:

a=semiasse maggiore della Ellisse

b=semiasse minore della Ellisse

Noti questi due valori, si può asserire che la forma Cartesiana della Ellisse è la seguente:

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1

Ne esiste anche una forma in coordinate polari, ma su questa forma polare torneremo in seguito.

Purtroppo, a causa del fatto che la Ellisse di Mercurio non si chiude al punto di origine(!) da cui si voglia fissare il moto, non esiste un valore condiviso di quale sia b, poiché dipende da come si vuole rettificare tale situazione.

Né esiste un valore condiviso di “a”!

Basterà controllare sul link di wikipedia ITA:
https://it.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(astronomia)

(1)
a (wiki-ITA:3 ottobre 2016)=

57 909 176 km
0,387 098 93 UA
57909176000 [m]

Oppure sul link wikipedia ENG:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)

a (wiki-ENG:3 ottobre 2016)=
57 909 050 km
0.387 098 AU

Dalla matematica di una qualunque ellisse sappiamo però che
https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse

E=c/a

a^2=c^2+b^2

Dunque nota E, possiamo calcolare c. E da c possiamo calcolare b.

I rispettivi valori per E, su wiki, sono i seguenti:

(2)
E (wiki-ITA:3 ottobre 2016)=c/a
0,205 630 69

E (wiki-ENG:3 ottobre 2016)=c/a
0.205 630

Come si vede anche qui la versione ITA da più cifre significative.

Quindi calcoliamo c, a partire da E.

c = E*a

(3)
c = 0.20563069*57909176000 [m] =
11907903818.21144 [m]

(4)

Poiché

r0=c+a=raggio in afelio=11907903818.21144+57909176000 [m]

r0 = c+a
69817079818.21144 [m]

utilizzeremo nel seguito questo valore “calcolato” che è più preciso di quello wiki.

che è il seguente:

69817079000. [m]

Calcoliamo ora b, (vedi punto (5) seguente), dalla formula:

a^2 = b^2 + c^2 da cui

fonte di conferma della formula:

https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse

b = rad[ a^2 – c^2]

(5)
b=rad[(57909176000)^2-(11907903818.21144)^2]=
56671637453.4493348312234231 [m]

Allora, se il semiasse maggiore è “a”, e quello minore è “b”:
a = 57909176000 [m]
b = 56671637453.4493348312234231 [m]

la diversità di lunghezza tra “a” e b” è quindi quasi a disegnare un cerchio.

Ora siamo in grado di tracciare una ellisse secondo le coordinate cartesiane e verificare se il software di darà una conferma sulla nostra “curva” introducendo un piccolo scostamento in senso antiorario come è mostrato al link seguente:

https://it.wikipedia.org/wiki/Precessione_del_perielio_dell%27orbita_di_Mercurio

Dopo una lettura attenta del link precedente si capirà che tra due passaggi di Mercurio non è facilmente visibile la deviazione, se in 100 anni il valore vede:

modello di Einstein (e osservazioni sperimentali):

5600″/secolo

modello (semplificato) di Newton:

5557″/secolo

da cui il Delta è 5600″-5557″=43″/secolo.

Si deve anche dire che i <“>(secondi di arco) sono 1° grado diviso (60*60=3600)

http://metricconversion.biz/it/conversione-di-angolo.html

Quindi vedremmo con 5600/3600= 1.555 .. poco più di 1 grado di 360° in 100 anni!

Poiché Mercurio impiega circa 88 giorni per completare una orbita si capisce che non sarà diagnosticabile con un solo passaggio orbitale la deviazione se non con forte ingrandimento dell’immagine.

Calcoliamo ora la lunghezza dell’orbita, e confrontiamo il valore da noi ottenuto con la versione wiki ITA.

La formula che implementeremo è la seguente:

{\displaystyle p=\pi (a+b)\sum {\binom {\tfrac {1}{2}}{n}}^{2}h^{2n}=\pi (a+b){\Bigl (}1+{\tfrac {1}{4}}h^{2}+{\tfrac {1}{64}}h^{4}+{\tfrac {1}{256}}h^{6}+\ldots {\Bigr )}.}

posto

{\displaystyle h={\frac {a-b}{a+b}}}

reperibile al link seguente:

https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse

In particolare consultata la fonte seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_binomiale

si comprende che nel nostro caso

{n \choose k}=C(n;k)={\frac  {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}\qquad n,k\in \mathbb{N} ;0\leq k\leq n

n=1/2

k=n

Dunque -nel nostro caso- la formula non è applicabile.

