Introduzione alla Fisica Quantistica [Elementi di base]

Introduzione alla matematica della meccanica quantistica

Nella teoria elettromagnetica classica sia la materia che l’energia, finché non si studiò la materia sub atomica, era descritta nel continuum ad esempio dalle equazioni di Maxwell.

Studiando però dagli inizi del 1800 i fenomeni sub atomici ci si rese conto che la materia, a livello sub atomico, non era uniforme, ma distribuita come un piccolo cosmos di pianeti e satelliti, e su tali presupposti Bohr (1885-1962) formulò il primo dei modelli atomici.. https://it.wikipedia.org/wiki/Niels_Bohr

Ma vediamo con calma come si arrivò a questa idea, ed infine alla rappresentazione di Schrödinger https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_di_Schr%C3%B6dinger e Dirac https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Dirac da cui prese le mosse la fisica quantistica moderna, che però non ha ancora un modello che spieghi la natura duale della materia/energia, ossia del comportamento a volte approssimabile con i modelli del continuum, e quindi di una onda elettromagnetica, e a volte di una distribuzione che sarebbe perfettamente quantizzata (senza stati di transizione che non siano netti, mentre io penso che gli stati di transizione siano graduali).

Effetto Zeeman

Come si vede al link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Zeeman

Scrive il prof Paolo Maltese nel suo corso di introduzione alla Meccanica Quantistica (pag.4): cit.
<< Uno dei più evidenti fenomeni che mostra come la materia sub atomica è quantizzato è l’effetto Zeeman, per il quale ci si rese conto che l’elettrone gioca un ruolo importante nella formazione delle righe spettrali>>.

E’ importante infatti sapere che la luce ha varie frequenze componenti a secondo della sorgente luminosa. La collezione di queste frequenze associate a un fascio di onde elettromagnetiche (poiché la luce è storicamente considerata una onda elettromagnetica) è detto esame spettroscopico e la intensità associabile a ciascuna frequenza dell’onda elettromagnetica è detta riga spettrale, poiché spesso la collezione di queste intensità su un asse X/Y cartesiano disegna una curva a forma di fantasma. Quindi -appunto- di spettro!

http://www.treccani.it/enciclopedia/spettroscopia/

Più alta è la intensità (come risultato della misura della radiazione) associata ad una frequenza, e maggiore è la componente di luce di quel fascio in dipendenza di quella frequenza. Ed inoltre è impossibile isolare una sola frequenza di radiazione in un fascio di luce anche se fosse detto coerente (per esempio prodotto da un laser) poiché si riesce a isolare solo in modo prevalente, ma non esclusivo, rimanendo di sottofondo una collezione di segnali minori detti rumore, o code del picco di intensità.
Quindi Zeeman studiava il comportamento delle onde elettromagnetiche nell’interazione con la materia sub atomica e notava che le “righe spettrali” prodotte da un fascio di luce sono sensibili ai campi elettromagnetici.

Laddove con righe spettrali non tutti indicano propriamente gli stessi risultati, ma in generale un segnale può essere anche una onda elettromagnetica e quindi può essere rappresentato in modulo dell’intensità del segnale, e fase associata al segnale, alle varie frequenze associate al segnale.

Ora, si pensi che -sempre in generale- un segnale può essere pensato come il risultato di un segnale sorgente che attraversa un mezzo, e quindi il mezzo attraversato genererà una deformazione in amplificazione o in attenuazione del segnale (in generale di deformazione non necessariamente lineare) e si può indicare sia l’evoluzione di questa intensità sul ricevitore del segnale al variare della frequenza, e anche la variazione di fase laddove la fase, chiamiamola tau, è una alterazione di traslazione del segnale stesso, come ad esempio in

Y(jw) = H(jw) * X(jw)=F[y(t)]= trasformata di fourier del segnale nel tempo y(t)

se x(t)=A*cos(wt), allora X(jw)=A*Re[e^(jwt)]

poiché e^(jw)=cos(wt) + j sin(wt) e quindi Re[e^(jw)]= cos(wt)
allora x(t-tau)=A*cos(wt-tau), e F[x(t-tau)]= X(jw)e^(-jw*tau)
nella sua rappresentazione sul piano delle frequenze, nella sua forma generale.

