il TEMPO è una dimensione indipendente dallo spazio? (Mathematics: SCHWARZSCHILD)

Spesso chi non conosce la fisica si domanda ma ..

“il TEMPO è una dimensione indipendente dallo spazio?”

.. e poiché -ad esempio- con la memoria possiamo andare nel passato .. oppure -sempre con la mente- possiamo extrapolare -> “cosa succederà nel futuro” .. alcuni pensano che lo spazio occupato dalla materia/energia possano astrarsi dal tempo!

Nel mio ultimo articolo sul cambio di coordinate negli spazi metrici di SCHWARZSCHILD .. ho trattato il tema del cambio di coordinate da cartesiane a sferiche .. e quindi siamo andati ad “esplorare” fino alla 3° dimensione ( 4 totali di quelle ordinarie, trascurando, o meglio, “implicitando il tempo”) !

https://6viola.wordpress.com/2016/05/30/schwarzschild-calcolo-gij-gij/

Abbiamo creato delle “mappe” tra lo spazio ordinario in S1=(x, y, z) allo spazio S2=(r,teta,fi) per cui ad ogni punto in S1 c’è un punto in S2, e cioé la corrispondenza:
(avendo sottointeso il campionamento nel tempo t=t0)

(x=x0, y=y0,z=z0) (r=r0, teta=teta0, fi=fi0)

Ma con una notazione più completa, è come se da un film, fermassimo un fotogramma:

[x=x(t0), y=y(t0), z(t0)] [r=r(t0), teta=teta(t0), fi=fi(t0)]

E’ legittimo, quindi chiedersi nell’ampliare da 3 -> 4 il numero di dimensioni(*):

DOMANDA:
<<è automatico .. il trovare la posizione in altre coordinate? e -quindi- .. valgono le stesse leggi matematiche che abbiamo studiato con 3 dimensioni?>>
(*)
Oppure:
il passaggio da P(x0,y0,z0) -> P(x(t0), y(t0), z(t0), t0) crea problemi?

LA RISPOSTA breve: il passaggio può creare problemi .. se c’è anche una trasformazione di coordinate!

Il MOTIVO: è semplice .. il tempo e lo spazio sono “legati” e quindi avremo, per un punto con 4 info:

(1) [x=x(t0), y=y(t0), z(t0), t0] [r=r(t0), teta=teta(t0), fi=fi(t0), t0]

Quindi la t=t0 non è una vera variabile “indipendente”. Da cui sarebbe possibile farlo, il cambio di coordinate, solo aggiungendo una “dinamica” particolare, ma il risultato non sarebbe “generale”!

Inoltre -detto in termini matematici- la “base dei versori” in S1 (quando è a 4 dimensioni), non essendo ortogonale(!), non può sempre utilizzare il calcolo tensoriale!(*)
(*)
Utilizzarlo, come dimostreremo nel seguito, porta ad uscire dai numeri reali e porta a numeri immaginari con una interpretazione tachionica, che però non ci da sempre deduzione diretta. Maggiori info solo nella analisi di dettaglio che segue, poiché è difficile esprimere questa trattazione senza un apparato formale.

Ad esempio: io mi posso muovere un asse x dando la mia posizione x0, da cui sarà x=x0=x(t0) .. ma se non do altre info .. chi mi ascolta non sa il valore di y0.

Se do la quadrupla:

[x=x(t0), y=y(t0), z(t0), t0]

il tempo invece è legato allo spazio e viceversa:

ad esempio

se il moto di un punto su un piano è lineare come

x(t) = k1*t
y(t) = k2*t
z(t) = k3*t
t= multipli di un tempo campione (ad esempio in secondi=s)

La 4° dimensione, si capisce, che esiste .. ma non è indipendente tra spazio e tempo in cui scattiamo la foto.

