I POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA (dipartimento biotecnologie UNIVERSITA’ di Siena)


LEGENDA:

INTRODUZIONE:

Si intende per postulato una assunzione da accettarsi a priori e non contraddetta dall’esperienza.

I postulati trovano la loro unica giustificazione nella loro abilità nel predire e correlare i fatti sperimentali e nella loro applicabilità generale.

Alcuni termini importanti:

“variabile dinamica”: <<ogni proprietà che interessa un sistema è definita variabile dinamica (posizione r, energia E, ecc..)>>(*1)

(*1) una variabile non è una proprietà (ad esempio una posizione variabile nel tempo o nello spazio) ma è una “grandezza”(ad esempio la posizione) associata ad un ente (per esempio un corpo) che muta (nel tempo e/o nello spazio, o rispetto a un dato spazio dimensionale), e può mutare per posizione, energia, etc.

Quindi indicando con una lettera, ad esempio x, la posizione su un vettore, sia il vettore indicato con la notazione seguente |x>, oppure < x|, (detta modalità di Dirac, rispettivamente vettore ket, (come |x>), se verticale, bra (come <x|), se con notazione orizzontale, nella convenzione che due vettori si moltiplicano riga per colonna, indicati <x|y> come una sommatoria dei relativi elementi che collezionano, se la rappresentazione è a indicare un insieme finito di valori).

Esempio:

sia <x| = ( x1=2   x2=4)
sia |y> =
(y1=3)
(y2=5)

Allora moltiplicano la riga di <x| per la colonna di |y>
avremo la sommatoria seguente: x1*y1+x2*y2 =(2*3+4*5=6+20=26)=26
e scriveremo <x|y> = 26

Si può rappresentare, inoltre, ciascuna posizione (di una collezione di posizioni) su un vettore come una serie di valori su asse cartesiano su cui indichiamo alcuni valori.

Ad esempio indicando la posizione di un corpo al tempo zero, al tempo 1 sec, al tempo 2 secondi avremo
< 0    5cm    10 cm | 
questo vettore (orizzontale) ha tre valori associabili ad x(t)
x(t0) = 0
x(t1) = 5 cm
x(t2) = 10 cm
queste grandezze posizionali dicono che la grandezza x è una grandezza variabile nel tempo, e potremo anche indicare tra parentesi la variabile di cui è funzione x, se -ad esempio- scriviamo x(t) e leggiamo la posizione della variabile x è funzione del tempo t.

Inoltre i vettori hanno anche una direzione, ad esempio su un piano, e un verso indicato da una freccia detta anche “versore associato” per indicare se in un sistema di rappresentazione un sasso, ad esempio, oltre che avere una direzione, si muove lungo una retta in un senso o nel senso opposto (ad esempio in alto verso l’alto, oppure verso il basso come un sasso che cade per terra).

“osservabile”:  <<ogni variabile dinamica che può essere misurata. In meccanica classica tutte le variabili dinamiche sono degli osservabili, invece in meccanica quantistica esistono restrizioni fondamentali sulla misura simultanea delle grandezze.(*2)

(*2) un osservabile, come spiega anche Dirac nel testo “I principi della meccanica quantistica” non è una variabile, ma è uno stato descritto da una notazione che fa intervenire il concetto di probabilità tra le varie configurazioni possibili.

Esattamente a pag. 28 dice Dirac:
<<In virtù della corrispondenza dei vettori bra e ket, uno stato del nostro sistema dinamico, a un determinato istante, può essere caratterizzato sia da un un ket che da un bra>>

E’ il caso (ad esempio) di una rappresentazione di un bit quantistico (detto qubit, vedi -qui subito di seguito- nella citazione di wikipedia) che ha la possibilità finché non sia eseguita la misura sia di essere nello stato zero che nello stato uno, e quindi indicare il vettore dello stato (quando non è ancora stato misurato) esplicitando le probabilità che sia in uno dei due stati tramite (ndr: deducibile da) i pesi “a” e “b” in cui solo la sommatoria di a^2+b^2=1 esprime una probabilità, che -nell’esempio- è il caso certo (poiché si può creare una scala dei valori della probabilità di un evento di accedere dal valore minimo uguale a zero al valore max uguale ad 1).

