Alice: “Per quanto tempo è per sempre?”(Mathematics)

Abbiamo già trattato il ..
Il calcolo delle geodetiche come presentato da Einstein
link: https://6viola.wordpress.com/2016/03/06/9159/

In quella trattazione ci siamo chiesti cosa rappresenti ds ..

laddove sia indicato come segue:

(1) (ds)^2 = g00 * (c*dt)^2 + g11 * (dx(t))^2 + g22 * (dy(t))^2 + g33 * (dz(t))^2

g00 = +1
g11 = -1
g22 = -1
g33 = -1

ma anche

cito da pag 16 articolo di Einstein nel virgolettato che segue:
http://www.roma1.infn.it/exp/webmqc/A.%20Einstein%20-%20Relativita’%20Generale.pdf

Scrive Einstein (vedi link precedente):

<<

§9. Equazione della linea geodetica (ovvero del moto del punto).

Poiché l’“elemento di linea” ds è una quantità definita in modo indipendente

dalla scelta delle coordinate, anche la linea tracciata tra due punti P1 e P2 del

continuo tetradimensionale, per la quale ʃ ds è un estremo (linea geodetica) ha un

significato indipendente dalla scelta delle coordinate. La sua equazione è

(20) δ { ʃ ds } = 0; tra i punti s(1)=P1 e s(2)=P2

>>

Definizione: dunque ds è un “frammento” di una linea detta “geodetica“.

Se allora si osservasse un moto inerziale senza un campo gravitazionale la geodetica sarebbe una linea retta. Mentre dentro un campo gravitazionale sarebbe una linea curva, curvata dalla forza gravitazionale.

Oltre a le “geodetiche“, si noti, che sono indicate -anche nel nostro spazio dimensionale- <<le linee dove la forza gravitazionale è uniforme per il contributo dato dalla Massa, M, principale>>.

In genere la “frequenza” in aumento delle “linee equi_forza”  indica un aumento del campo gravitazionale.

Se indicate nello spazio, le “linee equi_forza”, sono indicate come una discesa in una buca, affinché si capisca che il rotolamento di una pallina che si avvicina alla buca (lungo una geodetica) veda la pallina deformare il suo percorso per cadere nella buca!

Ma il discorso matematico è più preciso, (che vedere per intervalli) ed è il seguente:

Ip.1: Sia “m” una massa inerziale, ossia che viaggi a velocità v, prima di entrare in un campo gravitazionale creato prevalentemente da M.

Ip.2: Sia F0=GmM/r0^2, la forza quando il raggio è r=r(t0) in corrispondenza della distanza minima di orbita della massa “m” intorno alla massa M.

Evidentemente la forza sarà max, quando la distanza tra m & M sarà minima, quindi r=ro.

Cosa succederà con r > r0?

La forza gravitazionale, essendo F=GmM/r^2 diminuirà!

Quindi “i cerchi” di “equi_forza”, creati da M, (se ci sia allontana da M) saranno meno frequenti, ad indicare che la forza diminuisce.

Sul come è cambiato il significato -con l’evoluzione del concetto- consiglio il seguente link:
https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic

In merito al link precedente ..

Dire che “la linea curva può essere il percorso minimo su una sfera”, sottointende il concetto che su una sfera saremmo obbligati dalla superficie della sfera a spostarci, ma allude anche al fatto che vi sono spazi in cui i percorsi minimi non sono più le rette tra due punti, ma in dipendenza della trasformazione delle coordinate se queste acquisiscono le deformazioni (per esempio gravitazionali) che impongano non più un moto rettilineo, ma deformato dal campo.

In generale, comunque, le “linee di campo=linee equi_forza” (in questo caso gravitazionale, ma vale la stessa cosa per un campo elettromagnetico, o altro) sono linee “equi_campo”! E quindi sono dei cerchi se il campo è generato dalla massa di una sfera. Mentre il fatto che la sfera, con la sua massa altera lo spazio -> imponendo un campo -> implica che la massa piccola, m, che entri in un campo generato principalmente da una massa grande, è obbligato a curvare se il moto era puramente inerziale.

Dunque il lancio di un sasso, sulla superficie terrestre, con velocità iniziale parallela alla superficie -> vedrà curvare il sasso, e quindi compiere una traiettoria curva nel descrivere il “moto libero” (dopo il lancio) nell’andare dal punto di lancio al punto di impatto con il suolo. E la “geodetica” è il percorso curvo.

Quindi -ad esempio- con cupola “geodetica” si intende che un piano che la taglia è composto di cerchi, e che per spostarsi su una cupola il percorso minimo sulla superficie è curvo.