Se la foto si riferisce allo scatto (al click fotografico) -in t0- quando lasciamo un sasso, la immagine sarà diversa da quando la foto ritrae il sasso che tocca terra in tf, dunque ..

z(t0)=/=z(tf)

e c’è un legame dato dalla “dinamica”(nella associata descrizione matematica)  che descrive come sono legati (e non indipendenti) lo spazio ed il tempo! .. poiché stiamo sottointendendo l’azione di un corpo in un campo gravitazionale, e la dinamica sarebbe diversa

  • se il corpo fosse sottoposto a forze esterne elettromagnetiche,
  • e anche per la tipologia della azione elettromagnetica esterna,
  • ed anche delle forze di contrasto interne al sistema che potrebbe essere non solo un “corpo inerte” come “un sasso” (“un sasso”=”ein stein”, in tedesco)(°) ..

.. tutto ciò (la dinamica causata anche da forze sia interne che esterne) .. avviene poiché(!) .. vige anche il concetto del 3° principio della dinamica (azione e reazione) e quindi “un corpo è nel suo stato di quiete quando viaggia a velocità costante”, solo se non è capace di mutare -da solo- il suo moto .. come per masse inerziali ..

.. dunque non scenderò ora (per brevità) nella spiegazione di come ciò porti alla dinamica dell’esame degli Ui (Universi Adiacenti=Ui) generati -appunto- da forze “not_Ui”, cioé forze indipendenti dal contesto .. essendo -ad esempio- un motore a reazione a prescindere dell’appoggiarsi “al vuoto” .. per fornire una spinta durante l’interim del passaggio da U1 a U2, o da Ui a Ui+1, ma rinvio a questo esame nella nota con la seguente etichetta (#).
(°)
http://dizionari.corriere.it/dizionario_tedesco/Tedesco/S/Stein.shtml
(#)
https://6viola.wordpress.com/2016/03/09/teoria-universi-adiacenti-ua-0/

Quando -allora- Schwarzschild cercò di trasferire in coordinate sferiche la quadrupla completa che osservavamo nello spazio cartesiano -> “a quello sferico” .. si trovò a risolvere una “bella gatta da pelare” (analoga a quella che ho trovato io)

🙂

Infatti non è più possibile -come vedremo- utilizzare *integralmente* le regole sui tensori per trovare la nuova rappresentazione matematica, anche solo in ipotesi di campo gravitazionale di tipo relativistico, come spazio di “immersione” del moto di un corpo nella spazio!

Normalmente la dinamica di un sistema è più semplice descriverla con il calcolo differenziale o alle differenze, per chi studia la matematica che descrive un fenomeno fisico:

Si pensi ad esempio alla velocità di un corpo:

(delta spazio)/(delta tempo)=v

e quindi su una retta x(t), avrò:

delta(x(t))=v(t)*delta(t)

Nel caso che il delta sia alle “differenze finite”..

Misuro una posizione in t0, poi in t1 dove quindi t1 > t0 e ottengo:

x(t1)-x(t0) = v(t)*(t1-t0)

da cui ed in generale:

x(t)-x(t0) = v(t)*(t-t0)

cioé anche se t è generico.

Se particolarizzo v(t)=k*t

Quindi:

x(t) = v(t)*(t-t0)-x(t0)

x(t) = k*(t-t0)-x(t0)

In generale, però, abbiamo

dx=v(t)*dt

e la soluzione -della equazione precedente- dipende da come varia v(t), essendone, v(t), la “derivata” di una curva d/dt [x(t)], al variare di t.

.. e notando che -quella scritta per ultimo-  (dx=v(t)*dt) non più una equazione alle differenze, ma differenziale.

Da cui, da questo semplice esempio, si capisce che aumentare di una dimensione uno spazio, aggiungendo il tempo, non significa che questa info sia indipendente.

