Einstein radius: la luce che curva ..


Come è noto, già dall’articolo di Einstein, al link seguente:
http://scienzapertutti.lnf.infn.it/newslettersxt/immagini/relativita_einstein_italiano.pdf

La metrica di Einstein, si appoggia su una forma generalizzata del teorema di Pitagora.

Infatti Pitagora, su un piano, dice che nel caso di un triangolo rettangolo, i due cateti sono legati alla ipotenusa in una forma quadratica del tipo seguente:

DS^2 = DX^2 + DY^2

la D maiuscola è a segnalare che siamo a lunghezze misurabili.
DS, allora, è l’ipotenusa elevata al quadrato, somma dei due cateti, anche essi al quadrato.

Ciò vale anche se le distanze si prendono comunque piccole, e quindi si può operare un passaggio alle forme differenziali seguenti:

ds^2 = dx^2 + dy^2

Tale trattazione può essere dimostrata vera non solo nello spazio (a tre dimensioni), ed allora avremmo la forma seguente ..

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 (nel caso di 3 dimensioni)

.. ma per un numero qualunque grande di dimensioni, purché si precisi lo stato relazionale tra gli “pseudocateti” e la loro sommatoria (cosa che è detta forma della metrica).

Poiché alla teoria della relatività servono 4 dimensioni: lo spazio(3) + tempo(1), allora, a noi basterà una equazione che si potrebbe scrive come segue:

ds^2 = dx1^2 + dx2^2 + dx3^2 + dx4^2

Ma ogni spazio metrico avrà le sue forme di trasformata ed antiTrasformata da uno spazio a uno equivalente, (siamo in ipotesi di spazi biiettivi), quindi Einstein, nel suo articolo a pagina 6 (di cui il primo link già indicato sopra), scrive una forma più esplicativa nella forma seguente:

(1) forma di Einstein (pag.6 link sopra citato):
ds^2 = – dX1^2 – dX2^2 – dX3^2 + dX4^4

nel caso

ds=0 siamo in uno spazio euclideo.

altrimenti

ds > 0

oppure

ds < 0

Nel caso euclideo:

dX1=dX
dX2=dY
dX3=dZ
dX4=c*dt

dX^2 + dY^2 + dZ^2 = c*dt^2

Da cui avremmo relazionato una velocità associata ad uno spazio diviso un tempo.

Commenta Einstein a pag. 6 del link citato:

<<
Chiamiamo ds la lunghezza dell’elemento di linea che appartiene a due punti infinitamente vicini dello spazio tetradimensionale. Se il ds2 che corrisponde all’elemento (dX1 . . . .dX4) è positivo, chiamiamo quest’ultimo, con Minkowski, temporale, nel caso contrario spaziale.
>>

Infatti, dire “dX4 > della sommatoria dei dXi”, essendo X4 associato al tempo, significa la dominanza temporale.

Altrimenti l’opposto: la dominanza spaziale.

In definitiva, l’equazione differenziale da cui parte Einstein, è -corredata dalle altre ipotesi di rappresentazione tensoriale- un modo implicito di descrivere la gravitazione, ma non di indicare quale sia la soluzione di quella forma che rimane in una forma generica, finché non si sceglie un particolare spazio di rappresentazione!

Ecco perché necessitano delle soluzioni a seconda del particolare spazio.

A ciò provvede, ad esempio, Schwarzschild:

1) scrivendo i differenziali in coordinate sferiche
2) fornendo una soluzione in ipotesi di coordinate sferiche

come al link seguente:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

Ed in particolare la (1) (sopra citata di Einstein, pag.6) diviene:

<<

Schwarzschild metric[edit]

An exact solution to the Einstein field equations is the Schwarzschild metric, which corresponds to the external gravitational field of an uncharged, non-rotating, spherically symmetric body of mass M. The Schwarzschild solution can be written as[1]

 c^2 {d \tau}^{2} =  \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2}

where

τ is the proper time (time measured by a clock moving with the particle) in seconds,
c is the speed of light in meters per second,
t is the time coordinate (measured by a stationary clock at infinity) in seconds,
r is the radial coordinate (circumference of a circle centered on the star divided by 2π) in meters,
θ is the colatitude (angle from North) in radians,
φ is the longitude in radians, and
rs is the Schwarzschild radius (in meters) of the massive body, which is related to its mass M by
 r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
where G is the gravitational constant. The classical Newtonian theory of gravity is recovered in the limit as the ratio rs/r goes to zero. In that limit, the metric returns to that defined by special relativity.