Infatti ne va applicata una diversa:

http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.ellipse.circumference.html

.. riportata anche qui:
http://www.matematicamente.it/forum/fattoriale-di-numero-razionale-t69796.html

e che ripetiamo qui di seguito:

(α)
(k):=(1/k!)*∏{(da k1) fino (h=0}*(αh)=[1/(n)!]* α(α1)(α2)(αk+1)
;

Noi vogliamo dimostrare che

vvv

(6)

             infinity
C = (a+b)(1 +  SUM [(2n-2)!/(n![n-1]!22n-1)]2x2n),
               n=1
x = (a-b)/(a+b).

^^^

.. che al link:
http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.ellipse.circumference.html

è lo stesso che applicare la formula su wiki-ita, già sopra e che ripetiamo:
{\displaystyle p=\pi (a+b)\sum {\binom {\tfrac {1}{2}}{n}}^{2}h^{2n}=\pi (a+b){\Bigl (}1+{\tfrac {1}{4}}h^{2}+{\tfrac {1}{64}}h^{4}+{\tfrac {1}{256}}h^{6}+\ldots {\Bigr )}.}

In cui però (in wiki ita) non si scrive la iterazione binomiale in forma parametrica, e dunque il processo è bloccato dopo 3 somme iterative.

Ma con le corrispondenze poste C=p si può constatare l’equivalenza. cvd.

In più ora abbiamo una formula che possiamo “pesare” nei suoi sviluppi per valutare di quanto migliora la precisione ad ogni iterazione aumentando la interpolazione.

VERIFICA:

C(n=1) = pigreco(a+b)(1 + {(2*1-2)!/(1![0]!*2^(2-1)}^2*x^2

a = 57909176000 [m]
b = 56671637453.4493348312234231 [m]

C(n=1) = pigreco(a+b)(1 + [(0)!/(1![0]!*2^(2-1)]^2*x^2

0!=1
1!=1
2^1=2

x=(a-b)/(a+b)

C(n=1)=pigreco(a+b)(1 + 1/4*x^2)

dunque abbiamo dimostrato con n=1 della espressione seguente:

C = (a+b)(1 + x2/4 
             + x4/64 
             + x6/256 
             + 25x8/16384 + ...).

Calcoliamo la C al variare di n, ed otteniamo:

C(n=1)=359 976 739 518.9 m

C(n=2)=359 976 739 595.9 m

C(n=3)=359 976 739 595.49134 m

C(n=4)=359 976 739 595.49134 m = CC

Assumiamo:

(7)
CC = 359 976 739 595.49134 m

.. poiché siamo sotto la scala dei millimetri ..

Si noti che la versione wiki-ITA fornisce un valore molto impreciso su tale merito, che è il seguente (la versione wiki-ENG: non si pronuncia):

C = 360 000 000 000.000 m

con un delta di errore sul nostro valore seguente:

errore=C -C(n=4) =360 000 000 000.000 m – 359 976 739 595.491 340 m =

errore=23 260 404.50866 m = 23*10^6 m = 23 milioni di metri

su una distanza totale di 360*10^9 = 360 miliardi di metri

Questo valore di CC (perimetro ellittico di Mercurio) ci può essere utile come metodo alternativo alla verifica dei calcoli che ci accingiamo a fare ..

Infatti dobbiamo porre una scelta sul cosiddetto “intervallo di campionamento” (o anche detto di interpolazione).

Nel nostro caso poiché partiamo da valori reperibili sul web non è -ora- uno scopo metrologico, ma METODOLOGICO nella teoria dei modelli, nel senso di potere ripetere, mutati che siano i dati di partenza, una COSTRUZIONE DI INTERPOLAZIONE.

Dunque, in questa prima simulazione, la SCELTA sarà di indagare se con un passo di campionamento di 1° grado di 360° totali, si possa cominciare a potere fare girare il software ottenendo valori coerenti.