Si capisce inoltre che le soluzioni di una equazione .. nel caso non più alle differenze, ma differenziale, non sia direttamente deducibile, detta anche soluzione in forma “chiusa”(*), ma al più immaginabile, e poi verificare se (derivando) soddisfa la equazione alle differenze.
(*)
(nel caso generale: non è nota x(t), ma singole misure x(ti))

Recentemente, con l’uso dei computer, si può cercare una soluzione approssimata con il calcolo alle differenze finite e poi con funzioni che interpolano i punti trovati .. e da ciò vedere se esiste una facile formula in forma chiusa. (Ma vi sono molte altre tecniche ad esempio con il calcolo integrale, che ricandono nel tema “elaborazione dei segnali” deterministi/aleatori/stocastici .. etc).

Da cui la soluzione alla (1)* oppure (2)* seguenti non è banale .. dopo un cambio di coordinate.

E la potenza della soluzione di SCHWARZSCHILD è nel fatto che non solo ci da il cambio di coordinate, ma lega anche i fattori di deformazione gravitazionale con lo spazio ed il tempo! .. e quindi la sua espressione, è in ipotesi di “immersione” in uno spazio con un campo gravitazionale, per cui trova applicazione nello studio della deflessione della luce, nella dinamica dei buchi neri, etc.(@)
(@)
Nota Bene: sempre con l’avvertenza di considerare (i) che vanno aggiunte ipotesi specifiche su quello che è il raggio rg, detto di Schwarzschild, (ii) che la materia possa essere descritta con la dinamica degli infinitesimi, laddove, invece, è circa quantica.(iii) quindi con la avvertenza che stiamo introducendo un rumore di linearizzazione, oppure un rumore di quantizzazione, e -in ogni caso- di approssimazione di modello.

Nel seguito ci proponiamo di dimostrare come, nonostante le difficoltà di non potere utilizzare integralmente il calcolo tensoriale, non solo SCHWARZSCHILD risolve la conversione in modo non banale, poiché la conversione banale sarebbe stata trovare le formule di corrispondenza tra le espressioni seguenti:

(1) [x=x(t0), y=y(t0), z=z(t0), t0] [r=r(t0), teta=teta(t0), fi=fi(t0), t0]
dove però siano note:
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
al variare di t
e quindi, grazie alla mappa di corrispondenze, dedurre:
r=r(t)
teta=teta(t)
fi=fi(t)
sempre al variare di t

Ma introduce SCHWARZSCHILD, (come abbiamo già detto sopra), la “teoria gravitazionale relativistica” nel cambio di coordinate! .. legando anche le espressioni seguenti:

(1)* = ds^2 =
= g11*(c*d(t))^2 + g22*(d(x(t))^2 + g33*(dy(t))^2 + g44*(dz(t))^2

(2)* =
= ds^2 = (g11)’*(c*tau(t))^2 + (g22)’*(dr(t))^2 + (g33)’*d(teta(t)) + (g44)’*(dfi(t))^2

Dove useremo la mappa tra S1 & S2, seguente:
con x’, x”, x”’, x”’ in S1
con xx’, xx’, xx”, xx”’, xx”’ in S2

Ed in particolare:

x’ = t = [tau(t)]*1/rad[1-rg/r(t)]          xx’ = tau(t) = t*rad[1-rg/r(t)]
x” = r(t)*[sin (teta(t))]*[cos (fi(t))]   xx” = r(t)
x”’ = r(t)*[sin (teta(t))]*[sin (fi(t))] xx”’ = teta(t)
x”” = r(t)*[cos (teta(t))]                       xx”” = fi(t)

Avendo scritto t = [tau(t)]*1/rad[1-rg/r(t)]

poiché t-t0 = [tau(t) – tau(t0)]*1/rad[1-v(t)^2/c^2]

ma ponendo t0=0

t = [tau(t)]*1/rad[1-v(t)^2/c^2]

t=tempo sul laboratorio
tau=tempo sull’oggetto in velocità (ad esempio muoni)

Sulla equivalenza tra le due espressioni:
t = [tau(t)]*1/rad[1-v(t)^2/c^2]
t = [tau(t)]*1/rad[1-rg/r]

Si noti che equilibrando energia cinetica con energia potenziale abbiamo:

(1/2)*mv^2 = mgr = m(GM/r^2)r = mGM/r
v^2=2GM/r -> r=2GM/v^2

inoltre:
(1/2)*mc^2 = mgr = m(GM/rg^2)rg = mGM/rg
c^2=2GM/rg -> rg=2GM/c^2

Da cui
v^2/c^2=(2GM/r)/(2GM/rg)=rg/r; cvd.

dove, dunque, il tempo tau, detto anche “tempo proprio” si riferisce, quindi, al tempo misurato dopo il cambio di coordinate, e sul sistema remoto, lontano dal laboratorio, mentre si lascia la variabile “t” al tempo misurato nel laboratorio:

[(t=t2) – (t=t1)]=[(tau=tau2) – (tau=tau1)]*1/rad[1-(v^2)/(c^2)]

cioé
delta t = (dalta tau)*1/rad[1-(v^2)/(c^2)]
v=v(t)

Quindi se un muone viaggia a v=0.998 c

ed il tempo di vita media del muone è

tau=tau0 (in cui l’intervallo di vita vede il kronos misurato sul sistema mobile circa lo stesso del sistema fisso finché v << c)

delta t = 15 volte tauo, se v=0.998 c

  1. ciò significa che la vita media del muone è 15 volte più lunga vista dal laboratorio!
  2. ciò significa -inoltre- che il gemello che viaggia quando torna è più giovane dell’intervallo di tempo in cui ha viaggiato moltiplicato per 15: da cui se ha viaggiato 1 anno alla velocità di 0.998 c, allora, è 15 anni più giovane (da cui c’è una deformazione spazio temporale non tra i sistemi, ma nel ricongiungimento dei sistemi!)
  3. ciò significa che con SCHWARZSCHILD disponiamo di un nuovo metodo di verifica di come la gravitazione altera il tempo e lo spazio, ed in particolare per le geometrie sferiche.

more info: tempo “proprio” al link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Tempo_proprio

Premetto che “la metodica” nel giungere alla sua soluzione -di SCHWARZSCHILD- è stata da me ricostruita e non è stata ripresa da altre fonti che citano invece solo la congruenza della soluzione .. ma NON .. ->*come*

Da cui dopo la breve introduzione .. auguro buona lettura .. a chi se la sente di leggere una trattazione più formale.

sc1:
errata: manca “c”, c’è solo “dt” della prima espressione matriciale (@1.1)
corrige: va scritto “c*dt” in (@1.1) seguente (PG 1) al posto di dt (zona matrice)

errata: manca “c”, c’è solo “d(tau)” della seconda espressione matriciale (@1.2)
corrige: va scritto “c*d(tau)” in (@1.2) seguente (PG 1) al posto di d(tau) (zona matrice)

errata: (1/2)*m*v^2=m*g*r (vedi ultima riga foglio PG1 (sc1) seguente)
corrige: https://it.wikipedia.org/wiki/Raggio_di_Schwarzschild
Infatti:Ec=(1/2)*m*v^2=(G*m*M)/r -> c^2=2*M*G/rg; v^2=2*M*G/r
v^2/c^2=rg/r; cvd.

sc2:
errata: dt non è elevato al quadrato nella 4.23 PG 2 seguente
corrige: elevare [dt]^2 nella 4.23 PG 2 seguente

errata: (r^2)*sin(teta) nella matrice a pag. 2 seguente.
corrige: (r^2)*[sin(teta)]^2

errata: d(fi) non è elevato al quadrato nella 4.23 PG 2 seguente
corrige: elevare [d(fi)]^2 nella 4.23 PG 2 seguente

sc3:
errata: manca “c”, c’è solo “d(tau)” della terza espressione matriciale (@1.3)
corrige: va scritto “c*d(tau)” in (@1.3) seguente (PG 3) al posto di d(tau) (zona matrice)

sc4:

sc5:

sc6:

sc7:

sc8:

Matematica dei “Tachioni”:
https://6viola.wordpress.com/2016/04/29/tachyon-chi-era-costui-mathematics/

sc9:

sc10:
Nota Bene:
siamo in ipotesi di spazio S1 solito
siamo in ipotesi di spazio S2 “insolito” di Pag. 9 precedente.
Quindi, in S2, tutte le variabili di S2 sono in t, tranne il tempo che è in tau,
tau=funzione (t)=t*gamma. Dove gamma=gamma(t)=1/rad(1-v^2/c^2), v=v(t).
Chiameremo tale spazio ANCHE “S2 dei Tachioni“.
Ne segue che “Dalla fisica di S2” di seguito elencata, mostrerà la relazione, in S2, tra g11′ & g22′, ricorrendo ai numeri immaginari. Infatti g11′ era stato dedotto in d(tau), come si vede a pag. sc7 esc 8 precedenti. Mentre g22′ relazionato a g11′ grazie agli immaginari (pag. sc6 precedente). Inoltre vi sono alcune altre considerazione dal fare .. (segue)

sc11:

TEMA: (complementi versione: 21:59 del 12 giugno 2016)
LE APORIE, apparenti, della deformazione spazio/tempo:

Ai lettori più attenti non sarà sfuggito un fatto principale:
scrivere:

t-t0=(tau-tau0)*1/rad(1-[v(t)/c]^2)

crea un loop ..

  • sia matematico
  • sia fisico

Infatti supponendo che abbiamo due orologi:

  1. locale al laboratorio, indicando con (t-to) gli intervalli di tempo.
  2. remoto dal laboratorio, sulla particella in movimento, indicando con  (tau-tau0) gli intervalli di tempo

Ciò non toglie che anche in ipotesi che siano sincronizzati all’inizio con tau0=t0=0, ci si può chiedere come si faccia ad individuare un singolo “t” associato ad un singolo “tau” visto che serve un tempo di propagazione per la trasmissione del segnale!

E ciò prescinde dai problemi di diverso scorrere del tempo a causa di velocità diverse.

Per risolvere ciò, nel caso dei muoni, si è misurata la vita media, sia T0, dal laboratorio quando v << c tanto da trascurare le deformazioni temporali. Poi si sono misurate le deformazioni temporali quando v=0.998c trovando che t-t0 era passato da T0 -> 15*T0.

Ma non sfuggirà a nessuno che questa non è una misura istantanea, ma di intervalli di tempo comparati!

Quindi si deve pensare che il sistema sia portato a v=0.998c e poi che vi permanga per un tempo uguale al precedente secondo l’orologio locale alla particella (muone) di quando andava a velocità bassa, sia T0.

Ma che sia ora la maggiore velocità a fare leggere un tempo di vita medio 15*T0

Nella stessa soluzione delle equazioni secondo l’orbita di Mercurio, che è un test per la verifica della validità di Einstein, come particolarizzato con Schwarzschild, infatti, la soluzione non esiste in forma chiusa, ma solo alle differenze finite!

Inoltre scrive AMADORI, che le derivate sarebbero secondo ds.

Che significa?

Significa che è corretto scrivere:
(ds)^2=(c*dtau)^2 = sommatoria gij dxi*dxj
e quindi derivare in ds è equivalente a derivare in dtau, che anche esso è un tempo.

Quindi le orbite di Mercurio sono ellissi che cambiano di angolo come vi sono simulazioni ad esempio al link seguente:

https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Keplero_nella_relativit%C3%A0_generale

Le “mappe” erano come segue:

spazio S1, Versione AMADORI:
x(t) = r(t)*[sin[teta(t)]]*cos[fi(t)]
y(t) = r(t)*[sin[teta(t)]]*sin[fi(t)]
z(t) = r(t)*[cos[teta(t)]
t = tau(t)/rad{1-[v(t)]^2/c^2}=tau(t)*gamma(t) (che evidenzia un loop di t)

spazio S2, Versione AMADORI:
x'(t) = r(t)
y'(t) = teta(t)
z'(t) = fi(t)
t, dove: tau(t)=t/gamma(t)

spazio S1, Versione TUFANO:
x(t) = r(t)*[sin[teta(t)]]*cos[fi(t)]
y(t) = r(t)*[sin[teta(t)]]*sin[fi(t)]
z(t) = r(t)*[cos[teta(t)]
t = tau(t)/rad{1-[v(t)]^2/c^2}=tau(t)*gamma(t) (che evidenzia un loop di t)


spazio S2, Versione TUFANO:
x'(t) = r(tau(t))
y'(t) = teta(tau(t))
z'(t) = fi(tau(t))
tau(t)=t/gamma(t)