Implicazioni, sui percorsi geodetici e le linee equicampo, se ne hanno sulla teoria dei buchi neri: infatti se la materia potesse divenire infinitesimale, ne sorgerebbero i paradossi -segnalati da Hawking- di perdita di informazione, contraddetta dalla conservazione nei sistemi isolati, risolvibili -tali paradossi- comprendendo che la linearizzazione di Einstein è valida fino alla scala atomica e non oltre(*).
(*)
E la conferma è la teoria detta della “evaporazione” dalle Black Stars, trattabile sia in ipotesi quantistiche, con la ipotesi della indeterminazione quantistica, ma anche nella teoria deterministica: con la ipotesi di variazione del punto di equilibrio del raggio di Schwarzschild, visto che nuova massa aggiunta ad M altera il campo gravitazionale che quindi diviene più potente, ma lo riabbassa se vi è una trasformazione di plasma (plasma originato da parte della massa che scompare nella trasformazione in energia, quindi il punto di equilibrio è mutevole).

La procedura di Einstein di introdurre una espressione equivalente alla già citata (1)

passa nel suo articolo (vedi link opera citata) a pagina 16

dal concetto, con Cauchy, che

(ds)^2 = (ωdλ)^2 =
= g00 * (c*dt)^2 + g11 * (dx(t))^2 + g22 * (dy(t))^2 + g33 * (dz(t))^2
e quindi ..
ω^2=[ΣiΣj (gij)*(dxi)*(dxj)]/[(dλ)^2]

Naturalmente Einstein ha sottointeso la doppia sommatoria, ma noi abbiamo voluto esplicitarla, al fine di rendere comprensibile il più possibile la trattazione.

Se gij=g(x0(t), x1(t), x2(t), x3(t))

.. allora hanno un senso anche le derivate parziali espresse nel seguito!

Quindi Einstein, si propone di indagare un caso con coordinate qualsiasi!

Altrimenti avremmo avuto:

(1) (ds)^2 = g00 * (c*dt)^2 + g11 * (dx(t))^2 + g22 * (dy(t))^2 + g33 * (dz(t))^2

g00 = +1
g11 = -1
g22 = -1
g33 = -1

e le derivate parziali di gij sarebbero state zero.

Infatti dice a pag.16, art. citato, “ds è una quantità definita in modo indipendente dalla scelte delle coordinate”(!)

Ma prima di avventurarci alla dimostrazione di Einstein con il calcolo delle variazioni, ribadisco che l’abbiamo già esplorato, sommariamente, nell’articolo già sul mio blog:

Il calcolo delle geodetiche come presentato da Einstein

https://6viola.wordpress.com/2016/03/06/9159/

Ora ci proponiamo in aggiunta:

  1. Entrare nel dettaglio grazie al link seguente

    Deriving the geodesic equation via an action

     https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics_in_general_relativity

  2. Infine esplicitare la forma “esplosa” delle equazioni, compresa la soluzione di SCHWARZSCHILD.

Partiamo dall’esame della cosiddetta “action” ..
https://en.wikipedia.org/wiki/Action_(physics)

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

Se imponiamo che la variazione dell’integrale sia minima, e quindi sia zero, non troveremo propriamente un punto di minimo, ma una curva di minimo, quindi una geodetica!

Anzi troveremo, detto ancora in modo più specifico, una famiglia di curve che soddisfano quella condizione di minima variazione, poiché “le espressioni _soluzione_ delle equazioni differenziali che vengono -infine- esplicitate”, dipendono

  1. dalle coordinate prescelte, e ..
  2. le coordinate possono indicare deformazioni tra una metrica locale e remota, come nel caso di includere le deformazioni di tipo relativistico quando v -> c.

A)

dunque

il primo passaggio da esaminare (nella esposizione di Einstein) è se

(20) δ { ʃ ds } = 0

giustifichi la sostituzione

(20a) δ { ʃωdλ } = 0

ciò è giustificato se s=ω*λ

B)

il secondo passaggio da esaminare è se

ω^2 = [ΣiΣj (gij)*(dxi)*(dxj)]/[(dλ)^2]

ciò è giustificato se

(ds)^2 = (ωdλ)^2 =
= g00 * (c*dt)^2 + g11 * (dx(t))^2 + g22 * (dy(t))^2 + g33 * (dz(t))^2
e quindi ..
ω^2=[ΣiΣj (gij)*(dxi)*(dxj)]/[(dλ)^2]

inoltre:

C)

pg. 4

D)

pg. 5

E)

pg. 6

F)

pg. 7

G)

pg. 8

more info: vedi orbita di Mercurio al link seguente:
https://6viola.wordpress.com/2016/06/03/il-tempo-e-una-dimensione-indipendente-dallo-spazio-mathematics-schwarzschild/

la questione del LOOP

In particolare se la deformazione nel nostro universo è la seguente:
(t-t0)=(tau-tau0)*1/rad{(1-[v(t)]^2/c^2}
se v(t)=v0=costante
allora posso estrarre la deformazione temporale tra il tempo locale al laboratorio espresso come t-t0
ed il tempo presso il corpo in moto tau-tau0.
Se non facessi queste assunzioni si creerebbe un “loop”!
dovrei sapere la velocità che però dipende da un tempo per conoscere il tempo!
e quindi, nella misura del tempo, non posso sapere tramite una grandezza che a sua volta dipende dal tempo!

Il trucco è dire che si sta parlando di sistemi “inerziali” durante la trasformazione!