In tal caso 360*10^9 m=valore approssimato della circonferenza della ellisse totale, vedranno su 1° Grado .. una distanza di circa 1*10^9 m come arco di circonferenza.

Se volessimo stimare il tempo associato, come prima approssimazione, potremmo utilizzare la proporzione:

Arco totale ellisse/tempo tot orbitale= Arco_1°/tempo tx1°
Arc_t/tt=Arc_1/tx1°

tx1°=(Arc_1*tt)/Arc_t

Arc_t=360*10^9 m

Arc_1°=1*10^9 m

tt=t_Orbit(sec)=87,96935*24*60*60=7600551.84 [sec]

tx1°={1*10^9)*(7600551.84 [sec])}/(360*10^9 m)=21112.644

quindi circa 21 mila sec per ruotare di 1 grado.

Ma tenendo conto delle velocità areolari si può migliorare questa stima:

In particolare la matematica associata è al link seguente:

http://www.ba.infn.it/~abbresci/Didattica/SlideGravitazione.pdf

DIM del tempo sulla velocità areolare:

ΔA = ara del triangolo giallo al link precedente.

ΔA = (1/2) base * h

base = circa r0
(Nota Bene: corrige1: il testo diceva base=r0*Δθ; che invece è la altezza h)

h = r0*sin Δθ = circa r0*Δθ

ΔA = (1/2) base * h = (1/2)*r0*(r0*Δθ)
(Nota Bene: corrige2: il testo diceva h=r0; che invece è la base=r0)
(in definitiva le posizioni sono compatibili scambiando base e altezza)

v(areolare)=vA=ΔA/Δt=(1/2)*r0*(r0*Δθ)/Δt

Δt=tx°1_new=(r0^2)*(Δθ)/(2*vA)

Δθ=rad

tx1°_new=[(r0^2)*rad)/(2*vA)=

31358.32364934655425902626259706416245449953447774 [sec]

Nello studio alle differenze finite -invece- della velocità tangenziale in riferimento ad un moto orbitale:

Nel caso del cerchio abbiamo:

omega=Δθ/Δt=2*pi/T, se la omega non vara nel tempo

v_TG=(2*pi*r0)/Δt=omega*r0, se la omega non varia nel tempo.

Nel caso invece che ci sia una variazione nel tempo:

$θ2-$θ1=$delta_fi

$t2-$t1=$delta_ti

$v_TG=r0*omega=r0*Δθ/Δt

$v_TG=$r0*$delta_fi/$delta_ti

Si noti che $r0 e anche i valori delta_fi, delta_ti saranno aggiornati ad ogni iterazione e ciò diminuirà l’errore tanto più i campionamenti saranno con un intervallo più piccolo.

 

dove

r0=

69817079818.21144

rad=1°=in radianti=0.0174532925199433

vA=Area_tot/tempo_orbitale=

1356494051801302.6180320430254095761 [m^2/s]

dove
Area_tot=10310103361367445927880.2617957359205331 m^2

tempo orbitale=t_Orbit(sec)=87,96935*24*60*60=7600551.84 [sec]

sostituendo e calcolando:

http://web2.0calc.com/

Dunque

(8)

st2=31358 [sec] stima più accurata di

st1=21112 [sec] stima meno accurata.

Anticipiamo che per la incertezza dei valori iniziali il processo di calcolo alle differenze finite (del software completato e reso funzionante a partire dalla forma incompleta di Amadori Lussardi) ci consente di osservare che la orbita con le equazioni di Einstein rimane nella “scatola” della ellisse teorica tracciata con a & b semiasse maggiore e minore con un valore molto simile alla stima ottenuta con le velocità areolari!

Cioé il valore da noi ottenuto dalle equazioni di Einstein è

st3= 31305 [sec] (sperimentale) che è circa st2=31358 [sec] (teorico).