Chiameremo tale spazio ANCHE “S2 dei Tachioni“(vedi qui pag. sc10).

Con la nuova simbologia, allora, non solo si può eseguire:

{d/dtau[t]}*{d/dtau[t]}={d/dtau[tau*gamma]}*{d/dtau[tau*gamma]}=gamma^2=(g11)’
come già qui in sc5 (vedi i fogli scritti a mano).. che poi risulterà 1/(g11)’=g11 Amadori.. poiché Amadori mette a differenziale c*dt, anziché c*dtau,
e ciò crea dt=dtau*gamma, ma anche dtau=(1/gamma)*dt.

Ma la nuova simbologia (di Tufano), allora, introduce anche alla possibilità che le variabili non siano in t, ma in tau.

Quindi essendo ds=c*dtau
la forma finale delle equazioni di Einstein e cioé:

d/ds[dxi/ds] + Γ(i,j,k) *{(dxi/ds)*(dxk/ds)} = 0

sarà equivalente alle seguente:

d/d(tau)[dxi/d(tau)] + Γ(i,j,k) *{(dxi/d(tau))*(dxk/d(tau))} = 0

avendo sostituito ds=c*d(tau) e semplificato la c.

Per maggiori info:

Da cui le espressioni delle equazioni di Mercurio vedono non propriamente la derivata indicata con punto sulle lettere, come in ds, ma in d(tau), essendo anche esso un tempo, e non molto dissimile a d(t), se v << c, ma ciò consente la “derivata di t(tau(t))”=d/d(tau)[t], ma anche di r come funzione di tau, e di teta come funzione di tau, e infine di fi come funzione di tau. cvd (rif. alle notazioni differenziali, segue in rif. alle notazioni alle differenze!).

Sulla “metodologia di calcolo”, dunque, non si potrà pensare di introdurre un tempo, t, funzione di una velocità, v(t), che è funzione di un tempo, t, generando un loop sia matematico che fisico!

Ma in ipotesi di timing, di “partenza”(start), dei tempi sia locale che remoto allo stesso istante
ps.
la scelta di d(tau) al posto di ds, si può trovare a conferma anche al link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Keplero_nella_relativit%C3%A0_generale

ps.2
Le equazioni di Mercurio sul testo di Amadori-Lussardi:


ps.3

In linea teorica, sembrerebbe che conosciamo, con il sistema (4.25) Pag.99 Amadori, (vedi foto precedente) solo le relazioni:
r(t), d/d(tau)[r(t)],d/d(tau)*d/d(tau)[r(t)]
teta(t), d/d(tau)[teta(t)],d/d(tau)*d/d(tau)[teta(t)]
fi(t), d/d(tau)[fi(t)],d/d(tau)*d/d(tau)[fi(t)]
t, d/d(tau)[t],d/d(tau)*d/d(tau)[t]

Ma grazie alla “metodica” del “calcolo alle differenze finite” si può superare la difficoltà del “problema del loop”.

La consultazione dei testi di Amadori Lussardi on line al link seguente:
http://www.matematicamente.it/appunti/relativita/

 

Il più bello dei mari
è quello che non navigammo.
Il più bello dei nostri figli
non è ancora cresciuto.
I più belli dei nostri giorni
non li abbiamo ancora vissuti.
E quello
che vorrei dirti di più bello
non te l’ho ancora detto.

(Nazim Hikmet)

versione: 19 marzo 2017, ore 8:04

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