esattamente  \left | \psi \right\rangle = a\left | 0 \right\rangle + b\left | 1 \right\rangle

link della citazione seguente: 
https://it.wikipedia.org/wiki/Qubit

++

cit on

++

Il qubit è un vettore (ndr: rappresentabile come un vettore |psi>)

In accordo col primo postulato, un qubit è rappresentato da un vettore (ndr: normalizzato unitario di uno spazio di Hilbert).

Così come il bit classico ammette due stati, cioè lo stato (0) e lo stato  (1) , altrettanto accade al qubit. Per analogia con il caso classico chiameremo questi due stati \left | 0 \right\rangle e \left | 1 \right\rangle. Ma grazie al principio di sovrapposizione, che emerge dal primo postulato, è anche possibile combinare linearmente i due stati \left | 0 \right\rangle e \left | 1 \right\rangle per ottenere lo stato di sovrapposizione:

\left | \psi \right\rangle = a\left | 0 \right\rangle + b\left | 1 \right\rangle
(ndr: sta dicendo che lo stato psi del sistema è la somma (+) di due stati, quello che descrive lo stato |0>, e quello che descrive lo stato |1>, e la concomitanza è attraverso dei coefficienti “ponderali” (a, b) la cui elevazione a potenza,vedi espressione seguente, satura -sommandosi- tutti i casi possibili, infatti da 1. In generale uno status |psi> è quindi generabile, come rappresentazione, per sovrapposizione di stati e tramite  gli stati componenti al momento che si manifestano nella misura).

in cui a e b sono due numeri complessi tali per cui \left | a \right|^2 + \left | b \right|^2 = 1.

Detto in altri termini, lo stato di un qubit è un vettore unitario dello spazio degli stati hilbertiano di dimensione 2 in cui gli stati speciali \left | 0 \right\rangle e \left | 1 \right\rangle formano una base ortonormale detta base computazionale.

Nel caso classico è sempre possibile esaminare un bit per determinare se esso sia nello stato  (0)  o nello stato  (1) . Di converso, nel caso quantistico, non è possibile esaminare un qubit per determinarne il suo stato, cioè per determinare i due coefficienti a e b.

(ndr: non è possibile determinare a e b per il singolo fotone, ma è possibile costruire le probabilità che sia abbia lo stato |0>, oppure lo stato |1>, grazie alla statistica, e dalla statistica il modello probabilistico, passando alla ipotesi del continuo, o nell’ambito della probabilità quantizzata, nella elaborazione numerica).

Il terzo postulato ci dice che è possibile acquisire una quantità più limitata di informazioni relative allo stato quantistico. Quando misuriamo lo stato di un qubit possiamo ottenere il risultato <br /><br /><br /><br /><br /> \left | 0 \right\rangle<br /><br /><br /><br /><br />  con una probabilità <br /><br /><br /><br /><br /> \left | a \right|^2<br /><br /><br /><br /><br />  o il risultato <br /><br /><br /><br /><br /> \left | 1 \right\rangle<br /><br /><br /><br /><br />  con probabilità <br /><br /><br /><br /><br /> \left | b \right|^2<br /><br /><br /><br /><br /> .

Proviamo ad applicare le regole dettate dal terzo postulato in questo semplice ma significativo caso. Abbiamo già visto che la misurazione può avere soltanto due esiti definiti dai due operatori di misurazione <br /><br /><br /><br /><br /> M_0 = \left | 0 \right\rangle \left\langle 0 \right|,M_1 = \left | 1 \right\rangle \left\langle 1 \right|<br /><br /><br /><br /><br /> .

Notiamo che ogni operatore di misurazione è hermitiano (M^\dagger = M) e che <br /><br /><br /><br /><br /> M_0^2 = M_0 ,M_1^2 = M_1<br /><br /><br /><br /><br />  e ciò ci garantisce che la condizione di completezza è soddisfatta.