Vediamo ora il software

  1. prima nella forma incompleta di Amadori Lussardi
  2. poi nella forma completa di ing. Pasquale Tufano
  3. poi la dimostrazione delle scelte operate

il software di Amadori Lussardi:

si veda il link seguente per la fonte:

1.Introduzione alla relatività: Appendici

http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

cit  on (Amadori Lussardi)

for ($i = 1; $i <= $ni; $i++)

{

// approssimazione della geodetica

$tduepunti0 = – ($rg / ($r0 * ($r0 – $rg))) *

$tpunto0 * $rpunto0;

//

$rduepunti0 = – ($c * $c * $rg * ($r0 – $rg) /

(2 * $r0 * $r0 * $r0)) *

$tpunto0 * $tpunto0 + ($rg / (2 * $r0 *

($r0 – $rg))) * $rpunto0 *

$rpunto0 + ($r0 – $rg) *

$fipunto0 * $fipunto0;

//

$fiduepunti0 = – (2 / $r0) * $rpunto0 *

$fipunto0;

//

$t1 = $t0 + $tpunto0 * $ds;

$tpunto1 = $tpunto0 + $tduepunti0 * $ds;

$r1 = $r0 + $rpunto0 * $ds;

$rpunto1 = $rpunto0 + $rduepunti0 * $ds;

$fi1 = $fi0 + $fipunto0 * $ds;

$fipunto1 = $fipunto0 + $fiduepunti0 * $ds;

—> disegno punto (fi,r)

$x = $r1 * cos($fi1);

$y = $r1 * sin($fi1);

—> disegno punto (x,y)

// iterazione

$t0 = $t1;

$tpunto0 = $tpunto1;

$r0 = $r1;

$rpunto0 = $rpunto1;

$fi0 = $fi1;

$fipunto0 = $fipunto1;}

cit off (Amadori Lussardi)

Il software completo, come da progetto ing. Tufano Pasquale
(simulazione numero 1) (segue in formato immagine)

Aggiornamento 15.10.2016, ore7:36

cit on (ing. Tufano)

formato immagine (jpg)

(click x zoom)

vedi “nota @1” alla fine di questo articolo.


dim(1):
$ds=31305;

su ds =31305 [sec] abbiamo già ampiamente discusso in quanto precede.

.. c’e solo da dire, qui, che “sembrerebbe” l’intervallo temporale misurato in d(tau) se le convenzioni sulle equazioni di Einstein non andassero verificate.

Sulle convenzioni nella misura del tempo si veda il seguente aggiornamento:
(*) aggiornamento 6-1-2017, ore 9:42
intendiamo con “inversione temporale” il fatto che Lorentz pone
t=la misura del tempo in locale
tau=la misura del tempo in remoto
t=tau*gamma=tau*[1/rad(1-v^2/c^2)]
Quindi se la metrica di Einstein misurasse in S2 secondo tau, allora sarebbe ds=d(tau)
Ma poiché la metrica di Einstein misura in S2 secondo t, allora ds=dt.

more info al link seguente:

https://6viola.wordpress.com/2016/10/23/new-time-theorem-tufanos-theorem-mathematics/

dim(2):
$fipunto0=5.57524118190171E-007;

fatta la scelta di ds =31305 [sec] come “tempo di campionamento” a partire dal punto iniziale in afelio con raggio quindi

r0=69817079818.21144 m

Essendo:
fipunto=(f1-f0)/ds

dove:
f0=0
f1=rad=1°=in radianti=0.0174532925199433 [rad]

dividendo otteniamo:
fipunto=(0.0174532925199433 [rad])/(31305 [sec])

(13)
fipunto=0.0000005575241181902 [rad/sec]
(c’è un arrotondamento sulle ultime cifre)

cvd.

dim(3):
$rpunto0=-87.9245272061;

Poiché

rpunto0=(r1-r0)/ds

Sostituendo in

r1=r(fi1)=L/(1-E*cos(fi1))

dove:

fi1=già(12)=1° grado=FiC=Xrad=pgreco/180 = 0.0174532925199433
L=già(20)=55460545521.4075470269064000931424 m
E=già(2)=0.20563069
r0=69817079818.21144 m
ds=31305 [sec]

Otteniamo

r1=69814327340.8872 m

(r1-r0)=-2752477.32424 m
(si noti che il raggio è diminuito! sarebbe stato “r1-r0=circa zero” -come affermano Amadori e Lussardi- solo se avessimo avuto un cerchio!)

rpunto0=(r1-r0)/ds=(-2752477.32424 m)/(31305 [sec])=87.9245272077942821 [m/sec]

circa (le ultime cifre sono arrotondate):

$rpunto0=-87.9245272061; cvd.

dim(4)
$tpunto0=0.99999999; ?