Laddove questa trasformazione sul piano simbolico delle frequenze si ottiene con la trasformata di fourier di ciascuna funzione nel tempo secondo il seguente integrale:

X(jw)= integrale [x(t) e^(-jwt) dt ]| t da -oo a +oo, w=2*p*f, p=p greco, f è la frequenza.

e l’antitrasformata è

x(t) = integrale [X(jw)e^(+jwt) df]| f da -oo a +oo, w=2*p*f, p=p greco, f è la frequenza.

fonte: relativamente a Fourier, “teoria dei segnali (deterministici e aleatori)” di Paolo Mandarini da pagina 46, 52 e seguenti.

Oppure per un link on line:
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier

C’è quindi da capire che proiettando su spazi simbolici come quello di Fourier o Laplace, un segnale corrisponde (se è una onda, per esempio elettromagnetica) alla semplice analisi di una intensità del segnale e a un suo ritardo (detto fase) rispetto ad un segnale campione che -in genere- è la sorgente del segnale prima che il segnale attraversi un mezzo in cui su propaga!

Tutto questo studio non è proprio immediato, ma è sostanzialmente uno studio di matematica che si risolve nelle semplificazioni che abbiamo appena detto, poiché sia un segnale ottico, ed anche un segnale elettromagnetico, possono essere esaminati in modulo e fase e per ciascuna frequenza componente hanno un picco che poi si attenua fuori di ciascuna frequenza centrale che tipicizza quella componente spettrale.

E quindi a prescindere da come è fatto lo strumento di analisi delle frequenze del segnale, la cosiddetta “riga spettrale” con la sua altezza indica la intensità e con la sua larghezza la ampiezza di “banda” di quanto scifta (da shift, parola inglese), cioé oscilla attorno alla frequenza centrale quella particolare frequenza sull’asse che indica anche il valore di frequenza esaminata rispetto alle altre.

Si capisce -allora- che è più comodo indicare con le forme esponenziali le onde e i segnali associati (in ipotesi del continuum) .. e le funzioni seno e coseno trigonometriche -> sono la base della scomposizione in sommatoria di onde a generare un qualunque segnale (approssimativamente) nella rappresentazione dei segnali (si vedano i lavori di Fourier sulle onde come sommatorie di onde componenti).

Per di più se si passa dai segnali deterministici a quelli aleatori anche la teoria della distribuzione probabilistica si appoggia allo stesso apparato matematico! E quindi ora però non avremo più valore di ampiezza e fase ma probabilità di ampiezza e fase.

Quindi la trattazione non è campata per aria e frutto di una botta in testa .. ma una rappresentazione assiomaticizzata ottenuta dal modello statistico di distribuzione dei campioni misurati -secondo la statistica- ed essendosi spostati da un numero di campioni al finito a una interpolazione dei campioni a raggiungere una curva probabilistica nel continuum (grazie a una ipotesi di interpolazione fuori dei campioni effettivamente misurati, ma è una forzatura matematica.. sia noto: sia perché il modello è probabilistico per insufficienza di info, e sia perché è interpolato a partire da modelli statistici).

Ma cerchiamo di arrivare rapidamente a Schrödinger e poi a Dirac:

prendiamo la notazione di Heisenberg:
https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_di_Heisenberg

in questa notazione si capisce che Schrödinger

scrivendo la sua equazione:

come la probabilità di spostarsi da uno stato originario la tempo t0 e uno seguente al tempo t, t > t0, dipende dalla probabilità di essere in uno stato origine e della mutazione in forma di onda sul piano complesso, quindi (e^(-iHt/h’)).