Supponiamo che lo stato oggetto di misurazione sia <br /><br /><br /><br /><br /> \left | \psi \right\rangle = a\left | 0 \right\rangle + b\left | 1 \right\rangle<br /><br /><br /><br /><br /> . Allora la probabilità di ottenere <br /><br /><br /><br /><br /> \left | 0 \right\rangle<br /><br /><br /><br /><br />  come risultato della misurazione è data da

 p\left( 0 \right) = \left\langle \psi \right|M_0^\dagger M_0 \left | \psi \right\rangle = \left\langle \psi \right|M_0 \left | \psi \right\rangle = \left | a \right|^2 .

Analogamente la probabilità di ottenere \left | 1 \right\rangle  è data da

 p\left( 1 \right) = \left | b \right|^2 .

Lo stato del sistema dopo la misurazione sarà, nel primo caso

 \frac{{M_0 \left | \psi \right\rangle }} {{\left | a \right|}} = \frac{a} {{\left | a \right|}}\left | 0 \right\rangle

mentre nel secondo avremo

 \frac{{M_1 \left | \psi \right\rangle }} {{\left | b \right|}} = \frac{b} {{\left | b \right|}}\left | 1 \right\rangle

dove i coefficienti  \frac{a}<br /><br /><br /><br /><br /> {{\left | a \right|}}<br /><br /><br /><br /><br />  e <br /><br /><br /><br /><br /> \frac{b}<br /><br /><br /><br /><br /> {{\left | b \right|}}<br /><br /><br /><br /><br />  sono fattori di fase che non incidono sullo stato del sistema e che possono essere, quindi, trascurati consentendoci di arrivare ai risultati attesi.

(ndr: che è equivalente a dire che nella misura di |psi> comparirà lo stato |0> con probabilità |a|^2, e comparirà |1> con probabilità |b|^2.)

Per vedere meglio quanto affermato facciamo uso di vettori e matrici per rappresentare in maniera tradizionale gli stati e gli operatori in gioco. Se definiamo

 \left | 0 \right\rangle = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]<br /><br /><br /><br /><br />  e  \left | 1 \right\rangle = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 0 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 1 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right] , allora  \left | \psi \right\rangle = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> a \\<br /><br /><br /><br /><br /> b \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]<br /><br /><br /><br /><br /> .

In questo modo i due operatori di proiezione diventano:

M_0 = \left | 0 \right\rangle \left\langle 0 \right| = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 & 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right] = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 & 0 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 & 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]<br /><br /><br /><br /><br />

e

 M_1 = \left | 1 \right\rangle \left\langle 1 \right| = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 0 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 1 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 0 & 1 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right] = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 0 & 0 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 & 1 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]<br /><br /><br /><br /><br /> .

La probabilità di ottenere <br /><br /><br /><br /><br /> \left | 0 \right\rangle<br /><br /><br /><br /><br />  sarà dunque

 p\left( 0 \right) = \left\langle \psi \right|M_0 \left | \psi \right\rangle = \left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> a & b \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 & 0 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 & 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> a \\<br /><br /><br /><br /><br /> b \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right] = \left | a \right|^2<br /><br /><br /><br /><br />

che è quanto ci aspettavamo. Infine, lo stato del qubit dopo la misurazione sarà proprio

 \frac{{M_0 \left | \psi \right\rangle }}<br /><br /><br /><br /><br /> {{\left | a \right|}} = \frac{1}<br /><br /><br /><br /><br /> {{\left | a \right|}}\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 & 0 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 & 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right]\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> a \\<br /><br /><br /><br /><br /> b \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right] = \frac{a}<br /><br /><br /><br /><br /> {{\left | a \right|}}\left[ {\begin{matrix}<br /><br /><br /><br /><br /> 1 \\<br /><br /><br /><br /><br /> 0 \\</p><br /><br /><br /><br /> <p> \end{matrix} } \right] = \frac{a}<br /><br /><br /><br /><br /> {{\left | a \right|}}\left | 0 \right\rangle<br /><br /><br /><br /><br />

++

cit off

++

Si noti, inoltre, che quando Dirac parla di operatori lineari, in uno spazio vettoriale, indicandoli in genere con lettere greche come alfa e beta, etc possiamo pensare a operazioni in grado di generare trasformazioni lineari su un vettore come ad esempio traslazioni o rotazioni, e ciò è possibile che sia rappresentato con matrici che moltiplicano i vettori (ndr: vettori che si trovano alla destra della matrice), come nel caso di M qui sopra esaminato.