Quindi non di valori istantanei durante la “trasformazione” di coordinate!

Da ciò il concetto di “permanere” ad una velocità v=v(t0) durante la trasformazione

(t-t0)=(tau-tau0)*1/rad{(1-[v(t)]^2/c^2}

Ma ciò porta ad un secondo equivoco!

E’ forse che v=v(t0) sempre?

No, se i sistemi sono sincronici avremo:

(tx-0)=(taux-0)*1/rad{(1-[v(tx)]^2/c^2}

E dunque il tempo da cui v(t) è inerziale è misurato proprio a partire dallo stesso “tx” a primo membro, della espressione precedente!

Se non che, mentre il tempo comincia a scorrere da tx in S1, e taux in S2, si ipotizza che “v(tx)=costante” in S1, per cui il tempo tx scorre anche per la velocità, ma non varia v, essendo il sistema inerziale durante la trasformazione.

Quindi la espressione vale anche durante il periodo in cui v è variabile sia in t che in v(t), ma le coordinate sono esplicitate/esplicitabili _solo_ con v(t) = costante.

Oppure con una soluzione alle differenze finite!

Cosa succede quando “v” è invece variabile?

Per la materia di tipo 1:

materia di tipo NON inerziale(*1):

m1(t) = m0*rad{1-([v(t)]^2)/(c^2)}

Per la materia di tipo 2:

materia di tipo inerziale(vedi: *1 al punto 2):

m2(t) = m0*1/rad{1-([v(t)]^2)/(c^2)}

Ossia la massa, m0, tenderà a non essere più materia quando v=c.

Per il tempo?

Per il tempo è ancora

(t-t0)=(tau-tau0)*1/rad{(1-[v(t)]^2/c^2}

come “start” (del computo dell’incrementarsi di t come intervallo di tempo) a partire da “t” che sia l’inizio del moto inerziale, e poi misurare come l’intervallo temporale si sviluppa con una deformazione, se v=v0, dunque -se dopo lo start- la velocità diviene inerziale con v=v0.

cvd.

(*1)
E’ utile, qui, ricordare il nostro modo di denominare le varie “tipologie” dette in genere solo “massa”, ma che sarebbe meglio spiegare:

  1. m1(t) = m0*rad{1-([v(t)]^2)/(c^2)}; è una espressione che si riferisce alla aliquota di massa, m1, che all’aumentare della velocità a cui è associata, subisce una trasformazione di riduzione di massa. Infatti se “m0” era la “massa a riposo”, e cioé associata alla energia totale E=m0*1/rad(1-v^2/c^2) quando v=0; ne segue che “durante la trasformazione da plasma ad energia” (in cui m0 scompare e compare, solo alla fine del processo, E=m0*c^2), allora m0 si decompone, sempre durante la transizione, in due aliquote: m1(t) = massa ancora massiva, m2(t) = massa già “evaporata” nella massa “equivalente” m2=e/c^2. Alla fine di questo processo  avremo e=m0*c^2. Quindi tutta la ex massa a riposo, compare fisicamente solo come energia. E’ allora lecito chiamare tale tipo di massa, m1, NON inerziale!, poiché con “massa inerziale” si usa definire la massa che tiene conto della espansione della energia cinetica! vedi punto 2 seguente!
  2. m(inerziale)=m'(t); m'(v=v0) = m0*1/rad{1-([v(t)]^2)/(c^2)}; infatti m’ è detta cinetica o inerziale, perché la energia totale E = Ec+m0*c^2 = {m0*1/rad(1-v^2/c^2) -m0*c^2} +mo*c^2=m0*1/rad(1-v^2/c^2), da cui è la inerzia di v=/=0 che crea il termine cinetico, altrimenti E=m0*c^2, nutrita solo della massa a riposo m0.
  3. In merito, alla classificazione del tipo di forze applicate: che possono essere “solidali” con U1 (il nostro universo), oppure no, si può introdurre un ulteriore concetto. Il moto non sa il punto di applicazione della forza, ma ne risente solo la spinta. Però se la spinta è tramite il 2° principio della dinamica ed in U1, allora il moto sarà di tipo “saturato” e quindi NON supererà la velocità della luce c. Viceversa se la spinta cessasse improvvisamente, qualunque fosse il punto di applicazione della forza che spingeva la massa, la massa ancora misurabile come massiva, sarebbe di tipo m1(t). Mentre la “massa fittizia” dello stato di quiete, inerziale, ancora senza che vi sia spinta, sarebbe m'(t), ossia che memorizza, espandendo la massa a riposo, m0, il contenuto della energia cinetica. Ne segue che se si applica il 3° principio della dinamica ad un corpo nel suo stato di quiete, se ne osserva una “perturbazione in aumento della velocità” (se la spinta è equiverso al moto precedente) senza i vincoli di applicare la forza da U1.

Alice: “Per quanto tempo è per sempre?”
Bianconiglio: “A volte, solo un secondo”.

(Lewis Carrol)

versione ore 8:21 del 20 giugno 2016

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