Come trattazione generale di tale approccio di evoluzione degli stati come transitanti da metastati con indice di probabilità di essere raggiunti non si sottovaluti il lavoro del matematico Markov che hanno conseguenze anche sulla analisi della teoria della informazione come originata da flusso pseudo caotico un link: https://it.wikipedia.org/wiki/Processo_markoviano 

Si sta quindi dicendo che la materia sub atomica non è statica, ma dinamica, ed inoltre quantizzata, e che la occupazione di spazio, e velocità sono relazionate, e in modo tale (come uno dei risultati maggiori) di utilizzare le formule introdotte di Schrödinger per la esposizione del principio di indeterminazione di Heisenberg ossia che posizione e quantità di moto sono legate e la quantizzazione si estrinseca come incapacità di avere una precisione comunque grande, poiché vi sarebbero dei limiti dipendenti dalla struttura quantizzata della materia/energia (nell’ipotesi che sotto il fotone non si possano avere grandezze minori).

Concordo -lo sanno coloro che mi leggono- con questa conclusione, ma solo nell’ipotesi che non si possano manipolare grandezze inferiori al fotone.

E sono confortato in questa interpretazione dagli studi dei segnali deterministici nel passaggio da segnali analogici a digitali in cui si capisce che la quantizzazione nel caso del campionamento di un segnale dipende dal quantum minimo. (si veda per conferma Oppenheim Schafer Digital Signal Processing pag. 434 op. cit. link: http://www.amazon.it/Digital-Signal-Processing-Alan-Oppenheim/dp/0132146355 )

In merito alla equazione di Dirac .. https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Dirac siamo sempre nella ipotesi di riuscire a capire qualcosa con rappresentazioni di densità di probabilità associata a fenomeni sub atomici ..

dal link appena citato:
<<Non si riescono, però, ad eliminare le energie negative, che restano quindi come possibili autovalori dell’equazione. Per interpretare questo risultato dell’equazione, Dirac propose un’interpretazione secondo cui esiste un mare di fermioni alcuni dei quali sono in un livello eccitato, e dunque hanno un’energia positiva, ma in tale mare esistono delle lacune che dunque sono ad energia negativa; quando una particella in uno stato eccitato incontra una lacuna, ecco che cade in uno stato non eccitato emettendo della radiazione elettromagnetica (un fenomeno simile alla diseccitazione di atomo in cui un elettrone cade in un livello energetico a meno energia emettendo un fotone, sempre che nella nuvola elettronica dell’atomo esista una lacuna). Tale fenomeno è molto simile all’annichilazione di una particella con un’antiparticella come per esempio l’annichilazione di un elettrone con un positrone, con conseguente emissione di due fotoni, che può essere descritto dall’equazione di Dirac, là dove l’antiparticella viene descritta dalla soluzione dell’equazione di Dirac con energia negativa. Per cui, in un certo senso, si può affermare che Dirac predisse l’esistenza dell’antimateria e il fenomeno dell’annichilazione con la materia, sebbene le sue idee sull’esistenza del mare di fermioni siano state rigettate dalla comunità scientifica perché portavano a delle incongruenze interne alla teoria.>>

Dissento da tali interpretazioni poiché la materia ed antimateria quando collidono si convertono totalmente in energia, e il solo caso in cui ciò non avviene è quando la antimateria “sembra comparire”! .. dal nulla .. e quindi dal cosiddetto “vuoto quantistico”! .. ma da dove prenderebbe uno spazio vuoto una energia negativa? .. se non da ciò che a noi sembra vuoto -> perché lo misuriamo vuoto dalla nostra dimensione? .. ed invece è -secondo me- un altro spazio dimensionale in cui la annichilazione non manifesta energia perché restituisce la energia prelevata dove era ..

Quindi è negativa -quella energia- perché trascende la nostra dimensione.

E si ri-bilancia perché nella annichilazione viene “restituita allo spazio dove era” .. e ciò giustifica che non misuriamo la completa trasformazione tra materia e antimateria come quando ciò avviene non da particelle cosiddette virtuali, ma nel nostro spazio dimensionale.

More info su questo fenomeno al link seguente: si veda “Particelle virtuali e vuoto quantistico”
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8352

discussione su facebook:
https://www.facebook.com/groups/robiemaria/permalink/836595649792352/

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