In practice, this ratio is almost always extremely small. For example, the Schwarzschild radius rs of the Earth is roughly 9 mm (38 inch); at the surface of the Earth, the corrections to Newtonian gravity are only one part in a billion. The Schwarzschild radius of the Sun is much larger, roughly 2953 meters, but at its surface, the ratio rs/r is roughly 4 parts in a million. A white dwarf star is much denser, but even here the ratio at its surface is roughly 250 parts in a million. The ratio only becomes large close to ultra-dense objects such as neutron stars (where the ratio is roughly 50%) and black holes.

>>

Il risultato

rs = 2GM/v^2 vale in generale(*), e si calcola  ANCHE con il bilancio tra la energia cinetica e la energia potenziale come al link seguente:
(*)
(non solo con v=c, nelle ipotesi aggiuntive di bilanciare la energia potenziale con la energia cinetica)

https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_di_fuga

Ma a noi interessa la trattazione di Schwarzschild, poiché da lì possiamo studiare il fenomeno detto delle ..

“LENTI GRAVITAZIONALI”

La trattazione di questo aspetto della fisica .. lo troviamo, ad esempio, al link seguente:
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_radius

Ma la trattazione citata omette una questione basilare:

da dove viene fuori la espressione seguente?

<<

In the limit as the particle mass m goes to zero (or, equivalently if the light is heading directly toward the central mass, as the length-scale a goes to infinity), the equation for the orbit becomes

 \varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}}

Expanding in powers of rs/r, the leading order term in this formula gives the approximate angular deflection δφ for a massless particle coming in from infinity and going back out to infinity:

 \delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.

Here, b is the impact parameter, somewhat greater than the distance of closest approach, r3:[5]

b=r_3\sqrt{r_3/(r_3-r_s)}

Although this formula is approximate, it is accurate for most measurements of gravitational lensing, due to the smallness of the ratiors/r. For light grazing the surface of the sun, the approximate angular deflection is roughly 1.75 arcseconds, roughly one millionth part of a circle.

>>

Ci riferiamo -in particolare- alla espressione, appena sopra citata:

 \delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.

La trattazione, noi ricostruiamo, è proprio dovuta a Schwarzschild al link che ribadiamo:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

Ed in particolare nella parte intitolata:

<<

Bending of light by gravity

>>

Si tratta quindi di esaminare -bene- come si arriva alla formula

 \delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.

che è a sua volta una approssimazione.

Per sapere come giungere alla rappresentazione di Schwarzschild (come forma differenziale), consigliamo il link seguente:

https://sites.google.com/site/pianetagalileo/Home/elenco-argomenti-4/einstein.pdf?attredirects=0

che è nella trattazione:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric
ed in italiano:
https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio-tempo_di_Schwarzschild

esattamente al link numero
^ A. Urso, Considerazioni sul campo gravitazionale statico a simmetria centrale

Quindi tutto ciò può esserne inteso come la dimostrazione di come si arriva dalla “forma differenziale di Einstein” -> alla “forma differenziale di Schwarzschild“.

Cosa manca alla trattazione?

La trattazione della *soluzione* della forma differenziale di Schwarzschild

 

Riprendiamo questa pagina:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

nella espressione a cui siamo interessati ..

 \delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.

.. già sapevamo che quando velocità di fuga v=c, allora, r=rs corrisponde il raggio di Schwarzschield, da cui

c^2 = 4GM/2rs = 2GM/rs

ma questa espressione si ottiene dalle ultime due della uguaglianza seguente:

δφ = 2*rs/b = (4GM)/(c^2*b) (basta semplificare la b, esplicitare c^2).

La δφ, si osserva, però, ANCHE nella seguente trattazione:
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_radius
e figura come alfa1.

Infatti

\alpha_1 = \frac{4G}{c^2}\frac{M}{b_1}

e va confrontata con

 \delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.
tratta da:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

Inoltre tang (θ1)=b1/DL=circa θ1

Da cui si può sostituire

b1=θ1*DL

che compare in

\alpha_1(\theta_1) = \frac{4G}{c^2}\frac{M}{\theta_1}\frac{1}{D_{\rm L}} ….. (Eqn. 1)

Dalla figura, ancora, si può dedurre la seguente ..