Ne discende inoltre che non sempre due operatori lineari sono “sostituibili di ordine” mentre agiscono sul vettore allo loro destra!

Quindi Matrici (ad esempio collezioni di coefficienti sia per righe che per colonne in uno spazio bidimensionale) il caso generale è che si abbia AB=/=BA.

Che si legge, AB=/=BA, nel modo seguente:
Moltiplicare la Matrice A per B non sempre da lo stesso risultato di moltiplicare B per A (se i simboli A e B indicano matrici).

Il tema è trattato in esteso sul capitolo 2 de “I principi della meccanica quantistica di Dirac”.

Il caso generale si dice come “operatori non commutativi” ed invece se 
AB=BA, si dice “operatori commutativi”

se quindi

alfa|A>=C
(dove alfa è una matrice ad esempio di rotazione del vettore A, che opera sul vettore quindi A, nella notazione di Dirac, in cui ora A è un vettore anziché una matrice)

possiamo scrivere:
<B|C>=<B|{alfa|A>}=

pag 34 Dirac.

Per la teoria della soluzione di equazioni secondo autovettori e autovalori, consigliamo teoria dei sistemi di Ruberti Isidori, Ed Boringheri che mostra come la soluzione generale non è ottenibile solo con la tecnica suddetta, ma anche con altre tecniche come la proiezione su spazi simbolici (trasformate di Laplace, Fourier, etc), o su campi numerici (ad esempio con la trasformata zeta) et altro.

Bene, ora siamo pronti per la lettura:
http://www.dbcf.unisi.it/sites/st13/files/allegati/22-10-2013/3.postulati.pdf

che è una buona base di partenza per coloro che abbiano poche conoscenze di base e in modo riassuntivo dei concetti principali, per cercare di capire di cosa tratti la Meccanica Quantistica nella impostazione della scuola di Copenaghen.

Domenica 20 dicembre 2015:

in questa lettura della documentazione classica della Fisica tramite la Meccanica Quantistica che spesso per brevità è detta Fisica Quantistica o FQ, passiamo ora ad esaminare il significato di 
Ψ e Ψ* che già comparivano nella prima figura sopra citata e che ripetiamo per comodità:

La Formulazione seguente dal testo “Meccanica Quantistica” di F. Giannini, P. Maltese, C.M. Ottavi (dispense del Corso):

La formulazione matematica della meccanica quantistica, è basata su un certo numero di postulati che rappresentano la trasposizione in forma matematica di tutti i dati sperimentali disponibili sul comportamento dei sistemi quantistici.

POSTULATO NUMERO I
Esistono due “ampiezze di probabilità” espresse nel dominio delle variabili complesse anche chiamate “funzioni di stato” o “funzioni d’onda”, siano
Ψ(P, t) = funzione che descrive (probabilisticamente) la posizione P, al tempo t
Φ(p, t) = funzione che descrive (probabilisticamente) la quantità di moto p (minuscolo), al tempo t

Tali funzioni descrivono completamente un sistema che si ipotizzi quantistico (ndr: “quantzzazioe ipotizzata in modo perfetto”, e cioé quantizzato come rappresentazione della materia/energia senza stati di transizione) nel modo seguente:

Se ad un certo tempo t si misurano le coordinate del sistema, la probabilità che esse si trovino in un volume dτ (ndr: leggi “delta tau”) è indicata dalla espressione seguente:

(4.1) W (P,t) dτ = Ψ(P, t) Ψ*(P, t) dτ

Similmente, ad un certo tempo t avremo per la probabilità che la quantità di moto “p” sia nel volume dτ’ è indicata dalla espressione seguente (ndr: il volume è ora dτ’, e non dτ, per indicare che le due grandezze sono circa un singolo valore in due diversi volumi associati).

