Il calcolo delle geodetiche come presentato da Einstein

 

Scrive Einstein a pag. 16 del suo articolo:
vedi l’articolo completo on line al link seguente:
http://www.roma1.infn.it/exp/webmqc/A.%20Einstein%20-%20Relativita’%20Generale.pdf

§9. Equazione della linea geodetica (ovvero del moto del punto).

Poiché l’“elemento di linea” ds è una quantità definita in modo indipendente

dalla scelta delle coordinate, anche la linea tracciata tra due punti P1 e P2 del

continuo tetradimensionale, per la quale ʃ ds è un estremo (linea geodetica) ha un

significato indipendente dalla scelta delle coordinate. La sua equazione è

(20) δ { ʃ ds } = 0; tra i punti s(1)=P1 e s(2)=P2

dove P = P(x, y, z, t), ovvero un punto, è identificato dalla sua posizione nello spazio (tridimensionale) e nel tempo t.


C’è subito da aggiungere cosa intendiamo con la 20! 

E’ chiaro che l’integrale di una ds è una curva, sia S (grande), che è una qualunque curva tra P1 e P2.

E’ anche chiaro cosa si intenda con δ, (infatti), con delta, si intende che la variazione tra P1 e P2 si possa considerare piccola a piacere, e quindi anche tendente a zero, ma non zero.

C’è da chiedersi, allora, perché la (20) venga eguagliata a zero!
La spiegazione è nel fatto che interessa a chi propone un modello fisico, tramite un modello matematico, la indagine di quale sia <<l’equilibrio preferenziale>>, ossia l’evoluzione del reale, se non vi sono “forze esterne” al sistema che si ipotizza che stia agendo!
Quindi come nella legge di inerzia di una massa si teorizza che un corpo rimane nel suo stato di quiete (viaggiando a velocità costante e di moto rettilineo uniforme) se non agiscono forze esterne al grave,

COSI’

poiché in ds “addensiamo” uno spazio “quadridimensionale” ossia in 3 dimensioni spaziali e una temporale, ci stiamo domandando quale sia la tendenza di un ente che occupi una posizione nello spazio e nel tempo se è sollecitato da variazioni minime, tanto da potere dire che lo lasciano nel suo stato “di quiete”.

La risposta, ora, è lapalissiana: un corpo tenderà, anche se infinitesimo, a permanere nel suo stato, poiché implicitamente stiamo considerando un sistema isolato, in cui le condizioni agenti sono stazionarie, quindi geodetiche, laddove si intenda con geodetica, la conformazione dello spazio deformato dalle forze agenti, per esempio gravitazionali, ma potrebbero anche essere elettromagnetiche, et altro, purché stazionarie.

DOMANDA:

C’è una prima obiezione legittima in questa tipologia di trattazione: lo spazio sub atomico è omogeneo? Oppure circa quantico? .. e quindi dis-uniforme?

RISPOSTA:

Sì, lo spazio sub atomico può essere considerato circa quantico, e quindi dis-uniforme, e quindi è illegittimo pensare una trattazione nel continuum per descrivere “l’epsilon piccolo a piacere” con una teoria nel continuum quando il reale sia dis-omogeno!

Ciò nonostante, la teoria della relatività generale -secondo il metodo di Einstein- ha un suo campo di applicazione legittimo, un range, un intervallo di applicabilità, che

  1. non scende sotto il livello atomico, a causa dei problemi di quantizzazione che deformano il suo approccio omogeno fino agli infinitesimi, e

  2. un estremo superiore che è fissato sul limite di saturazione di imporre una accelerazione fino alla velocità della luce laddove tale imposizione sia su un sistema inerziale solidale con il nostro universo, poiché sarebbe paradossale che una forza applicata dal nostro universo fosse capace di uscire dal nostro universo se applicata dal nostro universo visto che (nell’applicazione) non potrebbe fare “forza” su ciò da cui sta cercando di emanciparsi! (chi fosse interessato troverà -qui sul blog- una mia trattazione sulla mia descrizione degli UNIVERSI ADIACENTI).

Ma torniamo al nostro esame della trattazione di Einstein:

Si tenga conto anche delle note al link seguente:
<<
Deriving the geodesic equation via an action>>

https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics_in_general_relativity

In particolare laddove dice:

<<We can (and this is the most common technique) derive the geodesic equation via the action principle.>>

e andando al link di action:

https://en.wikipedia.org/wiki/Action_(physics)

si trova conferma dei nostri commenti in blu e in rosso, più la storia delle riflessioni fisiche, matematiche, filosofiche di questi studi.

Ora, in nero, riprendiamo il testo di Einstein:

Da questa equazione (ndr: la 20) si trovano in modo noto eseguendo la variazione quattro equazioni differenziali totali, che determinano questa linea geodetica; questa derivazione troverà posto qui per completezza.

Sia λ una funzione delle coordinate

x(ν) (ndr: ν è un indice di x); questa definisca una famiglia di superfici, attraversate dalla linea geodetica

cercata e da tutte le linee ad essa infinitamente vicine, tracciate tra i punti P1 P2.

Ognuna di queste curve si può quindi pensare definita in modo tale che le sue

coordinate x(ν) siano espresse in funzione di λ.

Il simbolo δ corrisponda al passaggio

da un punto della curva geodetica cercata a quel punto di una curva vicina, che

corrisponde allo stesso λ. Allora la (20) si può sostituire con

(20a) δ { ʃ ds } = 0 = δ { ʃ ω*dλ }= { ʃ δ (ω)*dλ }

tra gli estremi λ(2) e λ(1), dove s=ω* λ, da cui ds= ω*dλ

Ora ci manca di dimostrare che ..  vedi figura seguente ..

 

Alcuni che amano la visualizzazione dei concetti matematici fanno fatica a seguire i ragionamenti di Einstein sulla teoria della relatività generale poiché manca la possibilità (se si rinunciasse ad un programma di calcolo) a “vedere” una immagine di quello di cui si sta discutendo! .. presento allora un paio di link in cui

(1) il primo è una tesi di laurea sulle geodetiche di Einstein e la relativa possibilità di un software associato alla rappresentazione http://www.mat.unimi.it/users/alzati/personale/dtesi/tesifra.pdf

(2) il secondo è un corso che introduce alla teoria della rappresentazione
http://learningsources.altervista.org/Geometria_riemanniana_delle_superfici.pdf

 —
una introduzione al tema al link seguente: https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics_in_general_relativity
In general relativity, a geodesic generalizes the notion of a “straight line” to curved spacetime. Importantly, the world line of a particle free from all external, non-gravitational force, is a particular type of geodesic. In other words, a freely moving or falling particle always moves along a geo…
EN.WIKIPEDIA.ORG
AGGIORNAMENTO 28 LUGLIO 2016, ORE 9:13
IL CALCOLO DELLE GEODETICHE:
https://6viola.wordpress.com/2016/06/19/alice-per-quanto-tempo-e-per-sempremathematics/
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