This gives the lens equation

\theta_1 \; D_{\rm S} = \theta_{\rm S}\; D_{\rm S} + \alpha_1 \; D_{\rm LS}

se da quella sopra scritta si esplica alfa1:

\alpha_1(\theta_1) = \frac{D_{\rm S}}{D_{\rm LS}} (\theta_1 - \theta_{\rm S}) ….. (Eqn. 2)

sostituendo questa ultima espressione nella equazione numero 1 si ottiene:

\theta_1-\theta_{\rm S} = \frac{4G}{c^2} \; \frac{M}{\theta_1} \; \frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm S} D_{\rm L}}

Se si pone θs=0, il Teta è detto Teta di Einstein, θE e si può scrivere:

\theta_E = \left(\frac{4GM}{c^2}\;\frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm L} D_{\rm S}}\right)^{1/2}

Quindi stiamo apprezzando una curvatura della luce ed anzi la curvatura è qui stata semplificata in ipotesi di linearizzazione poiché la trattazione generale è la seguente:

https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem_in_general_relativity

Il dettaglio fornito da wikipedia, anche in versione inglese, è però scarso nel descrivere quello di cui ci stiamo occupando! E per la trattazione generale consigliamo il link seguente liberamente consultabile on line di Amadori-Lussardi da pag. 94

http://www.matematicamente.it/staticfiles/relativita/AmadoriLussardi-relativita-cap4.pdf

 

CONCLUSIONI

Ci proponiamo di utilizzare la matematica che abbiamo esplorato per calcolare la massa di una Galassia!

La Galassia che abbiamo scelto è

“zw 2237”

ed è la famosa Galassia che crea la “croce di Einstein”, stimata con un “braccio” b, descritto dall’angolo TetaE:
TetaE < di 2″ fino a circa (3.3)”.(*)
(*)
(per la collocazione del braccio b, e TetaE, si veda la figura su wiki al link seguente)
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_radius

Implementeremo quindi la formula seguente:

\theta_E = \left(\frac{4GM}{c^2}\;\frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm L} D_{\rm S}}\right)^{1/2}

tenendo conto che

ip1: TetaE=Teta1 quando Tetas=0
ip2: tang Teta1 = circa Teta1

Sostituendo i seguenti valori:
G=6.6*10^(-11)
M=Mx
DLS= 8*10^(9) A.L.=[8*10^(9)][3*10^(7) sec ][3*10^(8) m/s]= […] metri
DL=0.5*10^(9) A.L.
DS=8.5*10^(9) A.L.
c=3*10^(8) m/sec
TetaE=3.3″ = 3.3 arcsec = circa 1*10^(-3) Radianti.

Esplicitando Mx
Mx = 13*10^(34) kg = circa 6*10^(4) MassaSolare.

Alcuni link per la verifica e approfondimenti:

Alcuni dubbi sulla tipologia delle lenti:
http://discordancy.report/tag/zw-2237030/

Le scienze:
http://www.lescienze.it/news/2015/03/05/news/lente_gravitazionale_supernova_100_anni_teoria_einstein-2515078/

Hubble site:
http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2008/04/full/

Wiki:
https://it.wikipedia.org/wiki/Croce_di_Einstein

L’effetto Einstein Ring:
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_ring

La versione italiana degli anelli di Einstein:
https://it.wikipedia.org/wiki/Anello_di_Einstein

Le verifiche su Sagittarius_A*:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sagittarius_A*
http://www.extinctionshift.com/topic_06.htm

Benvenuto raggio di sole! (De Gregori)

Benvenuto raggio di sole, a questa terra di terra e sassi
a questi laghi bianchi come la neve, sotto i tuoi passi stanchi
a questo amore a questa distrazione, a questo carnevale
dove nessuno ti vuole bene, dove nessuno ti vuole male.
A questa musica che non ha orecchi, a questi libri senza parole
benvenuto raggio di sole, avrai matite per giocare
e un bicchiere per bere forte, e un bicchiere per bere piano
un sorriso per difenderti e un passaporto per andare via lontano
Benvenuto a questa finestra, a questo cielo sereno
a tutti i clackson della mattina, a questo mondo gi troppo pieno
a questa strana ferrovia, unica al mondo per dove può andare
ti porta dove porta il vento, ti porta dove scegli di ritornare
A questa luna tranquilla, che si siede dolcemente
in mezzo al mare c’è qualche nuvola ma non fa niente
perché lontano passa una nave, tutte le luci sono accese
benvenuto figlio di nessuno, benvenuto in questo paese.

ps.
http://www.lescienze.it/news/2013/10/03/news/lente_gravitazionale_chip_fotonico-1832459/

versione 18:30 del 28 maggio 2016

 

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