errata: 0.99999999;
corrige: 1/0.99999999;

infatti

$t1 = $t0 + $tpunto0 * $ds;

dt=dtau*k

dt/dtau=tpunto0=k

dove k=1/rad[1-v0^2/c^2]

v0 (afelio)=38.860*10^3 m/s

c0(velocità luce)=c0=2.99792458*10^8 m/s

c0=299792.458*10^3 m/s

v0^2/c0^2=(38.860)^2*10^6/(299792.458)^2*10^6 =

0.000000016802124

dt/dtau=tpunto0=k=1.000000008401062105578

Dunque si poteva scrivere:

tpunto0=1.000000008401062105578

oppure lasciare

rpunto0=1.0 come è tipico dei sistemi non deformati se la velocità è bassa.

Ma poiché l’errore con la posizione

rpunto0=0.99999999; è quasi esatto, abbiamo lasciato tale valore.

More Info:

 

Aggiornamento 22-08-2017:

confermato dalla seguente trattazione:

https://6viola.wordpress.com/2017/07/07/new-h-deterministic-orbit-of-h-hydrogen-th-16/

 

Le dimostrazioni precedenti sono le principali. Vi sono pochi complementi per i valori su cui si sono eseguiti i calcoli che riportiamo qui di seguito:

Calcolo dell’area dell’ellisse:

Ora dobbiamo calcolare l’area di una ellisse.

https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse

A=\pi ab.

a = 57909176000 [m] (wiki-ita)
b = 56671637453.4493348312234231 [m] (da calcolo: vedi la (5))

A = pgreco*3281807827499989337824.2475036203656 [m^2] =circa 3281*10^18 [m^2]=

10310103361367445927880.2617957359205331 m^2

(9)
fi0=0


rg = 2GM/c^2

fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Raggio_di_Schwarzschild

Quindi dati i valori di
G=6.67428*10^-11
M(sun)=1.9891*10^30 Kg
c=2.99792458*10^8 m/s

c^2=8.9875517873681764*10^16

(10)
rg=2*1.4771331127859407625*10^(3)=2.954266225571881525*10^3

Che conferma la posizione su rg assunta in inizializzazione.

Con “r0” ci stiamo riferendo alla distanza tra il 1° fuoco della ellisse, F1, a sinistra di chi guarda, e la posizione iniziale in t0, in afelio.

r0 = a + c

Dunque sommando

(11)
r057909176000 [m]11907903818.21144 [m]69817079818.21144 [m]

(12)
fiC=Xrad=pgreco/180 = 0.0174532925199433

Essendo

$fi1 = $fi0 + $fipunto0 * $ds;

($fi1 – $fi0)/ $ds = $fipunto0

(14)

r(fi) = L/[1-E*cos(fi)]

dove E, detta “eccentricità” vale:

E=c/a

dove

a=semiasse maggiore dal centro ellisse, O, al punto A (ma anche OB)

c= distanza dal centro,O, al fuoco F1

dove

L=segmento -in verticale- tra il fuoco F2 e la curva  della ellisse.

fonte wiki-ita:
https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse

(15)

L=b^2/a

b=semiasse minore

dalla (5)

b=56671637453.4493348312234231 [m]

dalla (1)

a=57 909 176000 [m]

Sostituendo nella (15)

(20)

L=55460545521.4075470269064000931424 [m]

La grafica della prima orbita e l’inizio della seconda orbita nella due figure seguenti:

Fig.1 (vista di insieme, la scatola rettangolare, è sui semiassi a & b)

(click x zoom)

Fig.2 (zoom: si vede come le equazioni di Einstein diano “curve aperte” già al secondo passaggio) il tempo di campionamento è circa 30 mila sec in ogni iterazione del computer, ma ogni cerchietto indica 10 iterazioni. L’angolo iniziale di primo campionamento è circa 1 grado di 360 gradi. Lo spazio percorso ad ogni iterazione di calcolo del computer circa 1*10^9 metri. Nonostante si possa ridurre lo spazio di iterazione i risultati ottenuti confermano la buona inizializzazione del software, cvd.

(click x zoom)

informato pdf:
http://www.partitoviola.it/docs/Orbita%20Mercurio%20php.pdf

ultima versione 17:03 del 22-8-2017

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