(4.2) W’ (p,t) dτ’ = Φ(p, t) Φ*(p, t) dτ’

Le espressioni precedenti sono una astrazione ai volumi dτ e dτ’ a scopo esplicativo e trovano una consistenza matematica quando la descrizione avvenga non in un volume infinitesimo (sufficientemente piccolo per una analisi alle differenze), ma maggiore di zero, da cui sono più consistenti matematicamente le seguenti espressioni:

(4.3)’ W (P,t) dτ = 1 (integrale esteso da -oo a + oo)

(4.3)” W’ (p,t) dτ’ = 1 (integrale esteso da – oo a + oo)

Che sta ad indicare che sotto il segno di somma integrale W è una densità di probabilità che -una volta integrata- assicura la probabilità certa del caso vero al 100%, ossia numericamente 1 se la probabilità è quantifica come il numero da 0 (ndr: evento che non accade) con il max(ndr: evento certo) al valore 1.

Quindi W, o W’, sono delle densità di probabilità che solo dalla soluzione dell’integrale hanno un vero valore di probabilità di evento atteso quando l’integrale è esteso ad un intervallo, e solo se l’intervallo è esteso da -oo a + oo il valore della soluzione integrale da il valore 1.

Si postula inoltre che Ψ(P, t) e Φ(p, t)
siano funzioni limitate ad un solo valore
ed il loro “modulo al quadrato” deve essere integrabile in tutto lo spazio.
Operativamente si può pensare di misurare W (come indicato matematicamente nelle espressioni precedenti) effettuando un numero molto grande di prove (e esattamente solo se le prove fossero infinite).

La misura dovrebbe avvenire su sistemi fisici uguali che si trovino nello stesso Stato sotto osservazione e presupporre che i diversi valori (ndr: misurati) siano generati dal fatto che il sistema dia valori diversi perché è aleatorio.

Per esempio la misura della intensità delle frange di interferenza in un esperimento di diffrazione di elettroni, è la misura di W (sempre per uno dei metodi possibili) tramite la misura sulla lastra fotografica per un numero molto grande di singoli elettroni, costruendo così per le varie posizioni misurate (di collisione sulla lastra fotografica) i rapporti frequenziali di quante volte si colpisce una posizione sul numero di impatti totali, e da questa tabella di distribuzione delle densità di probabilità si avrà che << la somma di tutte le probabilità (cambiando la posizione) ha una sommatoria integrale pari all’evento certo = 1 >>.

Il fine della Meccanica Quantistica in questo caso è quello di fornire una previsione teorica sull’andamento di W basata sulla conoscenza dello stato iniziale dell’elettrone e sulla natura della sua interpretazione con la struttura diffrangente.

Giovedì 24 dicembre 2015:

Qualcuno immagina perché gli spazi di trasformazione detti di Fourier ci diano una mano a capire la Meccanica Quantistica? .. eppure è così .. quindi vi suggerisco anzitutto una pagina in cui c’è una descrizione abbastanza di facile comprensione della trasformata di Fourier e quindi come ci aiuta a capire la cosiddetta equazione di Schrödinger ..

La trasformata di Fourier è geniale, utilissima e non complessa, basta che venga spiegata bene…
BLOGZERO.IT
Commenti
Pasquale Tufano

Pasquale Tufano la formulazione delle trasformate e anti trasformate le trovate anche su “I principi della Meccanica Quantistica di Dirac” pag. 134

Pasquale Tufano

Pasquale Tufano Infine la rappresentazione di Fourier e poi quella di Schrödinger sono da alcuni considerati il secondo e terzo postulato della meccanica quantistica laddove si vogliano introdurre gli elementi di base della Meccanica Quantistica in modo assiomatico.

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